《花卉趣味百話》（連載）

陳宣章陳瓏玥編著

七十四、花卉的數(shù)學(xué)趣話

有道趣味數(shù)學(xué)題：苗圃有塊9尺9寸見方的地，相鄰兩株樹苗距離1尺，最多能種多少株樹苗？甲設(shè)計方案：種10行，每行10株，共100株。乙設(shè)計方案：沿對角線種，每邊8株，共113株。丙設(shè)計方案：按正三角形種，每行10株，行距0。866尺（邊長1尺的正三角形底邊的高），共12行，結(jié)果種了120株。

這種以植物為內(nèi)容的趣味數(shù)學(xué)題非常多。但是，自然界中植物本身的趣味數(shù)學(xué)更奧妙！古希臘著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯和他的學(xué)派相信“哪里有數(shù)哪里就有美”，數(shù)和數(shù)學(xué)中有豐富的美感和趣話。而植物中就有許多這樣的美感和趣話。

一張直角三角形的紙卷到一個圓筒上，斜邊就成一條螺旋線，因在圓柱上形成，叫“圓柱螺旋線”。牽?；ㄊ锹参?，常纏繞其它直立較粗壯的物體向上爬，形成圓柱螺旋線。牽?；楹我绱讼蛏吓滥兀恳蛑参镄枰柟?，只有長得更快更高，才能獲得較多陽光。牽牛花要爬快爬高，可自己枝干非常細(xì)弱，只有纏繞別的物體向上爬。展開圓柱側(cè)面，可以看出：主干上圓柱螺旋線的一個“周期”正好是側(cè)面展開矩形的對角線。因為兩點間以連結(jié)這兩點的線段為最短，所以，牽?；ㄒ彩前凑諗?shù)學(xué)最小值的原理來達(dá)到自己的目的。( 文章閱讀網(wǎng)：www.sanwen.net )

在令人眼花繚亂的數(shù)學(xué)美中，最瑰麗的莫過于黃金律（黃金分割）了。為了能在大自然的風(fēng)霜雨雪中生存下來，植物選擇了長高和長粗的最佳比例，即“黃金比率”0。618。在小麥或水稻的莖節(jié)上，可看到其相鄰兩節(jié)之比為1：1。618，又是一個“黃金比率”。還有松果、菠蘿等果實表面，都具有明顯的“黃金螺旋線”特征。這是一條非常美麗的曲線。

將圓周角360°按黃金分割成兩部分：222°32'和137°28'。很多植物的葉子按空間螺旋線自下而上順序逐個萌出，奇妙的是：每相鄰兩個葉柄的夾角都是137°28'。而這種角度的通風(fēng)和采光效果恰恰最佳。

17世紀(jì)著名的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒，以創(chuàng)立坐標(biāo)法而享有盛譽。他在研究一簇花瓣和葉子的曲線特征后，列出了X3+Y3-3aXY=0的曲線方程式，準(zhǔn)確形象地揭示了植物葉子和花朵形態(tài)所包含的數(shù)學(xué)規(guī)律，因此取名“笛卡兒葉線”或“葉形線”，又稱作“茉莉花瓣曲線”。如果將參數(shù)a的值加以變換，便可描繪出不同植物葉子或者花瓣的外形圖。

科學(xué)家對垂柳、睡蓮、三葉草、常青藤等植物進(jìn)行認(rèn)真觀察和研究后，發(fā)現(xiàn)植物之所以擁有優(yōu)美造型（如：花瓣對稱排列在花托邊緣；整個花朵近乎完美地呈現(xiàn)輻射對稱形狀；葉子有規(guī)律地沿著植物的莖桿相互疊起；種子或呈圓形、或似針刺、或如傘狀……），在于它們和特定的“曲線方程”有密切關(guān)系。其中用來描繪花、葉輪廓的曲線稱作“玫瑰形線”；植物的螺旋狀纏繞莖取名為“生命螺旋線”。

撲克牌上的“梅花”并非真正的梅花，甚至不是什么花，而是三葉草。西方歷史上，三葉草的象征意義，據(jù)說：第一葉代表希望，第二葉代表信心，第三葉代表愛情。誰能找到四葉的三葉草，就會交上好運，找到幸福。在野外尋找四葉的三葉草，是西方的一種兒童游戲，確實很難找到。據(jù)估計，每一萬株三葉草，才會出現(xiàn)一株四葉的突變型。

在我國，梅花有著類似的象征意義。民間傳說梅花五瓣代表五福。民國把梅花定為國花，聲稱梅花五瓣象征五族共和，具有敦五倫、重五常、敷五教的意義。但是，梅花有五枚花瓣并非獨特。事實上，植物花最常見的就是五枚花瓣，如：與梅同屬薔薇科的其他物種，像桃、李、杏、梨、櫻花、蘋果等都開五瓣花。常見的花瓣數(shù)還有：3枚的鳶尾花、百合花（看上去6枚，實際上是兩套3枚）；8枚的飛燕草；13枚的瓜葉菊；向日葵花瓣是21或34枚；雛菊花瓣是34、55或89枚。而花瓣是其他數(shù)的花則很少。為什么花瓣數(shù)目不是隨機(jī)分布的？3，5，8，13，21，34，55，89……這些數(shù)有什么特殊嗎？有的，它們是斐波納契數(shù)。

斐波納契（1170-1240）是中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家。他在解一道關(guān)于兔子繁殖的問題時，得出了這個數(shù)列。假定有一雄一雌一對剛出生的兔子，它們長到一個月大小時開始交配；在第二月底，雌兔產(chǎn)下另一對兔子；再過一個月后第二對兔子也開始繁殖，如此這般持續(xù)下去。每只雌兔在開始繁殖時每月都產(chǎn)下一對兔子，假定沒有兔子死亡，那么一年后總共有多少對兔子呢？在第一月底，最初的一對兔子交配，但仍只有1對兔子；在第二月底，雌兔產(chǎn)下一對兔子，共有2對兔子；在第三月底，最老的雌兔產(chǎn)下第二對兔子，共有3對兔子；在四月底，最老的雌兔產(chǎn)下第三對兔子，第二對兔子的雌兔產(chǎn)下第四對兔子，共有5對兔子……如此這般計算下去，兔子對數(shù)分別是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……這個斐波納契數(shù)列有個規(guī)律：從第3個數(shù)開始，每個數(shù)都是前面兩個數(shù)之和。

植物中的斐波納契數(shù)列非常多。不僅花，還有葉、枝條、果實、種子等形態(tài)特征，都可發(fā)現(xiàn)斐波納契數(shù)。

1。葉序是指葉子在莖上的排列方式，最常見的是互生葉序，即在每個節(jié)上只生1葉，交互而生。任意取一個葉子做為起點，向上用線連接各個葉子的著生點，可以發(fā)現(xiàn)這是一條螺旋線，盤旋而上，直到上方另一片葉子的著生點恰好與起點葉的著生點重合，做為終點。從起點葉到終點葉之間的螺旋線繞莖周數(shù)，稱為葉序周。不同種植物的葉序周可能不同，之間的葉數(shù)也可能不同。如：榆的葉序周為1（即繞莖1周），有2葉；桑的葉序周為1，有3葉；桃的葉序周為2，有5葉；梨的葉序周為3，有8葉；杏的葉序周為5，有13葉；松的葉序周為8，有21葉……用公式表示（繞莖周數(shù)為分子，葉數(shù)為分母），分別為1/2，1/3，2/5，3/8，5/13，8/21……這些是最常見的葉序公式。據(jù)估計大約有90%植物屬于這類葉序，而它們?nèi)际怯伸巢{契數(shù)組成的。

植物的生長也和斐波納契數(shù)有關(guān)。數(shù)學(xué)家澤林斯基在一次國際數(shù)學(xué)會議上提出樹木生長問題：一棵樹苗一年后長出一個新枝，每個老枝和新枝也每一年再長出一個新枝，那么樹的分枝數(shù)就是斐波納契數(shù)列。

向日葵的花盤中，其種子排列組成了兩組相嵌在一起的螺旋線，一組是順時針方向，一組是逆時針方向。再數(shù)數(shù)這些螺旋線的數(shù)目，雖然不同品種的向日葵會有所不同，但是這兩組螺旋線的數(shù)目一般是34和55、55和89、89和144，其中前一個數(shù)是順時針線數(shù)，后一個數(shù)是逆時針線數(shù)，而每組數(shù)都是相鄰的斐波納契數(shù)。

再看菠蘿、松果上的鱗片排列，雖然不像向日葵花盤那么復(fù)雜，也存在類似的兩組螺旋線，其數(shù)目通常是8和13。有些植物中，這種螺旋線不那么明顯，需仔細(xì)觀察才會發(fā)現(xiàn)，如：花菜。花菜上的小花排列也形成兩組螺旋線，再數(shù)數(shù)螺旋線的數(shù)目，也是相鄰的兩個斐波納契數(shù)，如：順時針5條，逆時針8條。再掰下一朵小花仔細(xì)觀察，它實際上是由更小的小花組成的，而且也排列成兩條螺旋線，其數(shù)目也是相鄰的兩個斐波納契數(shù)。

斐波納契數(shù)和黃金分割有密切關(guān)系。實際上，黃金率=Lim（n→∞）An/An+1≈0。618。其中的An和An+1就是相鄰的兩個斐波納契數(shù)。這就和另一個更古老的、早在古希臘就被人們注意到甚至去崇拜它的另外一個“神秘”數(shù)字有關(guān)。假定有一個數(shù)φ，它有如下有趣的數(shù)學(xué)關(guān)系：φ2-φ-1=0，這個方程有兩個解：

①正數(shù)解（1+√5）/2=1。……②負(fù)數(shù)解（1-√5）/2=-0?！?/p>

這兩個數(shù)的小數(shù)部分是完全相同的。正數(shù)解（1?！┍环Q為黃金數(shù)或黃金比率，通常用φ表示。這是一個無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)，沒法用分?jǐn)?shù)來表示），而且是最“無理”的無理數(shù)。因為同樣是無理數(shù)，圓周率π用22/7，自然常數(shù)e用19/7，√2用7/5就可以很精確地近似表示出來，而φ則不可能用分母為個位數(shù)的分?jǐn)?shù)做精確的有理近似。

黃金數(shù)有一些奇妙的數(shù)學(xué)性質(zhì)。它的倒數(shù)恰好等于它的小數(shù)部分，也即1/φ=φ-1，有時這個倒數(shù)也被稱為黃金數(shù)、黃金比率。如果把一條直線AB用C點分割，讓AB/AC=AC/CB，那么這個比等于黃金數(shù)，C點被稱為黃金分割點；如果一個等腰三角形的頂角是36度，那么它的高與底線的比等于黃金數(shù)，這樣的三角形稱黃金三角形；如果一個矩形的長寬比是黃金數(shù)，那么從這個矩形切割掉一個邊長為其寬的正方形，剩下的小矩形的長寬比還是黃金數(shù)。這樣的矩形稱黃金矩形；黃金矩形可用上述方法無限切割下去，得到一個個越來越小的黃金矩形，而如果把這些黃金矩形的對角用弧線連接起來，則形成一個對數(shù)曲線；如把這些黃金矩形的中心用光滑的曲線連接起來，就是黃金螺線。

常見的報紙、雜志、書籍、紙張、身份證、信用卡用的形狀都接近于黃金矩形，據(jù)說這種形狀讓人看上去很舒服。的確，在我們的生活中，黃金數(shù)無處不在，建筑、藝術(shù)品、日常用品在設(shè)計上都喜歡用到它，因為它讓我們感到美與和諧。

相鄰兩個斐波納契數(shù)的比近似等于φ，n越大，則越接近；當(dāng)n→∞，其比就等于φ。斐波納契數(shù)與黃金數(shù)密切關(guān)聯(lián)。植物喜愛斐波納契數(shù)，實際上是喜愛黃金數(shù)。這是為什么呢？莫非冥冥之中有什么安排？西方人說：“植物中的神秘數(shù)字是上帝安排的和諧美?！?/p>

植物的枝條、葉子和花瓣有相同起源，都從莖尖的分生組織依次出芽、分化而來。新芽生長方向應(yīng)與前面一個芽的方向不同，旋轉(zhuǎn)一個固定角度。如充分利用生長空間，新芽生長方向應(yīng)與舊芽離得盡可能遠(yuǎn)。那么這個最佳角度是多少呢？如把這個角度寫成360°×n，其中0＜n＜1。由于左右各有一個相同角度（只是旋轉(zhuǎn)方向不同），例如n=0。4和n=0。6實際結(jié)果相同，因此只需考慮0。5≤n＜1的情況。如果新芽要與前一個舊芽離得盡量遠(yuǎn)，應(yīng)長到其對側(cè)，即n=1/2。但是再長第2個新芽則與舊芽同方向，第3個新芽與第1個新芽同方向……，也就是說，僅繞1周就出現(xiàn)了重疊，總共只有2個生長方向，中間的空間都浪費了。如果n=3/5呢？繞3周就出現(xiàn)重疊，總共只有5個方向。事實上，如果n是個真分?jǐn)?shù)p/q，則意味著繞p周就出現(xiàn)重疊，總共有q個生長方向。

顯然，如果n是沒法用分?jǐn)?shù)表示的無理數(shù)，就會“有理”得多。選什么樣的無理數(shù)呢？圓周率π、自然常數(shù)e和√2都不是很好的選擇，因為它們的小數(shù)部分分別與1/7、5/7、2/5非常接近，也就是分別繞1、5、2周就出現(xiàn)重疊，分別總共只有7、7、5個生長方向。所以，越是“無理”的無理數(shù)越好。前面已提到，那只有黃金數(shù)φ≈1。618。也就是說，n的最佳值≈0。618，即新芽的最佳旋轉(zhuǎn)角度大約是360°×0。618≈222°32'（或137°28'）。

前面提到，最常見的葉序為1/2，1/3，2/5，3/8，5/13和8/21，表示的是相鄰兩葉所成的角度（稱為開度），如果把它們換算成n（表示每片葉子最多繞多少周），只需用1減去開度，為1/2，2/3，3/5，5/8，8/13，13/21。它們是相鄰兩個斐波納契數(shù)的比值，是不同程度地逼近1/φ。在這種情形下，植物的芽可有最多的生長方向，占有盡可能多的空間。對葉子來說，意味著盡可能多地獲取陽光進(jìn)行光合作用，或承接盡可能多的雨水灌溉根部；對花來說，意味著盡可能地展示自己吸引昆蟲來傳粉；而對種子來說，則意味著盡可能密集地排列起來。這一切，對植物生長繁殖都大有好處?？梢姡参镏云珢垤巢{契數(shù)，乃是在適者生存的自然選擇作用下進(jìn)化的結(jié)果，并不神秘。

1976年國際數(shù)學(xué)會議上，美國普林斯頓大學(xué)的哈德羅·庫恩教授宣讀了一篇奇特的論文。眾所周知，N次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有N個根，但除N=2和少數(shù)例外，要找出N個復(fù)數(shù)根是很困難的，你想解一個復(fù)數(shù)系數(shù)是N次的方程嗎？那請你看看庫恩先生的表演吧：他準(zhǔn)備了一個培養(yǎng)皿和一個立體大籬笆，籬笆越往上越密。然后把你要解的方程的信息“告訴”培養(yǎng)皿。皿內(nèi)吐出幾個新芽，芽變成藤，飛快地攀上籬笆，一層一層往上穿。最后，每根藤恰好指向方程的一個根，于是方程的N個根就被找出來了。與會者無不目瞪口呆，驚奇萬分。植物竟會解方程！原來庫恩先生運用的是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個極為重要的定理，這就是拓?fù)鋵W(xué)中著名的“不動點定理”。因為學(xué)問太深，這里就不詳細(xì)解釋了。

近十幾年產(chǎn)生新興的分形數(shù)學(xué)（分維幾何學(xué)）：空間具有不一定是整數(shù)的維，存在一個分?jǐn)?shù)維數(shù)。這就它最本質(zhì)的東西。分形圖案是指一種通過縮小比例的方法不斷重復(fù)自身的圖形。生活中，我們看到洋槐樹、蕨類植物這些很美麗的大自然圖案，就是分形圖案的典型例子。組成某一蕨類植物的枝干本身就是這一蕨類植物的微型翻版，也就是說，任何一株獨立的蕨類植物都是由與其外觀相似的小分枝組成的。分形維數(shù)是指在某一區(qū)域內(nèi)自相似圖形按比例放大的速度。如果區(qū)域內(nèi)自相似圖形之間的密集度越高，這一區(qū)域的分形維數(shù)越大。

其實，許多科學(xué)都是受現(xiàn)實生活的啟發(fā)。植物中的趣味數(shù)學(xué)就是科學(xué)的鑰匙。

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