【本文轉(zhuǎn)載自上海人民出版社1973年版 僅供學(xué)習(xí)參考】

1.8 數(shù)學(xué)是從現(xiàn)實世界中抽象出來的

? 數(shù)學(xué)是一門高度抽象的科學(xué)。因此，唯心論者歷來喜歡利用數(shù)學(xué)來宣揚(yáng)唯心論的先驗論。杜就把數(shù)學(xué)的概念和命題，胡說成是人類精神的純粹的“自由創(chuàng)造物和想象物”。

? 恩老師在《反杜林論》中指出：“數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而是從現(xiàn)實世界中得來的?！痹谠忌鐣?，由于計量獵獲物的需要，人們才逐漸有了1，2，3，4等整數(shù)的概念，它們是從一匹馬，二只鹿，三頭牛，四條魚等等具體事物中抽象出來的，同時逐漸形成加、減、乘、除等算術(shù)運(yùn)算。形的概念，也是人們在制造器皿和測量土地等實踐活動中形成的，我國古代勞動人民早就利用規(guī)[i]矩[ii]來制作圓形和方形，為生產(chǎn)實踐服務(wù)；在古代埃及，尼羅河每泛濫一次，都要重新丈量土地?！皫缀巍币辉~的原意就是“丈量土地”。像“徑一周三”是關(guān)于直徑和圓周比值的近似規(guī)律，“勾三股四弦五”以及更一般的勾股定理[iii]則總結(jié)了直角三角形的重要性質(zhì)，它們都是在土地測量、制造圓形工件中抽象出來的。數(shù)學(xué)也和其他科學(xué)一樣，一開始就是從生產(chǎn)實踐中產(chǎn)生的。

? 變數(shù)是數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。近代數(shù)學(xué)[iv]就是在研究變數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。變數(shù)這個概念也是從現(xiàn)實世界中來的。十七世紀(jì)以來，生產(chǎn)斗爭和jj斗爭的發(fā)展，要求數(shù)學(xué)不僅反映客觀世界事物的相對穩(wěn)定狀態(tài)，還要反映事物的運(yùn)動和變化。在水利工程中要研究水流的速度，在彈道學(xué)中要研究炮彈的速度，這些問題都和自由落體的運(yùn)動有關(guān)。一個物體受到重力作用從高處自由地下落，每秒鐘內(nèi)它的下降距離是隨時間而變的，經(jīng)過測定，第一秒鐘下落4.9米，第二秒下落14.7米，第三秒下落24.5米，······。在這種運(yùn)動中時間在變化，物體下落的路程在變化，而且下落的速度也在變化，數(shù)學(xué)中的變數(shù)，就反映了現(xiàn)實世界中多種多樣的變化著的量。

? 事物的變化，總是體現(xiàn)在一事物同他事物的相互關(guān)系之中。在數(shù)學(xué)中通常用x和y來表示一對相互依賴的變數(shù)，它們之間的相互關(guān)系，稱為函數(shù)關(guān)系。例如，在落體運(yùn)動中，時間和路程就是一對相互依賴的變數(shù)，時間變化了，下落的路程也隨之而變化，函數(shù)關(guān)系就表示它們在變化中的規(guī)律。用x和y來表示的變數(shù)，顯然就比時間、路程等概念抽象得多了，因為它們已經(jīng)撇開了具體的內(nèi)容，純粹地從數(shù)量方面來進(jìn)行研究了。但是，正如恩老師所指出的：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，所以是非?，F(xiàn)實的材料。這些材料以極度抽象的形式出現(xiàn)，這只能在表面上掩蓋它起源于外部世界的事實?！弊償?shù)x和y之間的函數(shù)關(guān)系，就是起源于現(xiàn)實世界事物的運(yùn)動，決不是從頭腦中憑空產(chǎn)生的。

? 變數(shù)進(jìn)入數(shù)學(xué)以后，微積分也就立刻產(chǎn)生了，它是進(jìn)一步研究變數(shù)和函數(shù)的有力工具。微積分的概念和方法，也同樣是從物理模型中抽象出來的，它對于研究變速運(yùn)動是非常必要的。在勻速運(yùn)動中，并不需要微積分，例如一個人在通常情況下走路，快慢變化不大，就可以看成勻速的，這時，由路程和時間來計算速度，用除法就夠了。例如，如果知道這個人在3小時內(nèi)走了15公里，那末他的速度就是15/3=5公里／時，即每小時走5公里；反過來，如果已知速度是5公里／時，那末經(jīng)過3小時，所走的路程就是速度乘上時間：5×3=15公里，即一共走了15公里，用乘法就夠了。但是，一旦我們要去研究變速運(yùn)動[v]，速度隨時在改變，除法和乘法就不夠用了，就得用新的數(shù)學(xué)方法。在自由落體運(yùn)動中，下落路程除時間只是落體在這一段時間內(nèi)的平均速度，而不是它的各個瞬時的真實速度，但是，如果把時間間隔分得細(xì)一些，那末平均速度和真實的速度就會接近一些，時間越分越細(xì)，平均速度就越來越接近某一瞬時的真實速度，把時間無限細(xì)分達(dá)到零，這時平均速度就轉(zhuǎn)化成為物體在這一瞬時的真實速度。微積分的概念和方法就是從這里產(chǎn)生的。時間間隔的無限細(xì)分叫做時間的微分，相應(yīng)地，路程的無限細(xì)分稱為路程的微分。相反地，如果已經(jīng)知道瞬時的真實速度，要求物體所經(jīng)歷的路程，就得用積分法，它是把物體的運(yùn)動過程無限細(xì)分，同時又無限積累起來，反映事物經(jīng)歷變化全過程以后的結(jié)果。所以微分和積分的概念和方法就來自求速度和求路程這樣非常具體的問題。對自然界來說，均勻變化是相對的，如果有均勻變化，那也只是一種近似，所以在自然界不斷地發(fā)生微分和積分的過程，它和人所進(jìn)行的微分和積分運(yùn)算的區(qū)別只在于：“一種是由人的頭腦有意識地完成的，另一種是由自然界無意識地完成的?！盵vi]我們的微積分概念和方法，就是自然界事物的變化過程的反映。自然界為這些概念和方法，提供了多種多樣的原型，例如，水的蒸發(fā)、氣體的加熱膨脹、放射性物質(zhì)的蛻變等等都表現(xiàn)了自然界本來的微分和積分的過程。誠然，在純數(shù)學(xué)中，微分和積分是以抽象的形式出現(xiàn)的，但是正因為它們來自現(xiàn)實世界，經(jīng)過了實踐的檢驗，所以是一種科學(xué)的抽象?！?strong>一切科學(xué)的（正確的、鄭重的、不是荒唐的）抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然?！盵vii]

? 然而，許多zcjj學(xué)者不能理解數(shù)學(xué)的現(xiàn)實來源，片面地強(qiáng)調(diào)它的抽象性而抹煞它和現(xiàn)實世界的聯(lián)系，講數(shù)學(xué)不結(jié)合物理模型，越搞越脫離實際，有人甚至把變數(shù)x和y看成是“純粹的符號”，把數(shù)學(xué)的演算看成是“公式組合的游戲”。他們雖然也無法否定數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用，但是由于不承認(rèn)數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實世界，其結(jié)果就必然會走上唯心論的先驗論，把數(shù)學(xué)的成果看成是先天的?？档抡抢脭?shù)學(xué)有廣泛應(yīng)用這一點(diǎn)而鼓吹先驗論的，他說數(shù)學(xué)“只包含純先驗的知識”，像5+7=12這樣的等式，在康德的心目中，也不是實踐經(jīng)驗的概括，而是一個“先天的判斷”。杜追隨著康德，也借助于數(shù)學(xué)來宣揚(yáng)他的反動哲學(xué)：先從頭腦中炮制出一套先驗的“原則”乃至“世界模式”，然后把它們強(qiáng)加給自然界和人類世界。[-]一伙鼓吹什么“天賦”的才能，妄圖把他們的反gm夢想“從主觀倒客觀”地“灌輸”給現(xiàn)實世界，以為憑借著他們的主觀愿望，就可以使地球停止轉(zhuǎn)動，[-]，這也完全是杜的反動哲學(xué)的翻版。堅持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)域中的唯物主義的反映論，批判唯心論，有助于我們進(jìn)一步深入批判和揭露[-]的唯心論和先驗論。

注：

[i] 圓規(guī)。

[ii] 直尺。

[iii] 直角三角形兩直角邊平方之和等于斜邊的平方。

[iv] 首先是微積分。

[v] 如自由落體運(yùn)動。

[vi]《自然辯證法》。

[vii] 列寧：黑格爾《邏輯學(xué)》一書摘要。