菲書第一次習(xí)題課，比較簡單，一共九道題，今天聊前五道，重要的、需要記住結(jié)論的題目，老碧會(huì)標(biāo)注。

重要結(jié)論什么的記熟了，以后學(xué)到級(jí)數(shù)什么的會(huì)更容易，當(dāng)然許多題想要做得又快又好，必須的結(jié)論是一定得記清楚的。

25例題——第一次習(xí)題課，興奮！

1.無窮小量的分類——前三道例題都給出了無窮小的類型

考慮無窮小量的定義——極限區(qū)域0的數(shù)列，由于未規(guī)定方向，所以在數(shù)軸上可以從右邊向0趨近（由正數(shù)遞減），可以從左邊向0趨近（由負(fù)數(shù)遞增），可以忽左忽右穩(wěn)定在0的附近（波動(dòng)狀，時(shí)正時(shí)負(fù)），對應(yīng)例題一中的三種無窮小——

1. ——單調(diào)、遞減、正數(shù)列——例子：1/n（n是自然數(shù)）；

2. ——單調(diào)、遞增、負(fù)數(shù)列——例子：-1/n（n是自然數(shù)）；

3. ——波動(dòng)，時(shí)正時(shí)負(fù)，穩(wěn)定于0附近——例子：（-1）^（n+1）/n。

按照求數(shù)列極限的求法，我們只要任給一個(gè)小數(shù)e>0，都存在一個(gè)自然數(shù)N使得最終那個(gè)不等式成立即可，在這里即是說對任意n>N，|an-0|=|an|<e——

對1、2、3型，絕對值均為1/n，對任意小時(shí)e>0，我們要使得1/n<e，只要n>N>1/e即可，那么N的取值只要滿足，大于從左邊最靠近1/e一個(gè)正數(shù)即可。

于是引入復(fù)合E（p）表示不超過p的最大整數(shù)——

這個(gè)符號(hào)叫做取整函數(shù)——在后面會(huì)有用！要記住——

1. 對整數(shù)z，E（z）=z，比如：E（3）=3；

2. 對不是整數(shù)的數(shù)q，E（q）<q，比如，E（1/3）=0，E（-pi）=-4——打不出來希臘字母，pi是圓周率的讀音。

2.給了第四種會(huì)不斷波動(dòng)的正數(shù)無窮小，給了我們構(gòu)造波動(dòng)形式的數(shù)列的思路

這一題這里用的方法是取最大值的方法，之后學(xué)了子列之后，還會(huì)有其他方法。

3.給出了第五種無窮小，依然是波動(dòng)的——

記住這些例子，可以在證明一些對于數(shù)列的性質(zhì)的證偽的時(shí)候能夠舉出例子，算是一些反例。

4.一道典型的數(shù)列極限證明題——放縮法

證明數(shù)列（n^2-n+2）/（3n^2+2n-4）的極限為1/3，正常思路，我們對于任意小數(shù)e>0，我們能得到一個(gè)N，使得n>N時(shí)，滿足|（n^2-n+2）/（3n^2+2n-4）-1/3|<e即可——

1. 通分|（n^2-n+2）/（3n^2+2n-4）-1/3|=|-（5n-10）/3（3n^2+2n-4）|；

   我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)式子比較復(fù)雜，于是我們采用放縮法，將這個(gè)式子轉(zhuǎn)化為一種比較簡單的形式，因?yàn)槲覀冎灰苷业揭粋€(gè)N就可以了，所以我們?nèi)绻苷业揭粋€(gè)比這個(gè)差大的值依然能得到N，滿足不等式，都可以；

2. 因?yàn)槭欠质?，并且n的取值可以從1取到無限大，所以我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)n>2時(shí)，5n-10>0且3n^2+2n-4>0，所以，我們可以針對去掉絕對值符號(hào)的值（5n-10）/3（3n^2+2n-4）來考慮；

3. 分式的放縮只要讓分母變小，或者分子變大就可以得到一個(gè)新的式子，（5n-10）/3（3n^2+2n-4）<5n/9n^2=5/9n——只要n>2，不等式就成立；

4. 要使|（n^2-n+2）/（3n^2+2n-4）-1/3|<5/9n<e，只要取n>N>5/9e，又由于在3中我們?nèi)×薾>2，所以N取E（5/9e）+1與2之間的較大的數(shù)，即可。

我們此處引入常用符號(hào)max｛a，b｝——意思是，取a，b中的最大值；類似的min ｛a，b｝——取a，b中的最小值；以上題為例取N=｛E（5/9e）+1，2｝即可。

5.下面介紹一個(gè)重要的數(shù)列極限

這個(gè)極限極重要，這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)分析中會(huì)一再出現(xiàn)——要記住的哦！

求證a>1時(shí)，數(shù)列a^（1/n）的極限為1——看到a>1和冪的形式，自然會(huì)聯(lián)想到伯努利不等式——這就是我們做題的時(shí)候要總結(jié)的所謂套路，都是套路！——

1. a>1，自然a^（1/n）>1，a^（1/n）-1>0；

2. 可以寫出a^（1/n）=1+m，m=a^（1/n）-1形式，則a=（1+m）^n；

3. 由伯努利不等式：a=（1+m）^n>1+nm=1+n[a^（1/n）-1]，即a^（1/n）-1<（a-1）/n；

4. 我們要對任意小數(shù)e>0，找到一個(gè)N，使得|a^（1/n）-1|=a^（1/n）-1<（a-1）/n<e，即n>N>（a-1）/e，取N=E（（a-1）/e）即可。

先說這五題，明天再繼續(xù)聊后面幾道題——與之后要學(xué)習(xí)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)直接掛鉤，所以滾瓜爛熟為好。

明天不見不散哦！