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你真的了解芝諾悖論？從邏輯角度展開討論

2022-06-01 08:20 作者:19370_K 0人讀過 | 我要投稿

? 芝諾是生活在公元前五世紀(jì)的古希臘人，他和老師巴門尼德都屬于愛麗亞學(xué)派。愛麗亞學(xué)派的基本思想是否認(rèn)世界的運(yùn)動(dòng)變化，芝諾先后提出了多個(gè)著名悖論來支持這些思想。據(jù)說，他建立的悖論約有四十個(gè)[[1]]，如今流傳的不到十個(gè)。芝諾所提出的論證大部分依靠其他思想家的記載得以保存。亞里士多德在《物理學(xué)》當(dāng)中講述了芝諾的四個(gè)悖論，如今被稱為“芝諾悖論”。芝諾悖論當(dāng)中的前兩個(gè)，“二分法悖論”和“阿克琉斯悖論”討論了連續(xù)時(shí)空下運(yùn)動(dòng)不可能，后兩個(gè)“飛矢不動(dòng)”和“運(yùn)動(dòng)場(chǎng)悖論”則討論了間斷時(shí)空下的運(yùn)動(dòng)不可能。

? 阿克琉斯悖論就是這四個(gè)悖論當(dāng)中最為有名的，有時(shí)也被叫做芝諾悖論。為了不與包含四個(gè)悖論的芝諾悖論混淆，這里將它稱為阿克琉斯悖論。阿克琉斯是古希臘神話中善于跑步的神，烏龜是人們普遍認(rèn)為移動(dòng)緩慢的動(dòng)物。如果讓他站在烏龜身后一段距離，然后和烏龜同時(shí)起跑，那么當(dāng)阿克琉斯跑到烏龜原本所在的地方時(shí)烏龜已經(jīng)往前移動(dòng)了一段距離。當(dāng)阿克琉斯繼續(xù)向前跑，再次到達(dá)剛剛烏龜停留的地點(diǎn)時(shí)，烏龜又往前移動(dòng)了一小段。如此循環(huán)，盡管阿克琉斯和烏龜?shù)木嚯x在不斷縮短，他卻始終不能追上烏龜[2]。

? 這個(gè)故事所給出的結(jié)論顯然是荒謬的，但它所依據(jù)的推論卻是合理易懂的，這使阿克琉斯悖論為人所熟知。芝諾正因此得以宣揚(yáng)自己運(yùn)動(dòng)實(shí)際并不存在的思想。這也吸引后人從邏輯學(xué)、數(shù)學(xué)和物理學(xué)等方面尋找問題的解。盡管現(xiàn)代量子力學(xué)已經(jīng)求得了時(shí)間和空間的最小可測(cè)尺度，數(shù)學(xué)家也早就接受了“無窮”概念的存在，但本文要從邏輯學(xué)的角度來嘗試討論一下阿克琉斯悖論本身存在的問題。

? 在討論阿克琉斯悖論之前不妨先看一下與其同胞的二分法悖論，它討論了更為簡單的孤立物體的運(yùn)動(dòng)。假如一個(gè)物體要從現(xiàn)在所處的點(diǎn)到達(dá)某點(diǎn)，那么它必須先到達(dá)路程的二分之一處；要到達(dá)路程的二分之一處，就必須先到達(dá)四分之一處，那它又必須先到達(dá)八分之一處、十六分之一處……這樣的二分無限進(jìn)行下去，物體就必須在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)到達(dá)無限個(gè)點(diǎn)。但是在有限時(shí)間內(nèi)完成無限多的任務(wù)是不可能的，所以物體不可能到達(dá)目的地，它甚至根本不能離開起點(diǎn)。這樣看來阿克琉斯和烏龜?shù)馁惻芸赡芨静粫?huì)開始。

? 問題出在哪里？或許我們可以從芝諾希望論證的另一個(gè)論題看到一些解題的端倪，即“多個(gè)事物不存在”。從這個(gè)想法引出的就是芝諾借助無限二分的距離否定了空間，或者說事物無限分割的可能性。暫且不管芝諾的想法是否確實(shí)如此，但我們確實(shí)是相信空間是可以無限二分的。盡管在物理學(xué)上，將某物分割到分子或原子級(jí)別后它就失去了本性，再進(jìn)行分割則會(huì)遇到基礎(chǔ)粒子不能分割的問題。但是對(duì)于距離，仍然可以假想心智上的二分來討論空間的問題?？墒腔氐桨⒖肆鹚沟馁惖郎?，假如跑道無限可分，那無限個(gè)有限大小的長度不是一定會(huì)組成無窮遠(yuǎn)的路程嗎？答案顯然是否定的。我們可以用簡單的微積分求和來證明1/2+1/4+1/8+……一直無窮加下去，所得的和將會(huì)是1。這一問題已經(jīng)被幾百年前的數(shù)學(xué)家回答。也正因此芝諾常常被嘲笑為不懂?dāng)?shù)理的小丑。

? 但可惜，芝諾是個(gè)十分聰明的人。盡管 “多不存在”的想法被駁倒了，但是阿克琉斯悖論本身卻并沒有被直接證謬。因?yàn)榧热欢嗍谴嬖诘?，路程是無限可分的，阿克琉斯如何能在有限時(shí)間內(nèi)走過無限多的點(diǎn)呢？羅素曾經(jīng)提出一種假設(shè)，假如一個(gè)人通過練習(xí)對(duì)自己的任務(wù)越來越熟練，完成一份任務(wù)所花的時(shí)間不斷減半，那么他將能在有限的時(shí)間里完成無限多的任務(wù)[3]。盡管這種假定“在醫(yī)學(xué)上是不可能的”，但在邏輯上卻是可行的。如果無法證明羅素的想法是錯(cuò)誤的，那羅素的邏輯就可以用來解決芝諾的運(yùn)動(dòng)問題。亞里士多德的觀點(diǎn)是，如果時(shí)間和空間一樣是可以無限分割的，那么將一段時(shí)間無限二分，分出來的每一段時(shí)間用于走過對(duì)應(yīng)的路程，就可以在限定時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)了。這樣的反駁初看來是很精巧的，但是該論證從一開始就假定了一段足以完成任務(wù)的時(shí)間，繼而在最后得出了可以在一段時(shí)間內(nèi)走完路程的結(jié)論，所以論證顯然是不成立的。對(duì)于阿克琉斯悖論，亞里士多德認(rèn)為，既然阿克琉斯是在沿著烏龜?shù)穆肪€追逐，那他必然要慢于烏龜一段（不管多么小的）距離，以保證烏龜?shù)穆肪€能夠確定。所以假如允許阿克琉斯領(lǐng)先烏龜一段（不管多么小的）距離的話，悖論就不成立了。但是這樣的想法顯然只是避開了芝諾的推理，并沒有解決問題的實(shí)質(zhì)。

? 對(duì)于二分法悖論，亞里士多德后來也提出了另一個(gè)思路。即芝諾的無限分割是潛在的，即便在邏輯上可行，這樣的分割也是潛在的、不現(xiàn)實(shí)的。這仿佛和羅素的“醫(yī)學(xué)不可行但邏輯可行”異曲同工。結(jié)合上段對(duì)阿克琉斯悖論的反駁，我們可以建立一個(gè)思維模型：

? Z點(diǎn)是整個(gè)跑道的起點(diǎn)，Z*作為終點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的中間點(diǎn)作為Z1，Z1和Z*之間的中點(diǎn)作為Z2，以此類推地確定Z3 Z4 Z5……等一系列的點(diǎn)[4]。

? 假如忽視烏龜?shù)拇嬖?，阿克琉斯要跑完這樣的一段路，顯然要先經(jīng)過無限多的點(diǎn)?？赡躗*的假設(shè)有點(diǎn)類似亞里士多德對(duì)二分悖論的第一個(gè)回應(yīng)，即先假定任務(wù)可以在一定時(shí)間完成再證明任務(wù)確實(shí)可以完成。但是二者存在邏輯上的差別，Z*盡管是阿克琉斯追上烏龜?shù)奈恢?，但他卻必須先穿過Zn序列才能到達(dá)Z*。這與亞里士多德無條件地假設(shè)一段足夠長的時(shí)間是不同的。在前面的論述中已經(jīng)說明過，邏輯上在有限時(shí)間內(nèi)完成無限任務(wù)不是不可能的。那么現(xiàn)在我們將矛頭轉(zhuǎn)向此問題的另一個(gè)顧慮：阿克琉斯有可能經(jīng)過無窮個(gè)Zn之后到達(dá)終點(diǎn)嗎？換個(gè)問法，經(jīng)過所有Zn序列上的點(diǎn)是到達(dá)Z*的充分條件嗎？由于Z*處在Zn序列之外，因此即使阿克琉斯就算穿過了Zn序列他也不一定在Z*，也就始終無法到達(dá)終點(diǎn)。

? 這樣的論證在數(shù)學(xué)上看是合理的。此處Zn序列的點(diǎn)的確定不過是為了建立“無窮多個(gè)點(diǎn)”的假定，Zn并不一定是位于Zn-1和Z*之間的中點(diǎn)，在Zn之后Z*之前的任何位置找到的點(diǎn)總可以作為Zn+1存在，如此一來阿克琉斯的位置就很難確定了。Zn序列構(gòu)成的線變成了一段有長度但是缺少一個(gè)端點(diǎn)的線。但是不難發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)Zn點(diǎn)的確定都離不開Z*的存在，盡管Z*不屬于Zn序列。Zn序列在哪里？無論怎樣修改Zn序列的語言描述，我們總是不可避免地回答“Zn序列在Z和Z*之間的區(qū)域”。如同在測(cè)量物理長度時(shí)我們必須確定一段距離的兩點(diǎn)一樣，為了確定阿克琉斯要走過的路程，即Zn序列，就要約定Z*這個(gè)點(diǎn)既不屬于Zn序列，又標(biāo)定了Zn序列的空間區(qū)域的一端。數(shù)學(xué)上Zn序列根本就不存在最后的元素，在確認(rèn)Z*之后我們才確定了跑道的長度。那么穿過數(shù)學(xué)概念的Zn序列所對(duì)應(yīng)的物理長度，自然也就到達(dá)了Z*。所以在從數(shù)學(xué)概念上的Zn序列，到物理意義上的Z到Z*之路的過程中，發(fā)生了一次對(duì)應(yīng)。這個(gè)對(duì)應(yīng)使在數(shù)學(xué)上不具有大小的Zn序列點(diǎn)和跑道上表示位置的物理長度端點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來。在這個(gè)對(duì)應(yīng)過程中如果忽視了從數(shù)學(xué)概念到物理實(shí)際的跨越，就無法走出困境。從這一觀點(diǎn)看，充分條件問題的答案顯然就是肯定的了，即跨過Zn序列之后，阿克琉斯可以到達(dá)Z*。

? 再回到阿克琉斯和烏龜?shù)馁惻苌?，再次如上建立一個(gè)模型。不過此時(shí)Z*的位置假定為阿克琉斯追上烏龜?shù)奈恢茫琙1設(shè)為烏龜出發(fā)的位置，Z2為阿克琉斯處在Z1時(shí)烏龜所處的位置，依次類推地確定Zn序列。這樣就建立起了新的Zn序列和跑道，區(qū)別僅僅在于Z*是隨著烏龜移動(dòng)的。情況和前述一樣，經(jīng)過數(shù)學(xué)和物理概念上的跨越，烏龜和阿克琉斯在某個(gè)時(shí)間同時(shí)通過了Zn序列，二者同一時(shí)間到達(dá)了Z*。

? 盡管芝諾本人的所想所說已經(jīng)佚失多年，但他所留下的思想?yún)s在不斷激勵(lì)后人思考空間、時(shí)間以及運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)。微積分的建立肯定了時(shí)空無窮分割的可行性，也創(chuàng)立了一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科?，F(xiàn)代量子物理的研究證明了普朗克長度（大約是1.616x10-35m）[5]是可以測(cè)量的最小長度單位，任何小于普朗克長度的情況都是無法觀測(cè)和討論，也是沒有物理理論可以適應(yīng)的。于是阿克琉斯和烏龜之間的距離也不可能小于普朗克長度。千年之后，這位古希臘英雄終于可以追上烏龜了。人類對(duì)于時(shí)空，對(duì)于無窮大與無窮小的探索始終不會(huì)停息。或許在遙遠(yuǎn)的將來，就像量子力學(xué)取代經(jīng)典力學(xué)成為運(yùn)動(dòng)原理的基石一樣，會(huì)有一種新的科學(xué)體系，使普朗克長度之下的空間能以某種方式被我們看到。