兩條直線，一個(gè)方程（2022新高考2卷圓錐曲線）
2022-07-05 00:54 作者:數(shù)學(xué)老頑童 | 我要投稿
（2022新高考Ⅱ，21）設(shè)雙曲線
：
（
，
）的右焦點(diǎn)為
，漸近線方程為
.
（1）求
（2）經(jīng)過
的直線與
、
兩點(diǎn)，點(diǎn)
、
在
，
，過
且斜率為
的直線與過
且斜率為
的直線交于點(diǎn)
，從下面三個(gè)條件①②③中選擇兩個(gè)條件，證明另一個(gè)條件成立：
①
上；②
；③
.
解：（1）由題可知，
即，
又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%3D%5Csqrt%7B3%7D" alt="%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%3D%5Csqrt%7B3%7D">，
解得，
，
故雙曲線的方程為
.
（2）先畫個(gè)圖：
雙曲線的漸近線方程可化為
，
設(shè)、
，
的中點(diǎn)為
，
所以
，
由點(diǎn)差法可知（此處從略）
，
即.
直線的方程為
，
直線的方程為
，
故直線的方程可寫為
，
即
雙曲線的方程可改寫為
，
整理，得
將的方程代入上式，可得
，
整理，得
……（
）
由于、
皆滿足（
），
故（）即為直線
之方程，
易知.
現(xiàn)在再看這三個(gè)條件：
①在
上；
若②成立，則，可理解為
在直線
上，也可理解為：
在線段
的中線上；
而③等價(jià)于：在線段
的中垂線上.
顯然，以其中任意兩個(gè)作為條件，都可以推出第三個(gè)（三線共點(diǎn)）.
標(biāo)簽：
