聊一種特殊的二階線性齊次微分方程：常系數(shù)線性齊次微分方程，對應(yīng)一種相對特殊的方法，特征方程法。接著給彈性部分收個尾，最后聊一個曼昆書上的最基本模型。

part 1 同濟《高等數(shù)學(xué)》常微分方程部分

二階線性齊次微分方程——形如d^y/dx^2+P（x）dy/dx+Q（x）y=0的微分方程。

將上面齊次方程中的P（x）和Q（x）換成常數(shù)p、q，即得到——

常系數(shù)齊次線性微分方程——形如d^y/dx^2+p dy/dx+q y=0的微分方程。

解法——

1. 令y=e^（rx）——r為常數(shù)；

2. y'=r?e^（rx），y"=（r^2）?e^（rx）

3. 帶回原方程，得到方程：d^y/dx^2+p?dy/dx+q?y=（r^2）?e^（rx）+pr?e^（rx）+q?e^（rx）=0，即r^2?+pr?+q=0——這個方程即為該常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程。

求出滿足特征方程的解r，即可求出齊次方程的解e^（rx），按照二次方程球根公式討論——

1. p^2-4q>0，則存在兩個不相等的實根r1、r2；

2. p^2-4q=0，則存在兩個相等的實根r=-p/2；

3. p^2-4q<0，則存在一對共軛復(fù)根r'1、r'2 。

情形一：?e^（r1x）和?e^（r2x）是微分方程的兩個解，微分方程的通解為y=C1?e^（r1x）+C2?e^（r2x）；

情形二：?e^（rx）是微分方程的一個解，然后由此求出另一個解——

1. 令y2=?e^（rx）*u（x）；

2. 則y2'=e^（rx）*[ru（x）+u'（x）]，y2"=e^（rx）[（r^2）u（x）+2ru'（x）+u"（x）]；

3. 帶回原方程，得到方程：d^y/dx^2+p?dy/dx+q?y=e^（rx）[（r^2）u（x）+2ru'（x）+u"（x）]+pe^（rx）*[ru（x）+u'（x）]+qe^（rx）*u（x）=0；

4. 即[（r^2）u（x）+2ru'（x）+u"（x）]+p[ru（x）+u'（x）]+qu（x）=0；

5. 即u"（x）+（2r+p）u'（x）+（r^2+pr+q）u（x）=0；

6. 因為r是特征方程r^2+pr+q=0得解，且r=-p/2，則上述方程后兩項都是0，則得到u"（x）=0；

7. 由于只要找到一個非常數(shù)解，則可令u（x）=x即滿足條件，則y2=?e^（rx）*u（x）=xe^（rx）。

于是微分方程的通解為y=C1e^（rx）+C2?xe^（rx）；

情形三：存在一對共軛復(fù)根r'1、r'2?，即r'1=a+ib，r'2?=a-ib——其中a、b為任意實數(shù)，i為虛數(shù)單位，我們利用歐拉公式和疊加原理求出兩個實函數(shù)根——

1. 歐拉公式：e^（ic）=cos c+i sin c；

2. e^（r'1x）=e^[（a+ib）x]=e^（ax）*e^（ibx）=e^（ax）[cos bx +i sin?bx]，e^（r'2x）=e^[（a-ib）x]=e^（ax）*e^（-ibx）=e^（ax）[cos（-b）x +i?sin（-b）x]=e^（ax）[cos bx-i?sin?bx]；

3. y1=（1/2）[e^（r'1x）+e^（r'2x）]=（1/2）{e^（ax）[cos bx +i?sin?bx]+e^（ax）[cos?bx-i?sin?bx]}=e^（ax）cos bx ；

4. y2=（1/2i）[e^（r'1x）-e^（r'2x）]=（1/2i）{e^（ax）[cos bx?+i?sin?bx]-e^（ax）[cos?bx-i?sin?bx]}=e^（ax）sin bx 。

于是微分方程的通解為y=C1e^（ax）cos bx?+C2?e^（ax）sin?bx。

對于常系數(shù)齊次線性微分方程的求解步驟——

1. 寫出微分方程的特征方程；

2. 判斷特征方程解的情形；

3. 按照三種情形寫下通解，可以直接把通解背下來，也可以從特征方程直接推。

part 2.1?經(jīng)濟學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟學(xué)》第二章第五節(jié)：彈性——

第五節(jié)引入彈性的概念——

彈性——一般來說，只要兩個經(jīng)濟變量之間存在函數(shù)關(guān)系，我們就可用彈性來表示因變量對自變量變化的反應(yīng)敏感程度。

彈性一般公式——彈性系數(shù)=因變量的變動比例/自變量的變動比例。

弧彈性公式——e=（ΔY/ΔX）（X/Y）——e：彈性系數(shù)，ΔX、ΔY變量X、Y的變動值。

點彈性公式——ΔX趨于0時，e=lim?（ΔY/ΔX）（X/Y）=（dY/dX）（X/Y）——極限值。

最后一部分舉了四個運用需求、供給和均衡價格的基本原理的實例——

A.易腐商品的售賣——

1. 作價格-需求曲線，給定要售賣的數(shù)量Q，再圖線上找到對應(yīng)的P即為所得定價；

2. 定價P1>>P，則銷售量急劇減少，導(dǎo)致總收入減少；

3. 定價P2<<P，則銷售量達(dá)到，單價減少，總收入依然是減少。
   

B.價格放開——

分析看法：只要把z.f的限價取消，這類商品的供給量就會增加。

1. 大多數(shù)情況下，供給的價格彈性系數(shù)大于0，取消z.f限價，商品的供給量會大大提高；

2. 特殊情況，某些商品的生產(chǎn)由于受到資源條件和技術(shù)水平等因素的限制，供給數(shù)量在較長的時期內(nèi)是固定不變的，供給的價格彈性系數(shù)為0，取消限價，只能使價格上漲。

C.最高限價和最低限價——

1. 最高限價/限制價格：為了抑制某些產(chǎn)品的價格上漲，尤其是為了應(yīng)對通貨膨脹；

2. 最低限價/支持價格：為了扶持某些行業(yè)的發(fā)展。

D.谷賤傷農(nóng)——

現(xiàn)象——豐收的年份，農(nóng)民的收入反而減少了。

解釋——需求的價格彈性：農(nóng)作物的需求彈性小于1，當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品的價格發(fā)生變化時，農(nóng)產(chǎn)品的需求是缺乏彈性的。

part 2.2?經(jīng)濟學(xué)概念——曼昆

曼昆《經(jīng)濟學(xué)原理》第二章最重要的內(nèi)容是兩個最基本模型，第一個是——

the circular-flow?diagram循環(huán)流量圖——

1. 這個模型里，經(jīng)濟學(xué)指包含兩個決策者：企業(yè)和住戶；

2. 公司生產(chǎn)產(chǎn)品、提供服務(wù)，需要輸入——這些輸入成為factors of production生產(chǎn)要素；

3. 住戶占有生產(chǎn)要素，消費產(chǎn)品與服務(wù)；

4. 公司與住戶進(jìn)行兩種交互——在商品市場上，是買賣雙方，在生產(chǎn)要素市場上，是雇傭雙方——形成一個循環(huán)；

5. 這個循環(huán)的內(nèi)圈代表，輸入與輸出，外圈代表，資金流向。

后天繼續(xù)！