>>P37 5-1常微分方程 （收斂域及和函數(shù)）

5.1 一階微分方程

5.1.1 可分離變量微分方程

# def：可以將變量x與變量y分離到等號兩邊的微分方程。

# 形式：y' = f(x)*g(y) （f(x)與 g(y)是連續(xù)函數(shù)）

# 求解步驟如下：

例1：//關(guān)鍵是把u(t)在0->1的積分記為常數(shù)，再分離變量對于等式兩邊積分，得到帶有A的函數(shù)關(guān)系式后再對兩邊積分，求解出A，與u(t)的一般形式。

5.1.2 一階線性微分方程

（解法有：常數(shù)變易法與公式法）

例2：★積分方程要化成微分方程來求解??！

★ -∫tanxdx = ln cosx 代入公式時不用再加常數(shù)項~

5.1.3 全微分方程

5.2 可降階的高級微分方程

5.2.1不顯含y

5.3 二階線性微分方程

例3：

ps. λ1 = 2，λ2 = -1。，從而可以寫出基本表達(dá)式。

例4：

>>P39 6-2無窮級數(shù) （收斂域及和函數(shù)）

#求和函數(shù)：將冪級數(shù)化為幾何級數(shù)or其它可求和的級數(shù)

• 求收斂半徑R，確定收斂域；
• 在收斂區(qū)間（-R, R）內(nèi)，通過逐項求導(dǎo)or逐項積分的方法求冪級數(shù)的和函數(shù)；
• 和函數(shù)在收斂域上連續(xù)，其定義域?yàn)閮缂墧?shù)的收斂域。

*Tips：采用逐項求導(dǎo)去掉[1/n]的因子，采用逐項積分去掉[n]的因子。

**線性方程的解法：（for 一階常系數(shù)微分方程）

>例1

>>例2

由于本無窮級數(shù)是缺項的，因此不能直接求收斂半徑R。需要采用比值審斂法。

>>>例3

>>P40 6-3無窮級數(shù) （傅里葉級數(shù)）

1. f（x）是周期為2Π的周期函數(shù)，展開成傅里葉級數(shù)

2.一般區(qū)間上的傅里葉級數(shù)

例1

例2

ps： 無論區(qū)間如何，只要區(qū)間長度是2即可表示為傅里葉級數(shù)的系數(shù)。

例3