質(zhì)數(shù)計(jì)數(shù)函數(shù)與黎曼 zeta 函數(shù)的關(guān)系以及其顯式形式 [下]

2023-07-19 20:43 作者:nyasyamorina 0人讀過 | 我要投稿

?(接上篇)

下面引入質(zhì)數(shù)計(jì)數(shù)函數(shù) π(x) 的大哥?Π(x),? 其定義如下:

$%5CPi(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac1n%5Cpi%5Cleft(x%5E%7B1%2Fn%7D%5Cright)%20$

下圖是?Π 的 1~100 的圖像

根據(jù)?Mo?bius?反演,??π 的值可以由?Π 計(jì)算出:

$%5Cpi(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cmu(n)%7Dn%5CPi%5Cleft(x%5E%7B1%2Fn%7D%5Cright)$

其中 μ 是?Mo?bius 函數(shù),??μ 的定義比較難用式子表達(dá),? 這里用文字描述一下:??μ(x) 定義域?yàn)槿w正整數(shù),? 考慮 x 的質(zhì)因素分解 (即把 x 分解為一系列質(zhì)數(shù)的乘積),? 當(dāng)分解出重復(fù)的質(zhì)因數(shù)時(shí)?μ(x) = 0,? 否則 μ(x) = (-1)^k,? 其中 k 是質(zhì)因數(shù)的數(shù)量,??并且因?yàn)?1 沒有質(zhì)因數(shù),? 所以?μ(1) = 1.? 下圖為?μ 的 1~50的圖像:

Mo?bius?反演這里也不介紹了,? 感興趣的可以去找找其他文章,? 這里重要的是上面的式子.

另外還有,? 直接代入?π 的定義可以得到:

$%5CPi(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Csum_%7Bp%5Cleq%20x%5E%7B1%2Fn%7D%7D%5Cfrac1n$

交換求和順序可以得

$%3D%5Csum_p%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cleft%5Clfloor%5Clog_px%5Cright%5Crfloor%7D%5Cfrac1n$

其中兩個(gè)求和可以寫在一起,? 得到? $%5CPi(x)%3D%5Csum_%7Bp%5En%5Cleq%20x%7D%5Cfrac1n$ .? 并且?Π 也存在"圓滑"版本的?Π?.

Π 與 ζ 的聯(lián)系

Π 與 ζ 有? $-I%5Ctimes%5Cmathcal%20M%5CPi%3D%5Cmathcal%20R(%5Cln%5Ccirc%5Czeta)$ ,? 證明:

將歐拉乘積形式的 ζ 代入然后 Taylor 展開 (上篇也有相同的步驟) 得

$(%5Cln%5Ccirc%5Czeta)(s)%3D%5Cln%5Czeta(s)%3D%5Csum_p%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac1n%5Cleft(p%5En%5Cright)%5E%7B-s%7D$

$%3D%5Csum_p%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%20sn%5Cint_%7Bp%5En%7D%5E%5Cinfty%20x%5E%7B-s-1%7Ddx%3Ds%5Csum_p%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cint_%7Bp%5En%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac1nx%5E%7B-s-1%7Ddx$

交換積分求和順序得

$%3Ds%5Cint_1%5E%5Cinfty%5Csum_%7Bp%5En%5Cleq%20x%7D%5Cfrac1nx%5E%7B-s-1%7Ddx%3Ds%5Cint_0%5E%5Cinfty%5CPi(x)x%5E%7B-s-1%7Ddx%20$

使用 -s 替換 s 得

$%5Cln%5Czeta(-s)%3D-s%5Cint_0%5E%5Cinfty%5CPi(x)x%5E%7Bs-1%7Ddx%3D-s(%5Cmathcal%20M%5CPi)(s)$

證畢.

Π 與 ψ 的聯(lián)系

現(xiàn)在有兩個(gè)等式 (R(ln ° ζ))' = MDψ 以及 R(ln ° ζ) = -I × MΠ,? 可以得到

$%5Cmathcal%7BMD%7D%5Cpsi%3D(-I%5Ctimes%5Cmathcal%20M%5CPi)'$

化簡得

$%3D-%5Cmathcal%20M%5CPi-I%5Ctimes(%5Cmathcal%20M%5CPi)'%3D-%5Cmathcal%20M%5CPi-I%5Ctimes%5Cmathcal%20M(%5CPi%5Ctimes%5Cln)%3D-%5Cmathcal%20M%5CPi%2B%5Cmathcal%7BMD%7D(%5CPi%5Ctimes%5Cln)$

對(duì)上式取 Mellin 逆變換得

$%5Cmathcal%20D%5Cpsi_0%3D-%5CPi_0%2B%5Cmathcal%20D(%5CPi_0%5Ctimes%5Cln)$

Π 的顯式形式

Π 的顯式形式為

$%5CPi_0(x)%3D%5Cmathrm%7Bli%7D(x)-%5Clog2-%5Csum_%5Crho%5Cmathrm%7Bli%7D(x%5E%5Crho)$

其中 li 和 ρ 的定義與上篇的一樣.? 證明:

因?yàn)樯厦媸褂玫暮瘮?shù)算符都是線性的,? 并且 li(x) = Li(x1),? 那么對(duì)照 ψ? 的顯式形式可以知道?ψ? 和?Π? 是逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)的,? 那么只需要證明 $%5Cmathcal%20D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bx%5E%5Crho%7D%5Crho%5Cright%5C%7D%3D-%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%2B%5Cmathcal%20D%5Cleft%5C%7B%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%5Cln%20x%5Cright%5C%7D%20$ ?就可以了 (差一個(gè)常數(shù)).

等號(hào)左邊為? $%5Cmathcal%20D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bx%5E%5Crho%7D%5Crho%5Cright%5C%7D%3Dx%5Cfrac%20d%7Bdx%7D%5Cfrac%7Bx%5E%5Crho%7D%5Crho%3Dx%5E%5Crho$

根據(jù) li 的定義可以知道? $%5Cmathrm%7Bli%7D'(x)%3D%5Cfrac1%7B%5Cln%20x%7D$ ,? 那么等號(hào)右邊第二項(xiàng)為

$%5Cmathcal%20D%5Cleft%5C%7B%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%5Cln%20x%5Cright%5C%7D%20%3Dx%5Cfrac%20d%7Bdx%7D%5Cleft(%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%5Cln%20x%5Cright)%3Dx%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Crho%20x%5E%7B%5Crho-1%7D%7D%7B%5Cln%20x%5E%5Crho%7D%5Cln%20x%2B%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%5Cfrac1x%5Cright)%3D%20x%5E%5Crho%2B%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)$

那么 $-%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%2B%5Cmathcal%20D%5Cleft%5C%7B%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%5Cln%20x%5Cright%5C%7D%20%3Dx%5E%5Crho$ ,? 從而證得逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)的.? 但是常數(shù)項(xiàng) ln2 還不知道是怎么來的,? 貌似是跟不完全 Γ 函數(shù)有關(guān),? 這里就忽略這個(gè)問題罷.

跟?ψ? 的顯式形式一樣,? 通過把 ζ 零點(diǎn)求和分為平凡零點(diǎn)和非平凡零點(diǎn),? 并且平凡零點(diǎn)求和可以直接計(jì)算得出 (也是不知道計(jì)算過程),? 得到

$%5CPi(x)%3D%5Cmathrm%7Bli%7D(x)-%5Cln2%2B%5Cint_x%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt(t%5E2-1)%5Cln%20t%7D-%5Csum_%7B%5Crho_%2B%7D%5Cmathrm%7Bli%7D(x%5E%7B%5Crho_%2B%7D)$

然后就是畫圖時(shí)間,? 使用前 100 個(gè)非平凡零點(diǎn)的圖像:

使用前 25000 個(gè)非平凡零點(diǎn)得到的絕對(duì)誤差:

跟?ψ? 不一樣的是,??因?yàn)?1 是 li 的極點(diǎn),? 所以計(jì)算?Π? 需要注意在接近 1 時(shí)會(huì)數(shù)值爆炸.

π 的顯式形式

實(shí)際上根據(jù)?Π? 的顯式形式就已經(jīng)可以直接求出?π? 的顯式形式了 (通過?Mo?bius?反演),? 不過大部分情況下會(huì)定義一個(gè)函數(shù) R

$R(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cmu(n)%7Dn%5Cmathrm%7Bli%7D(x%5E%7B1%2Fn%7D)$

并且?μ 與 ζ 有關(guān)系? $%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cmu(n)%7D%7Bn%5Es%7D%3D%5Cfrac1%7B%5Czeta(s)%7D$ ,? 證明:? 根據(jù)歐拉乘積形式有

$%5Cfrac1%7B%5Czeta(s)%7D%3D%5Cprod_p1-%5Cfrac1%7Bp%5Es%7D%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Es%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5Es%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B5%5Es%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%5Es%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B7%5Es%7D%2B%5Ccdots$

不難看到乘積展開后會(huì)產(chǎn)生一些列的 ±1 / n^s,? n 為沒有重復(fù)質(zhì)因數(shù)的整數(shù),? 并且符號(hào)取決于質(zhì)因數(shù)的數(shù)量,? 對(duì)比?μ 的定義即可證得.

那么? $%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cmu(n)%7Dn%5Cln2%3D%5Cfrac%7B%5Cln2%7D%7B%5Czeta(1)%7D%3D0$ ,? 因?yàn)?1 是 ζ 的極點(diǎn),? 所以 1/ζ(1) = 0.? 那么綜上所述,??π? 的顯式形式可以寫為 (這次分開平凡/非平凡零點(diǎn)就不能化簡了)

$%5Cpi_0(x)%3DR(x)-%5Csum_%5Crho%20R(x%5E%5Crho)%3DR(x)-%5Csum_%7B%5Crho_%2B%7D%20R(x%5E%7B%5Crho_%2B%7D)%2B%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cmu(n)%7Dn%5Cint_%7Bx%5E%7B1%2Fn%7D%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt(t%5E2-1)%5Cln%20t%7D$

畫圖時(shí)間,??使用前 100 個(gè)非平凡零點(diǎn)的圖像:

使用前 25000 個(gè)非平凡零點(diǎn)得到的絕對(duì)誤差:

跟?Π? 一樣,? 注意 li(1) 是極點(diǎn),? 但是 R 的定義里有 x^{1/n},? 隨著 n 的增加這個(gè)的值是趨向 1 的,? 所以為了避免數(shù)值爆炸必須對(duì) R 里的求和進(jìn)行截?cái)?? 上面絕對(duì)誤差圖像里,? 誤差集中在 ~0.007?的原因就是進(jìn)行了截?cái)?

計(jì)算和生成圖片的代碼可以在我的 github 垃圾桶里找到:

https://github.com/nyasyamorina/trash-bin/blob/main/prime-counting-function.jl

標(biāo)簽：質(zhì)數(shù)黎曼 zeta

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質(zhì)數(shù)計(jì)數(shù)函數(shù)與黎曼 zeta 函數(shù)的關(guān)系以及其顯式形式 [下]

Π 與 ζ 的聯(lián)系

Π 與 ψ 的聯(lián)系

Π 的顯式形式

π 的顯式形式