證明函數(shù)極限的局部保號(hào)性；“保號(hào)性”由來(lái)
牛頓373、證明函數(shù)極限的局部保號(hào)性；“保號(hào)性”由來(lái)
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大神能給我解釋一下函數(shù)的保號(hào)性是什么意思嗎？
或者你是怎么理解保號(hào)性的？
還有保號(hào)性在函數(shù)里的應(yīng)用？——網(wǎng)友提問(wèn)
…函、數(shù)、函數(shù)：見(jiàn)《歐幾里得52》…
…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動(dòng)詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀(jì)律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見(jiàn)《歐幾里得10》…
…保號(hào)性：見(jiàn)《牛頓370、371》…
…應(yīng)、用、應(yīng)用：見(jiàn)《歐幾里得181》…
擺渡人寶刀君（2019-01-09，1009人贊同了該回答）：…
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定理：函數(shù)極限的保號(hào)性
…定、理、定理：見(jiàn)《歐幾里得2》…
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如果lim（x→x0）f（x）=A，且A＞0（或A＜0），那么存在δ＞0，使得當(dāng)0＜|x-x0|＜δ時(shí)，有f（x）＞0 [或f（x）＜0]
…lim：limit…
[…limit（英文）：n.限度；限制；極限；限量；限額；（地區(qū)或地方的）境界，界限，范圍。
v.限制；限定；限量；減量…]
…δ（希臘字母）：Delta（大寫 Δ，小寫 δ），是第四個(gè)希臘字母…
…0＜|x-x0|＜δ：x和x0的距離小于δ…
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翻譯：極限值＞0時(shí)，函數(shù)值＞0；極限值＜0時(shí)，函數(shù)值＜0。
簡(jiǎn)單來(lái)講，就是在x趨于x0（x→x0）時(shí)，極限值存在且大于0（小于0），那么就存在一個(gè)δ鄰域，這個(gè)鄰域內(nèi)的函數(shù)值也大于0（小于0）。
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這就被稱為極限的保號(hào)性。
這個(gè)定理，怎么證明呢？
…證、明、證明：見(jiàn)《歐幾里得6》…
那就需要用到極限的定義啦！
證明：函數(shù)極限的局部保號(hào)性
…證、明、證明：見(jiàn)《歐幾里得6》…
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設(shè)A＞0，因?yàn)閘im（x→x0）f（x）=A，
則?（任意）ε＞0，?（存在）δ＞0，當(dāng)0＜|x-x0|＜δ時(shí)，恒有|f（x）-A|＜ε，
即A-ε＜f（x）＜A+ε
…?、?：數(shù)學(xué)符號(hào)，見(jiàn)《牛頓309》…
…ε（伊普西龍）：希臘字母第五個(gè)字母，大寫Ε，小寫ε，拉丁字母的E是從ε變來(lái)…
…|f（x）-A|＜ε：f（x）和A的距離小于ε…
可取ε=A/2＞0，則f（x）＞A-A/2=A/2＞0
同理可證A＜0
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翻譯：極限值＞0時(shí)，函數(shù)值＞0；極限值＜0時(shí)，函數(shù)值＜0。
我們按照定義寫出極限的定義表達(dá)式后，然后對(duì)這個(gè)不等式的ε進(jìn)行取值。
理論上說(shuō)，ε可以取任何值，只要它大于0就行。
…理、論、理論：見(jiàn)《歐幾里得5》…
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大于0的ε，這個(gè)取法有很多了，比如你可以取2A，3A，4A等等，也可以取0.5A，0.3A，0.1A。
到底取哪一種呢？
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這取決于你的目的是什么。
…目、的、目的：見(jiàn)《歐幾里得195》…
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你現(xiàn)在的目的是：為了判斷“極限值大于0時(shí)的函數(shù)值是大于0、還是小于0？”，也就是判斷“A-ε”的正負(fù)。
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ε取A的整數(shù)倍時(shí)，A-ε為負(fù)數(shù)，ε取A的小數(shù)倍時(shí)，A-ε為正數(shù)，f（x）在這兩種范圍下，按照不等式“同大取大”的原則，f（x）>0。
…范、圍、范圍：見(jiàn)《歐幾里得39》…
…原、則、原則：見(jiàn)《歐幾里得198》…
…不等式“同大取大”的原則：見(jiàn)《牛頓372》…
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{“函數(shù)極限的保號(hào)性定理是：
如果lim（x→x0）f（x）=A，且A＞0（或A＜0），那么存在δ＞0，使得當(dāng)0＜|x-x0|＜δ時(shí)，f（x）＞0 [或f（x）＜0]。
重點(diǎn)是‘存在δ’?！爆F(xiàn)代學(xué)者說(shuō)。
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“就是說(shuō)，找到這樣一個(gè)δ，就證明了保號(hào)性定理。”現(xiàn)代學(xué)者接著說(shuō)，“我們的目的是：找到一個(gè)滿足題中所給條件的δ。”
題中所給條件：lim（x→x0）f（x）=A，A＞0→當(dāng)0＜|x-x0|＜δ時(shí)，有f（x）＞0
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“證明過(guò)程中，根據(jù)極限定義，ε取任意大于0的值[?（任意）ε＞0]時(shí)，存在這樣一個(gè)δ：lim（x→x0）f（x）=A，且0＜A→A-ε＜f（x）＜A+ε。”現(xiàn)代學(xué)者繼續(xù)說(shuō)，“對(duì)比題中所給條件，差異在于最后的f（x）＞0 和f（x）＞A-ε。”
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“當(dāng)0≤A-ε＜f（x）時(shí)，這個(gè)差異將完全消除。”現(xiàn)代學(xué)者最后說(shuō)，“就是說(shuō)：滿足0≤A-ε＜f（x）的所有δ，都是滿足題中所給條件的δ。”
[滿足0≤A-ε＜f（x）的δ值，必然滿足題中所給條件f（x）＞0 ：
0≤A-ε＜f（x）能推出f（x）＞0 。
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推導(dǎo)過(guò)程：
按照數(shù)軸來(lái)判斷：0、A-ε、f（x）是它們?cè)跀?shù)軸上從小到大的順序，且A-ε≧0→f（x）在0右邊→f（x）＞0]
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“這些δ中，列出一個(gè)，就等于證明了保號(hào)性定理?！爆F(xiàn)代學(xué)者說(shuō)。
“由A-ε≧0得出滿足題中所給條件的δ的范圍：ε≤A時(shí)，對(duì)應(yīng)的δ?！爆F(xiàn)代學(xué)者接著說(shuō)。
“因?yàn)棣攀侨我獯笥?的數(shù)，所以ε最終取值范圍是：0＜ε≤A?！爆F(xiàn)代學(xué)者繼續(xù)說(shuō)。
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“0＜ε≤A時(shí)，對(duì)應(yīng)的δ滿足題中所給條件，”現(xiàn)代學(xué)者最后說(shuō)，“這樣的ε取值有0.5A，0.3A，0.1A…證明中取值0.5A?！眪
函數(shù)極限局部保號(hào)性的證明？——網(wǎng)友提問(wèn)
“事情是這樣的，我在看局部保號(hào)性的證明，證明的手段就是直接取ε=A/2，然后上網(wǎng)搜了好久，也找不出個(gè)所以然，只知道只要ε取能讓A－ε＞0的數(shù)就行。比如ε=A/3，他們給的解釋就是為了方便。問(wèn)題來(lái)了，為什么ε要這樣取，如果ε取2A，或者大于A的數(shù)行不行呢？”網(wǎng)友補(bǔ)充說(shuō)。
Alphacalculus（2018-03-10 22:02，48 人贊同了該回答）：
意思是在x0?的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有保號(hào)性，只需要證明有這么一個(gè)鄰域存在就行，
ε越大，這個(gè)鄰域越大；ε越小，這個(gè)鄰域越小，僅此而已。
你取大了，在那個(gè)大鄰域不存在保號(hào)性；取小點(diǎn)，在這個(gè)小范圍內(nèi)保號(hào)，就這樣。
阿青（編輯于2021-06-25 16:57）：
先把這個(gè)翻譯一下
[圖]
大致意思就是，當(dāng)lim（x→x0）f（x）=A時(shí)，存在x∈（x0-δ，x0+δ）使得f（x）與A同號(hào)，
…∈：數(shù)學(xué)符號(hào)，表示“屬于”，見(jiàn)《牛頓303》…
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我們只需要證明有一個(gè)區(qū)間存在就行，至于其它的區(qū)間，便不是必需的。
也就是符號(hào)保持的性質(zhì)，也就是所謂“保號(hào)性”的由來(lái)。
…性、質(zhì)、性質(zhì)：見(jiàn)《歐幾里得37》…
為了方便，我們當(dāng)前僅對(duì)A＞0?進(jìn)行討論，實(shí)際上A＜0也是同理。
落夏（發(fā)布于2021-03-17 08:57嗎，9 人贊同了該回答）：讀題啊，兄弟，什么叫局部
Aurami（知行合一，編輯于 2020-05-05 15:03）：
保號(hào)性的證明看似在問(wèn)δ的存在性，實(shí)則是在問(wèn)ε的存在性。而所有的ε都能保證δ的存在性，故找到一個(gè)ε滿足保號(hào)性即可。
理解了這段話，就可以換個(gè)問(wèn)法：是否存在ε，使其對(duì)應(yīng)的δ能滿足保號(hào)性。
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臣月（編輯于07-25 02:12，7 人贊同了該回答）：
我原來(lái)也是不懂這個(gè)問(wèn)題，然后才來(lái)知乎搜索的，看了所有人的回答，還是感覺(jué)不理解，苦苦思索了很久，把大家的回答翻來(lái)覆去地讀，現(xiàn)在感覺(jué)突然開(kāi)竅了，不知道這樣理解對(duì)不對(duì)，但我覺(jué)得你和我不懂的那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該是相同的：
就是，我們都以為要證明的是：要對(duì)任意的ε，存在δ，使得結(jié)論成立。
…結(jié)、論、結(jié)論：見(jiàn)《歐幾里得66》…
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但是其實(shí)不是，其實(shí)是只需要：存在δ，使得結(jié)論成立。
為什么這樣說(shuō)呢？因?yàn)楸Ｌ?hào)性那個(gè)性質(zhì)的文字描述就是這樣說(shuō)的，也就是存在一個(gè)δ，在這個(gè)去心領(lǐng)域，使得結(jié)論成立。并沒(méi)有提到什么ε。
這就是大家的回答為什么一直都在反復(fù)強(qiáng)調(diào)證明的是存在性，而你一直在糾結(jié)為什么只證明有一個(gè)ε存在就行了。
難道一個(gè)ε存在就代表前面證明的時(shí)候一開(kāi)始說(shuō)的任意ε都成立嗎？不，當(dāng)然不是，只有取ε＜A的時(shí)候f（x）＞0才成立，那就是說(shuō)這些ε都存在，所以存在很多個(gè)ε，但不是任意的ε都滿足條件。
但是這沒(méi)有什么關(guān)系，因?yàn)榍懊嬲f(shuō)了，我們不需要任意的ε都滿足條件。
那前面證明的時(shí)候?yàn)槭裁匆獙懭我猞拍?？因?yàn)槟莻€(gè)時(shí)候我們還不知道ε是取多少，但是對(duì)于|f（x）-A|＜ε這個(gè)式子來(lái)說(shuō)，確實(shí)是任意的ε都成立的，所以就這樣寫了，然后推出后面的式子以后，我們就知道哪些ε可以使結(jié)論成立了，那就是＜A的那些，那些ε都是可以使結(jié)論成立的。反之，＞A的那些就不行。
每一個(gè)ε，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)δ。雖然不太準(zhǔn)確，但為了便于理解，你可以這樣想，ε就代表兩個(gè)函數(shù)值的差，而δ就代表兩個(gè)變量的差，δ可以隨著ε的改變而改變。
意思就是只要存在一個(gè)ε，使得條件滿足，就一定會(huì)存在一個(gè)δ，使得結(jié)論成立。而我們只需要證明存在一個(gè)δ，使得結(jié)論成立，就可以了，我們又已經(jīng)知道了有很多ε都滿足條件，所以隨便取一個(gè)＜A的ε，如A/2，就可以完成證明。
當(dāng)然，我們現(xiàn)在已經(jīng)知道了哪些ε滿足條件，所以證明的時(shí)候也可以直接把滿足條件的ε（如A/2）代進(jìn)去，一開(kāi)始就不用寫任意的ε了，也可以直接寫|f（x）-A|＜A/2，然后得出f（x）＞A/2＞0，就相當(dāng)于證明了其中存在的一個(gè)δ，也就得證了。
“！
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