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6÷2(1+2)到底等于1還是9？

2019-09-04 09:59 作者:二次元的中科院物理所 0人讀過(guò) | 我要投稿

作者：David Linkletter

翻譯：loulou

審校：Nothing

當(dāng)您計(jì)算時(shí)會(huì)得到什么結(jié)果?它看起來(lái)只是個(gè)簡(jiǎn)單的算術(shù)，但在社交媒體上關(guān)于它的討論卻在不斷傳播。這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)傳遍了社交媒體的每個(gè)角落，數(shù)百萬(wàn)人給出了兩個(gè)常見(jiàn)的答案：1和9。

你可能認(rèn)為其中一半人是對(duì)的，另一半人需要再好好學(xué)習(xí)算術(shù)。雙方的受訪者都信心十足地為自己的答案辯護(hù)。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有正式的論文或者書(shū)籍給出答案，但是越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家出面解釋為什么會(huì)這樣：6÷2(1+2)不是一個(gè)定義明確的表達(dá)式。

良定義是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要術(shù)語(yǔ)。它本質(zhì)上意味著某個(gè)輸入總是產(chǎn)生相同的輸出。所有數(shù)學(xué)老師都同意

以及

額外的括號(hào)(方括號(hào))消除了歧義，這些表達(dá)式定義明確。大多數(shù)其他的常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如

?都有明確的定義，有一個(gè)正確的答案和一個(gè)(或多個(gè))常見(jiàn)的錯(cuò)誤答案。但是計(jì)算算式 6÷2(1+2)的值是一種習(xí)慣問(wèn)題。答案1和9都不對(duì)：這取決于你從數(shù)學(xué)老師那里學(xué)到的是什么。

數(shù)值運(yùn)算的順序由各種四則混合運(yùn)算法則PEMDAS、BODMAS、BIDMAS和BEDMAS給出：

P(或B)：先計(jì)算括號(hào)(方括號(hào))內(nèi)表達(dá)式的值;

E(或O或I)：接下來(lái)計(jì)算指數(shù)(階/指數(shù));

MD(或DM)：下一步進(jìn)行乘法和除法，從左到右計(jì)算;

AS：最后進(jìn)行加法和減法，從左到右計(jì)算

世界各地對(duì)四則混合運(yùn)算法則有兩種稍微不同的解釋?zhuān)膭t混合運(yùn)算法則悖論凸顯了它們之間的差異。兩者都同樣流行，目前世界范圍內(nèi)還沒(méi)有公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)。因此，你們可以停止在微博朋友圈上的辯論了，放心吧，你們每個(gè)人都可能正確地記住了所學(xué)到的東西——只是你們所學(xué)到的東西不同而已。

兩種答案

站在“9”這一邊的人，如在這個(gè)問(wèn)題上最受歡迎的YouTube視頻中所回答的運(yùn)算過(guò)程——他們傾向于這么計(jì)算：

或者：

這些人認(rèn)為，任何時(shí)候a(b)都可以替換成a×b?？梢詺w結(jié)為：“a(b)總是等同于a×b”的這一認(rèn)知決定了四則混合運(yùn)算法則悖論的答案是9。

而從“答案1”這一方的陣營(yíng)看，有些人是這么計(jì)算?的：

而另一些人指出按照分配律：

這么計(jì)算的原則是，并列的算式中隱藏乘法優(yōu)先。這應(yīng)該在世界各地的數(shù)學(xué)課堂上教授過(guò)了，而且在一些編程中也是一種約定俗成。所以這里，“a(b)總是等同于 (ab)”這一認(rèn)知決定了四則混合運(yùn)算法則悖論的答案是1。

從數(shù)學(xué)上講，“a(b)總是等同于a×b”，并且“a(b)總是等同于 (ab)”，這是矛盾的。因?yàn)橥ㄟ^(guò)前面的計(jì)算，會(huì)得出1 = 9。產(chǎn)生這樣的矛盾是合乎邏輯的，只是說(shuō)明我們不可能同時(shí)擁有兩個(gè)答案。它還說(shuō)明，這兩種解釋都不是四則混合運(yùn)算法則固有的。它們都附帶了一些微妙的附加規(guī)則，這些規(guī)則決定了如何處理語(yǔ)法上的奇怪之處，比如6÷2(1+2)，因此，如果接受它們中的任何一個(gè)，就會(huì)得到一個(gè)正式的數(shù)學(xué)結(jié)論，也就是說(shuō)6÷2(1+2)沒(méi)有得到明確定義。這也是為什么你們不能以一種令人滿(mǎn)意的方式“糾正”對(duì)方：因?yàn)槟銈兊姆椒ㄔ谶壿嬌鲜遣患嫒莸摹?/p>

因此，分歧可以歸結(jié)為：“a(b)總是等同于a×b？”，還是“a(b)總是等同于 (ab)？”你不能兩者都說(shuō)。

在實(shí)際操作中，許多數(shù)學(xué)家和科學(xué)家對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答是“語(yǔ)法不清楚，需要更多的括號(hào)”，并解釋為什么它是模糊的，這基本上才是正確的答案。一張圖片顯示了兩個(gè)不同的卡西歐計(jì)算器同樣輸入6÷2(1+2)，并顯示了兩個(gè)不同的答案。雖然“語(yǔ)法錯(cuò)誤”可能是計(jì)算器對(duì)這個(gè)問(wèn)題給出的最佳答案，但他們?cè)噲D調(diào)和歧義也是正常的，這沒(méi)什么大不了的。但是對(duì)于我們?nèi)祟?lèi)來(lái)說(shuō)，在注意到世界上很多人分別遵循這兩種約定之后，我們不得不得出這樣的結(jié)論：6÷2(1+2)目前還沒(méi)有定義好。

對(duì)兩者的支持

事實(shí)上，谷歌、Wolfram和許多計(jì)算器的答案都是9。這里計(jì)算器的答案當(dāng)然是由他們的輸入法決定的。顯然，計(jì)算器并不是四則混合運(yùn)算法則悖論的最佳判斷工具。它們只是反映了當(dāng)前在這個(gè)問(wèn)題上的分歧：計(jì)算器程序員在很可能意識(shí)到了這個(gè)確切的問(wèn)題，并且已經(jīng)知道它在世界范圍內(nèi)尚無(wú)標(biāo)準(zhǔn)化，所以如果數(shù)學(xué)老師都統(tǒng)一給出一個(gè)答案，那么這些程序員就會(huì)跟進(jìn)。

考慮Wolfram Alpha，它是一個(gè)提供答案引擎的網(wǎng)站(類(lèi)似于搜索引擎，但它不提供網(wǎng)頁(yè)鏈接，而是提供查詢(xún)的問(wèn)題的答案，尤其是數(shù)學(xué)查詢(xún))。它對(duì)6÷2(1+2)查詢(xún)結(jié)果為9，對(duì)6÷2x的查詢(xún)結(jié)果是3x，并將y=1/3x解釋為穿過(guò)原點(diǎn)斜率為1/3的直線。從編程的角度來(lái)看，這三種方法都是一致的，但是對(duì)于許多觀察者來(lái)說(shuō)，后兩種方法有點(diǎn)奇怪。通常，如果有人寫(xiě)下1/3x，他們的意思是，如果他們的意思是，對(duì)于

他們會(huì)寫(xiě)下x/3。

相反，在Wolfram Alpha中輸入y=sin 3x，得到的是正弦函數(shù)y=sin (3x)，而不是斜率為sin 3的直線。這個(gè)例子與前面的例子不同，它遵循了“3x等同于3乘以x”的規(guī)則，以便更好地捕捉輸入的明顯意圖。Wolfram只是一種算法，無(wú)法搞清楚憑人類(lèi)感覺(jué)輸入的東西的意義。有點(diǎn)像我們的大腦。無(wú)論如何，6/x3的輸入被理解為“6/ x3”，因此Wolfram顯然不是糾正丑陋語(yǔ)法的權(quán)威。

在“1”方面，擁有物理學(xué)學(xué)位的數(shù)學(xué)教師珍妮·戈漢姆(Jenni Gorham)最近制作了一段優(yōu)秀的視頻，解釋了幾個(gè)支持這種解釋的真實(shí)例子。她指出，在許多情況下，科學(xué)家把a(bǔ)/bc寫(xiě)成

的意思。事實(shí)上，你會(huì)在化學(xué)、物理和數(shù)學(xué)課本上找到很多這樣的例子。戈漢姆女士和我曾就四則混合運(yùn)算法則悖論進(jìn)行過(guò)討論，她正式表示這個(gè)問(wèn)題定義不明確，同時(shí)還指出，為了計(jì)算器編程，需要達(dá)成一致約定。她認(rèn)為，一致的答案應(yīng)該是1，因?yàn)樵谑澜缟洗蠖鄶?shù)國(guó)家，在這些正式語(yǔ)境中，并列算式中隱含乘法的優(yōu)先級(jí)一直是慣例。

總結(jié)

應(yīng)該指出的是，約定不需要統(tǒng)一。如果我的兩個(gè)學(xué)生爭(zhēng)論最小自然數(shù)是0還是1，我不會(huì)說(shuō)他們中的任何一個(gè)是錯(cuò)的，也不會(huì)對(duì)全球在這個(gè)問(wèn)題上缺乏共識(shí)表示異議。Wolfram知道這個(gè)慣例被分成兩個(gè)答案，生活還在繼續(xù)。如果每個(gè)關(guān)心這個(gè)問(wèn)題的人都知道四則混合運(yùn)算法則悖論也有兩個(gè)流行的答案(因此它本身并不是一個(gè)定義明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題)，那么這應(yīng)該是令人滿(mǎn)意的。

希望在閱讀了本文之后，您能夠滿(mǎn)意地理解一個(gè)看起來(lái)如此基礎(chǔ)的問(wèn)題是如何遺留下來(lái)的。在現(xiàn)實(shí)生活中，你應(yīng)該使用更多的括號(hào)，避免歧義。希望世界各地的數(shù)學(xué)老師在這個(gè)慣例上出現(xiàn)分歧不會(huì)給大家?guī)?lái)太大麻煩，因?yàn)檫@并不罕見(jiàn)，也不是真正的問(wèn)題，除了計(jì)算器程序員。