要理解梯度，必須先理解什么是方向?qū)?shù)。參照?qǐng)D1。z代表空間曲線。

我們先看看方向?qū)?shù)的定義：

所謂方向?qū)?shù)，就是指函數(shù)f(x,y)沿著直線L變化的速率，這條直線其實(shí)就是曲面上相對(duì)應(yīng)的那條曲線在xoy平面的投影，完成投影的這個(gè)豎立的平面就稱為投影平面，那么，方向?qū)?shù)其實(shí)就是空間曲線沿著它自己在xoy平面的投影直線的變化率。正如dy/dx表示二維平面中一條曲線在某一點(diǎn)沿著x軸的變化速率（也就是切線的斜率）一樣，參考說(shuō)明圖，可以很清楚地理解方向?qū)?shù)的含義。有了定義以后，可以得出

圖3相當(dāng)于把方向?qū)?shù)

在XOY平面進(jìn)行了分解，然后再和一個(gè)單位向量做點(diǎn)積，這個(gè)單位向量就是

這里的角度

就是圖2中xoy平面里面由P0點(diǎn)出發(fā)的不同的方向直線和x軸之間的夾角。當(dāng)空間曲線 f 固定的時(shí)候，方向直線可以有無(wú)數(shù)條。那么，方向?qū)?shù)什么時(shí)候取得最大值呢？

由上面推論可知，方向?qū)?shù)就等于梯度和xoy平面中方向直線所指向的那個(gè)方向的點(diǎn)積。

注意，假設(shè)XOY平面有不同的方向直線，那么

梯度方向就是圖2中的綠色投影平面在XOY平面截取的那根直線

顯然，方向?qū)?shù)的最大值即梯度

整個(gè)證明的思路就是先假設(shè)梯度的方向就是投影平面在圖2中xoy平面中截取的直線L,梯度的方向就是圖三，否則，梯度如果是別的方向的話，就會(huì)多出一個(gè)

因此得證。

下面解釋梯度的含義。假設(shè)有如下的圓錐形曲面，這個(gè)曲面就是函數(shù)f(x,y),用一個(gè)平面去截取它，

之后得到如下的曲線

之后抬高平面，截取多根曲線后，將其投影到xoy平面，得到下圖。

可以看出，平面截取的f(x,y)=c,就是一根一根的等高線，其中c越大，說(shuō)明高度越高，平面越在上面，從而截取的圓圈越小。圖中的c1>c2。如果c是連續(xù)變化的，那么整個(gè)曲面就都投影到了xoy平面。那么，為什么說(shuō)梯度的方向就是高度變化最快的方向呢？從圖二方向?qū)?shù)的定義式可以看出，梯度是方向?qū)?shù)取到最大值的時(shí)候的數(shù)值，也就是比值取到最大值，那當(dāng)然是高度變化最快的方向。那為什么梯度的方向就是等高線中該點(diǎn)的法線方向呢？注意，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)于圓錐曲面上的某一點(diǎn)。說(shuō)明如下：

最后，我們可以這樣來(lái)理解梯度：梯度是為了解決幫助一個(gè)站在山坡（P點(diǎn)）的人，尋找一條到達(dá)山頂?shù)淖疃搪窂剑ó?dāng)然也可以到山坡的任何一點(diǎn)）這么一個(gè)問(wèn)題。那么，怎么把等高線圖和這個(gè)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)呢？為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們需要建立一個(gè)三維直角坐標(biāo)系，其xoy平面就是山坡底部所在的平面，z軸就是P點(diǎn)所在的垂直于xoy平面的直線，即這個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)就是山坡上P點(diǎn)在xoy平面的投影（圖4）。當(dāng)圖2中的方向直線（包括投影平面）繞著原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，必然在圓錐曲面（山坡）上會(huì)截取一條空間曲線，這條曲線就是站在山坡的此人沿著任意方向進(jìn)行移動(dòng)的軌跡。而當(dāng)方向直線轉(zhuǎn)到與等高線圖中P點(diǎn)的法線方向一致的時(shí)候，就是方向直線找到了梯度的方向（注意，方向直線和梯度向量始終同時(shí)處于xoy平面內(nèi)），而此時(shí)投影平面在山坡所截取的空間曲線，必然把此人站立的P點(diǎn)和山坡頂點(diǎn)連接起來(lái)，如果沒(méi)有，那就不是梯度的方向，而且這條曲線就是此人通向山頂（不是山腳，山腳代表梯度的反方向）的最短路徑。由此我們可以看出，梯度其實(shí)就是這條最短路徑在山腳所在平面的投影。那么這個(gè)人沿著這條軌跡，每向山頂邁出一步，也就相當(dāng)于在等高線圖中，沿著梯度方向，從一條等高線跨越到了和它鄰近的那條等高線。總之，梯度是一個(gè)向量，就是空間曲線由其投影平面在XOY平面所截取的那根直線，其值等于方向?qū)?shù)的最大值，方向就是該點(diǎn)在等高線圖中的法線方向。