三點一線：

????????垂心、重心、外心和九點圓圓心四點共線，這條直線稱為歐拉線。

界心：

????????三角形三條周界中線的交點叫做三角形的界心。三角形的界心性質(zhì)：設(shè)點D、E、F分別為△ABC的BC、CA、AB邊上的周界中點，R、r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)接圓的半徑，則：（1）S△DEF/S△ABC=r/2R，（2）S△DEF≤S△ABC/4。

五心的距離：

????????OH2=9R2-（a2+b2+c2），OG2=R2-（a2+b2+c2）/9，OI2=R2-abc/（a+b+c）=R2-2Rr，GH2=4OG2，GI2=（p2+5r2-16Rr）/9，HI2=4R2-p2+3r2+4Rr=4R2+2r2-（a2+b2+c2）/2。

穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性：

????????證明：任取三角形兩條邊，則兩條邊的非公共端點被第三條邊連接?！叩谌龡l邊不可伸縮或彎折，∴兩端點距離固定，∴這兩條邊的夾角固定，∵這兩邊是任取的，∴三角形三個角都固定，進而將三角形固定。?任取n（n≥4）兩條鄰邊，則兩條邊的非公共端點被不止一條邊連接，∴兩端點距離不固定，∴這兩邊夾角不固定，∴n（n≥4）每個角都不固定，∴n（n≥4）邊形沒有穩(wěn)定性。任取圓周上的兩個點，則這兩個點連成的線包含直徑也包含弦?！邎A的直徑和弦都不止一個，且弦與直徑相交，∴兩端點不固定，∴任意一條邊的圓心距不固定，∴圓的每條邊的圓心距都不固定，∴圓沒有穩(wěn)定性。任取橢圓的兩個點。當取左右或上下兩點時，由于橢圓的長軸有短軸長度不等，進而將橢圓不固定。當不去上下左右四個任意的點時，由于離心率不同，斜率也就不同，∴兩端點不固定，∴任意一條邊的離心率都不同，進而得到橢圓每條邊的斜率都不同。綜上所述，橢圓沒有穩(wěn)定性。

三角形的作用：

????????三角形的穩(wěn)定性使其其它圖形易于變形，有著穩(wěn)固、堅定、耐壓的特點。三角形結(jié)構(gòu)在工程上有廣泛的應(yīng)用，許多建筑都是三角型的結(jié)構(gòu)，如：埃菲爾鐵塔、金字塔等。

周長固定三角形面積的最大值：

????????首先，我們要建立數(shù)學模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性質(zhì)呢？初等幾何說：有一個角是直角或π/2的平行時四邊形叫做矩形。那么什么是平行四邊形呢？它有些什么性質(zhì)呢？幾何又說：兩組對邊平行且相等的平行四邊形叫做平行四邊形。

????????現(xiàn)在我們對矩形有一個印象了。簡單來說是一個四條互相垂直的線段所組成的東西，而且我們知道它的面積公式：S=ab，由平行四邊形的性質(zhì)可知它的周長公式：L=2（a+b）。

????????有了這些，就可以建模分析了，首先我們分析L=2（a+b），經(jīng)過簡單的處理，有：b=L/2-a（a＞0）.現(xiàn)在把b=L/2-a帶入S=ab就有S=a（L/2-a）=-a2+（L/2）×a（a＞0）；這是一個關(guān)于a的二次函數(shù)，且A=-1＜0，函數(shù)S有最大值。

????????微積分的解法：∵S=-a2+（L/2）×a（a＞0）∴S′=-2a+L/2（a＞0）令S′=0有2a=L/2，∴a=L/4?！郘4（L2-L4）=L2/16，max：b=a=L/4（此時矩形為正方形）。

????????也可以利用不等式：∵（a-b）2≥0，又（a-b）2=（a+b）2-4ab，∴有（a+b）2-4ab≥0即ab≤（a+b）**（2/4），當a=b時，去“=”，S有最大值。

????????現(xiàn)在，來談一談周長固定三角形面積的問題，說有一根長度固定為L的繩子，現(xiàn)要圍成一個三角形，問：什么樣的三角形面積才是最大的？

????????不妨設(shè)繩子L，圍成的三角形一邊為x，另兩邊之和為L-x，根據(jù)三邊關(guān)系定理有x＜L-x，于是有：0＜x＜L/2。假設(shè)x是一個常量，則L-x也是常量。且x＜L-x總成立，滿足解析幾何中的橢圓的定義：2a=L-x，2c=x，且有2a＞2c。以2c=x的中點建立坐標系，則a2=（L-x/2）2，b2=（L-x/2）2-（x/2）2=L（L-2x）?！鄼E圓方程為X2/（L-2x）2+Y2/L（L+2x）/4=1，三角形的面積為S=（1/2）2c×Y，∵x=2c是固定的，∴S取決于Y，當Y取max時，即Y=b，S有最大值。

????????即S=S（x）max（該三角形為等腰三角形）=（1/4）x（L2-2Lx）**（1/2）（0＜x＜L/2）。

????????現(xiàn)在，我們得到了函數(shù)的最大值，剩下的就是微積分的技巧了，對S=S（x）max，求導：S′=-LX=（L2-2Lx）**（1/2）+（L2-2Lx）**（1/2）令S′=0有：LX/（L2-2Lx）**（1/2）=（L2-2Lx）**（1/2），則LX=L2-2Lx解知得x=L/3且有x=L/3＜L/2滿足三角形條件。

????????此時的三角形是一個正三角形！此模型的思想有點類似變分法，函數(shù)的函數(shù)，但還是有本質(zhì)的差別。

????????也可以利用海倫公式S=[p（p-a）×（p-b）×（p-c）]**（1/2），其中p=（a+b+c）/2。用不等式來解決，或者用二次函數(shù)的偏導及拉格朗日乘法來解決也行。

????????不要以為海倫公式比微積分簡單，前提是你必須知道這個公式，而且能夠證明！

????????要證明海倫公式，首先要知道余弦定理：a2=b2+c2-2bcosA，則有cosA=（b2+c2-a2）/2bc，∴sinA={[（a2+b2+c2）2-2（a**4+b**4+c**4）]/（2bc）2}**（1/2），又∵三角形面積公式：S=（1/2）×bcsinA=（1/4）[（a2+b2+c2）2-2（a**4+b**4+c**4）]**（1/2）（與角度A無關(guān)），又（a2+b2+c2）2-2（a**4+b**4+c**4）=b2c2-2abc2+a2c2-（b**4+a**4-2a2b2）+a2c2+b2c2+2abc2-c**4（配方）=c2（b-a）2-c**4-（b+a）2（b-a）2+c2（b+a）2（分解因式）=[（b-a）2-c2][c2-（b+a）2]（提公因式）={[（a+b+c）/2][（a+b+c）/2-c][（b+c+a）/2-b][（a+c+b）/2-a]}**（1/2），載再令p=（a+b+c）/2，就得到海倫公式：s=[p（p-a）（p-b）（p-c）]**（1/2），有了此公式，再利用不等式，問題就可以解決了。需要知道的一個不等式：（a+b+c）**（3/27）≥abc（a，b，c∈＋，當a=b=c時，取“=”），即S≤[3**（1/2）/36]p2，當p-a=p-b=p-c，即a=b=c時，取“=”S有最大值[3**（1/2）/36]L2

? ? ? ?（2006全國卷一理科第11題）?用長度分別為2、3、4、5、6的5根細棒圍成一個三角形，允許連接但不許折斷，得到的三角形的最大面積是（B）。A、8×5**（1/2）? B、6×10**（1/2）? C、3×55**（1/2）? D、20

????????分析：首先這幾個整數(shù)成公差為1的等差數(shù)列，和為20?，F(xiàn)要把這5個數(shù)任意分3組，然后圍成三角形，最后找出這些三角形面積最大的一個。

????????如果真的去分組再比較，時間上顯然不夠！這時就要建立數(shù)學模型了，并且能夠轉(zhuǎn)化為數(shù)學。把離散組合，轉(zhuǎn)化為連續(xù)的數(shù)學。

????????上面研究過，正三角形面積最大，并且由S=S（x）max（此時為等腰三角形）=（1/4）x（L2-2Lx）**（1/2）（0＜x＜L/2）的函數(shù)圖像可知，x在區(qū)間（0，L/3）為增函數(shù)，在（L/3，L/2）為減函數(shù)?！喈斎切沃荛L固定時，越接近正三角形面積越大！20÷3≈6.6667，顯然這里的5個數(shù)是組不成6.6667的，只能退而求其次了，我們猜出：2+5、3+4、6的組合時最接近正三角形的，∴它的面積最大。經(jīng)過計算就知道結(jié)果了，選B。

????????根據(jù)這種經(jīng)驗，是否可以數(shù)學歸納，提出猜想1：在平面內(nèi)曲線周長固定時，圍成的n邊形中，圓的面積最大！猜想2：在平面內(nèi)曲線周長固定時，圍成的n邊形中，正n邊形的面積最大！

????????事實上，第一個猜想是正確的，不過需要變分法來處理。同樣需要微積分來研究，不過是高等微積分了。

相似三角形：

????? ?1、相似三角形的概念：（1）對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等的兩個三角形叫相似三角形。（2）如果a、b、c三個量連成比例即a∶b=b∶c，b叫做a和c的比例中項。2、相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。（2）相似三角形的周長等于相似比，面積等于相似比的平方。（3）相似三角形的對應(yīng)線段（角平分線、中線、高）之比等于相似比。3、相關(guān)推理條件：（1）兩個三角形全等→兩個三角形相似。（2）相似三角形每條邊的比例關(guān)系可以在比例式與等積式互換，且互換過程中等量關(guān)系不變。

相似三角形的判定：

????????如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似（簡稱：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似），用字母表示為SSS。

????????如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似（簡稱：兩邊對應(yīng)成比例且其夾角相等的兩個三角形相似），用字母表示為SAS。

????????如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似（簡稱：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似），用字母表示為AA。

????????如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似。用字母表示為HL。

等腰三角形的性質(zhì)：

????????1、兩底角相等。2、兩條腰相等。3、頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（簡稱：三線合一）。

等要三角形的判定：

????????1、等角對等邊。2、兩底角相等。（巧用：在特定題目中，等腰三角形、平行、角平分線這三量，知二可推一。）

等邊三角形的性質(zhì)：

????????1、頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高重合（簡稱：三線合一）。2、等邊三角形的各角都相等，并且都等于60°。3、四心重合（重心、垂心、外心、內(nèi)心）。

等邊三角形的判定：

????????1、三個內(nèi)角或三個對應(yīng)位置的外角都相等的三角形是等邊三角形。2、有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

等邊三角形的推理條件：

????????一個三角形每個角都相等可推出這個三角形每條邊相等，一個三角形每條邊相等可推出這個三角形每個角都相等。

?三角形面積公式：

????????1、S△=1/2×ah（a是底，h是高）。

????????2、S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC（三個角為∠A、∠B、∠C，對邊分別為a，b，c，參見三角函數(shù)）。

????????3、S△=根號[p（p-a）（p-b）（p-c）]，其中p=1/2（a+b+c）（海倫秦九韶公式）。

????????4、S△=abc/（4R）（R是外接圓半徑）。的順序從右上角開始取

????????5、S△=[（a+b+c）r]/2（r是內(nèi)切圓半徑）。

????????6、|ab1|S△1/2|cd1||ef1|[|ab1|S△=1/2|cd1||ef1|[|ab1|……|cd1|……|ef1|為三階行列式，此三角形ABC在平面直角坐標系內(nèi)A（a，b），B（c，d），C（e，f），這里三角形ABC最好按逆時針順序從右上角開始取，∵這樣取得的結(jié)果一般都為正值，如果不按這個規(guī)則取，可能會得到負值，但只要取絕對值就可以了，不會影響三角形面積的大小]。

????????7、S△=c2sinAsin2B/2sin（A+B）

????????8、S正△=[（根號3）/4]a2（正三角形的面積公式，a是三角形邊長）；[海倫公式（3）特殊情況]。

三角形定理：

????????中位線定理：三角形的中位線平行與第三邊且等于第三邊的一半。推論：經(jīng)過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線，必平分第三邊。

????????中線定理：三角形一條中線兩側(cè)所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。

????????射影定理：在任何一個Rt△中，做出斜邊上的高，則斜邊上的高的平方等于高所在斜邊上的點到不是兩直角邊垂足的另外兩定點的線段的長度的乘積。幾何語言：若△ABC滿足∠ABC=90°，作BD⊥AC，則BD2=AD×DC。擴展：若△ABC滿足∠ABC=90°，作BD⊥AC。（1）AB2=AD×AC（2）BC2=CD×AC（3）AB×BC=AC×BD。

????????梅涅勞斯定理：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1。證明：過點A作AG∥BG交DF的延長線于G，則AF/FB=AG/BD，BD/DC=BD/DC，CE/EA=DC/AG，三式相乘得AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×DC×DC/AG=1。它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。

????????莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，某緊靠邊的兩條三分角線相交的到一個交點可以構(gòu)成一個正三角形，這個三角形常被稱作莫利正三角形。

三角形的重要線段：

????????中線：頂點與對邊中線的連線，平分三角形的面積。

????????高：從三角形的一個頂點（三角形任意兩條邊的交點）向其對邊所做的垂線段（頂點至對邊垂足間的線段），叫做三角形的高。

????????角平分線：平分三角形其中的一個角的線段叫做三角形的角平分線，它到兩邊的距離相等（注：一個角的平分線是射線，平分線的所在直線是這個角的對稱軸）。

????????中線：任意兩邊中點的連線。

三角函數(shù)：

????????三角函數(shù)是基礎(chǔ)函數(shù)、初等函數(shù)和高等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)?；A(chǔ)函數(shù)中三角函數(shù)局限于銳角三角函數(shù)，本質(zhì)是三角形的邊角關(guān)系。初等三角函數(shù)和高等三角函數(shù)局限于任意角的三角函數(shù)，它們的本質(zhì)是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為實數(shù)域，另一種定義是在直角三角形中，但并不完全是。傳統(tǒng)數(shù)學把它們描述成各類銳角三角函數(shù)名稱的列舉及其特殊角度的值?，F(xiàn)代數(shù)學把它們描述成無限數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到負數(shù)系。它由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)，但有特殊的反三角函數(shù)（如arsin），三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的作用。在物理中，三角函數(shù)也是常用的工具。

三角函數(shù)種類：

????????包含六種基本函數(shù)：正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）。

銳角三角函數(shù)：

????????在Rt△中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，∠C為直角。則有以下公式：

????????sinA=∠A的對邊/斜邊，sinA記為∠A的正弦。cosA=∠A的鄰邊/斜邊，cosA記為∠A的余弦。cosA=∠A的對邊/∠B的對邊，cosA記為∠A的正切。當∠A為銳角時，sinA、cosA、tanA統(tǒng)稱銳角三角函數(shù)。sinA=cosB，sinB=cosA。

特殊角的三角函數(shù)值：

???????????? 0°????30°????????????45°????????????60°??????????90°

sinα? ? ? 0? ? ? ?1/2? ?????????根號2/2? ? 根號3/2????1

cosα?????1? ? ? ?根號3/2? ? 根號2/2? ? 1/2? ? ? ? ? ?0

tanα? ? ? 0? ? ? 根號3/2? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ?根號3? ? ? ?

cotα? ? ? ?? ? ? 根號3? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ?根號3/3? ?0

生活中三角形的物品：

????????在生活中，三角形物品主要包括雨傘、彩旗、燈罩等。

傾斜角和斜率：

????????直線的傾斜角的概念：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的α叫做直線的傾斜角。特別的，當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定α=0°。

????????傾斜角的范圍：0°≤α＜180°。當直線l與x軸垂直時，α=90°。

????????直線的斜率：一條直線的傾斜角α（α≠90°）的正切值叫做這條直線的斜率，斜率通常用字母k表示，也就是k=tanα。

????????（1）當直線l與x軸平行或重合時，α=0°，k=tan0°=0；（2）當直線l與x軸垂直時，α=90°，k不存在。

????????由此可知，一條直線l的傾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在。

????????直線的斜率公式：給定兩點P1（x1，y1）P（x2，y2），x1≠x2，用兩點坐標來表示直線P1P2的斜率：k=（y2-y1）/（x2-x1）。

兩條直線的相交、平行與垂直：

????????將兩個一般式方程（參見直線的一般式方程）建立成一個二元一次方程組，這個方程組的解的坐標就是兩條直線的交點。和一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系差不多。

????????兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之如果它們的斜率相等，那么它們平行，即l1∥l2←→k1=k2（充要條件）。

????????注意：上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結(jié)論不成立，即如果k1=k2，那么一定l1∥l2。

????????兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數(shù)；反之，如果他們的斜率互為負倒數(shù)，那么它們互相垂直，即k1k2=-1←→l1⊥l2（充要條件）。

直線的方程：

????????1、直線的點斜式方程：直線l經(jīng)過點Po（xo，yo），且斜率為k，則有：y-yo=k（x-xo）。

????????2、直線的截斜式方程：已知直線l的斜率為k（k≠0），且與y軸的交點為（0，b），則有：y=kx+b。

????????3、直線的兩點式方程：已知兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），其中x1≠x2，y1≠y2，則有：y-y1/y-y2=x-x1/x-x2。

????????4、直線的一般式方程：關(guān)于x，y的二元一次方程（A，B不同時為0），則有Ax+By+C=0。

與直線方程有關(guān)的距離公式：

????? ? 1、兩點間的距離公式：P1P2=根號[（y2-y1）2+（x2-x1）2]。

????????2、點到直線距離公式：點P（xo，yo）到直線Ax+By+C=0的距離為：d=|Axo+Byo+C|/根號（A2+B2）。

????????3、兩平行線距離公式：已知兩條平行的直線l1和l2的一般式方程為l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，則l1與l2的距離為d=|C1-C2|/根號（A2+B2）。

長方形的定義：

????????有一個角是直角的平行四邊形叫做長方形，又叫矩形。

長方形長于寬的定義：

????????第一種意見：長方形長的那條邊叫長，短的那條邊叫寬。

????????第二種意見：和水平面同方向的叫做長，反之就叫寬。長方形的長和寬是相對的，不能絕對的說“長比寬長”，但習慣的，更服從于第一種意見。

長方形的性質(zhì)：

????????兩條對角線相等、兩條對角線互相平分、兩組對邊分別平行、兩組對邊分別平行且相等、四個角都是直角、有2條對稱軸。

矩形的判定：

????????根據(jù)長方型定義判定、對角線相等的平行四邊形是矩形、臨邊互相垂直的平行四邊形是矩形、有三個角的平行四邊形是矩形、對角線相等且互相平分的四邊形是矩形。

矩形的判定延伸：

????????方法一：在平行四邊形ABCD中，∠BAD=90°或BD=AC，∴平行四邊形ABCD為矩形。

????????方法二：在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CAD=90°，∴四邊形ABCD為矩形。

長方形面積公式：

????????S=ab（S表示面積，a表示長，b表示寬）。

長方形周長公式：

????????C=2（a+b）或C=2a+2b（C表示周長，a表示長，b表示寬）。

四邊中點：

????????順次連接舉行個邊中點得到的四邊形式菱形。

正方形簡介：

????????在平面幾何學中，正方形是具有四條相等的邊和四個相等的多邊形。正方形是正多邊形的一種，即正四邊形。

正方形定義：

????????正方形是平行四邊形的一種，同時也具有菱形和矩形的范疇，具有菱形和矩形的所有性質(zhì)：有一組鄰邊且相等的矩形是正方形、有一組鄰邊相等的矩形是正方形、有一個角是直角的菱形是正方形。

正方形的性質(zhì)：

????????1、邊：兩組對邊分別平行，四條邊都相等，臨邊互相垂直。

????????2、內(nèi)角：四個角都是90°。

????????3、對角線：對角線互相垂直；對角線相等且互相平分，每條對角線平分一組對角。

????????4、對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，有4條對稱軸。

????????5、正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。

????????6、特殊性質(zhì)：正方形的一條對角線把正方形分成兩個等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°。

????????7、在正方形里畫一個最大的圓，該圓的面積約是正方形面積的78.5%；正方形外接圓面積約是正方形面積的157%。

正方形的判定：

????????對角線相等的菱形是正方形。有一個角是直角的菱形是正方形。對角線互相垂直的矩形是正方形。一組鄰邊相等的矩形是正方形。一組臨邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形。對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形。對角線互相垂直，平分且相等的四邊形是正方形。一組臨邊相等，有三個角是直角的四邊形是正方形。既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。

正方形計算公式：

????????若S為正方形的面積，C為正方形的周長，a為對角線的邊長，則有面積計算公式：S=a×a，或a2（a的2次方或a的平方），或S=對角線×對角線÷2；周長計算公式：C=4a。

梯形的定義：

????????梯形是指一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形。平行的兩邊叫作梯形的底邊，其中長邊叫下底，短邊叫上底；也可以單純的認為上面的一條叫上底，下面的一條叫下底。不平行的兩邊叫作腰；夾在兩底之間的垂線段叫作梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，兩腰相等的梯形叫等腰梯形。與等腰三角形判定方法類似。

梯形的性質(zhì)：

????????梯形的上下兩底平行。梯形的中位線（兩腰中點相連的線）平行與兩底并且等于上下底和的一半。

梯形的判定：

????????一組對邊平行、另一組對邊不平行的四邊形是梯形。一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。

梯形常用輔助線：

????????做高（根據(jù)題目實際確定）；平移一腰；平移對角線；延長兩腰交于一點；取一腰中點，另一腰兩端點連接并延長；取兩底中點，過一底中點作兩腰的平行線。

等腰梯形的性質(zhì)：

????????等腰梯形的兩腰相等。等腰梯形在同一底上的兩個底角相等。等腰梯形的兩條對角線相等。等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是上下底中點的連線所在直線（過兩底中點的直線）。

等腰梯形的判定：

????????兩腰相等的梯形是等腰梯形。同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。對角線相等的梯形是等腰梯形。

直角梯形簡介：

????????定義：一腰垂直于底的梯形是直角梯形。性質(zhì)：直角梯形有兩個角是直角。判定：有一個內(nèi)角是直角的梯形是直角梯形。

梯形周長和面積公式：

????????梯形的周長公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。等腰梯形的周長公式：上底+下底+2×腰。

????????梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示S=（a+b）×h÷2。變形1：h=2S÷（a+b）；變形2：a=2S÷h-b；變形3：b=2S÷h-a。另一梯形的面積計算公式：中位線×高，用字母表示：L×h。對角線互相垂直的梯形面積為：對角線×對角線÷2。

圓的定義：

????????圓是一種幾何圖形。當一條線段圍繞著它的一個端點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓。

與圓有關(guān)的概念：

????????1、到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。2、連接圓心和圓上的任意一點的線段叫做半徑。3、通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。4、連接圓上任意兩點的線段叫做弦，最長的弦是直徑。5、圓上任意兩點間的部分叫做弧，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧，半圓既不是優(yōu)弧也不是劣弧。6、由兩條半徑和一條弧圍成的圖形叫做扇形。7、頂點在圓心上的叫圓心角。8、頂點在圓周上，且與它的兩邊分別有另一個交點的角叫做圓周角。9、圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率，用π表示，一般取3.14。

圓有關(guān)的計算公式：

????????圓的周長：C=2πr=πd。圓的面積：S=πr2?；￠L：L=nπr/180。扇形面積：S=（nπR2）/360=Lr/2。

圓與點的位置關(guān)系：

????????P在圓O外，則PO＞r。P在圓O上，則PO=r。P在圓PO內(nèi)，0＜PO＜r。

????????證明：以點A為圓心畫一個矩形ABCD。根據(jù)矩形的定義，AB較短，AD較長，∴AB為寬，AD為長。又已知點A在圓心上，B又連A，且滿足AB＜AD，∴AB＜r，AD=r，AC連成的線是對角線，斜邊＞直角邊，∴點C在圓外。由此可知，與圓心重合、連接于圓心且為寬的另一個點重合，且不在圓上，反之這個點在圓上，與圓心不相鄰的點在圓外。

圓與直線的位置關(guān)系：

????????（1）直線和圓無公共點，稱相離。AB與圓O相離。這個關(guān)系的線沒有定義（不能說成離線）。PO＞r。

????????（2）直線和圓有兩個公共點，稱相交，這條直線叫做圓的割線（不能說成交線），AB與圓O相交，O＜r＜PO。

????????（3）直線和圓有一個公共點，稱相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。AB與圓O相切，PO=r。

????????證明：在圓內(nèi)畫一個半徑r，在圓外做一條直線l，與點O作一個垂線段。設(shè)這條垂線段長度為d的話，如果用d表示直線到圓心的距離，得到d＞r。如果把直線d移到圓上，圓心到直線的距離恰好等于半徑的長度，得到d=r。如果把直線移到圓內(nèi)，此時連接的線段的垂足與圓相離，得到d＜r。

????????公切線：與多個圓同時相切的切線叫做公切線。公切線分為內(nèi)公切線和外公切線。在兩圓里面的公切線是內(nèi)公切線（絕對在兩圓的左右中間），在兩圓外面的公切線是外公切線（在兩圓的上邊或下邊）。如果有三個圓，那么沒有內(nèi)公切線，但有外公切線；以此類推。

????????平面內(nèi)，直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷的一般方法是：

????????方法一：由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B（B≠0），帶入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成為一個關(guān)于x的方程：如果b2-4ac＞0，則圓與直線有2個交點，即圓與直線相割。如果b2-4ac=0，則有1個交點，即圓與直線相切。如果b2-4ac＜0，則圓與直線有0個交點，即圓與直線相離。

????????方法二：如果B=0即直線AX+C=0，即x=-C/A，它平行于y軸，將x2+y2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）2+（y-b）2=r2。令y=b，求出此時的兩個值x1、x2，并且規(guī)定x1＜x2，那么：當x=-C/A＜x1或x=-C/A＞x2時，直線與圓相離；當x1＜x=-C/A＜x2，直線與圓相交。

圓與圓的位置關(guān)系：

????????（1）無公共點，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含。（2）有唯一公共點的，一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切。（3）有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

????????設(shè)大圓半徑為R，小圓半徑為r，且R＞r，圓心距為d，則結(jié)論：外切：d=R+r，內(nèi)切：d=R-r；外離：d＞R+r；內(nèi)含：d＜R-r；相交：R-r＜d＜R+r。證明如下：

????????外切：連接大圓圓心O和小圓圓心o作線段d，它這個圓心的距離d相當于大圓中的半徑R，小圓中半徑的r，合起來就是d=R+r。

????????內(nèi)切：直線d與半徑R作垂線時，最右端與圓相離，可以在畫一個以該點為圓心且兩圓弧內(nèi)切的一個小圓，在做一個小圓的半徑d，直線恰好補到大圓的圓弧上，可知d=R-r。

????????外離：當大圓內(nèi)做一個互相垂直的另一個半徑R，小圓內(nèi)做一個互相垂直的另一個半徑r后，中間還可以連接一個直線d，合起來就是d＞R+r。

????????內(nèi)含：在大圓上作一個同心圓。大圓的半徑用R表示，小圓的半徑用r表示。假設(shè)位置關(guān)系R=R成立，那么R=d也成立。但由于小圓內(nèi)作了兩個互相垂直的半徑r，把小圓圓心到大圓圓心間的d，大圓的圓弧與小圓的圓弧間的R隔開了。兩者之間矛盾，故假設(shè)不成立?！嘧詈蟮慕Y(jié)果是d＜R-r。

????????相交：將大圓圓心O與小圓圓心o連一條線段d。利用三角形定理，也就是兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，∴d大于R減去r，得到R-r＜d＜R+r。

圓的性質(zhì)：

????? ? （1）圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。

????????（2）圓是軸對稱圖形，其對稱軸是通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。

????????（3）有關(guān)圓心角和圓周角的性質(zhì)和定理在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑，如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。

有關(guān)外接圓和內(nèi)接圓的性質(zhì)和定理：

????????1、一個三角形有唯一確定的外切圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點的距離相等。

????????2、內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。

????????3、R=2S△÷L（R：內(nèi)切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長）。

????????4、兩相切圓的連心線過切點（連心線：兩個圓相連的直線）。

????????5、圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。

????????6、如果兩圓相交，那么連接直線兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。

????????7、圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。

????????8、圓周角的度數(shù)等于他所對的弧的度數(shù)的一半。

????????9、弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。

????????10、圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個角所對的弧的度數(shù)之和的一半。

????????11、圓外角的度數(shù)等于這個角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。

切線的性質(zhì)：

????????經(jīng)過切點垂直于過切點的半徑的直線是圓的切線。經(jīng)過切線垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

與切線有關(guān)的定理：

????????切線是垂直于過點的半徑的直線。經(jīng)過半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個圓的切線。

????????切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

????????切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線評分切線的夾角。

????????切割線定理：圓的一條切線與一條割線相較于P點，切線相交于C點，割線交圓于AB兩點，則有PC2=PA×PB。

????????切線定理與切割線定理相似。兩條割線交于P點，割線m交于A1B1兩點，割線n交于A2B2兩點，則PA1×PB1=PA2×PB2。

圓的方程：

????????1、圓的標準方程：在平面直角坐標系中，以點O（a，b），以r為半徑的圓的標準方程是（x-a）2+（y-b）2=r2。

????????2、圓的一般方程：把圓的標準方程展開、移項、合并同類項后，可得圓的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0（Dx+Ey-4F＞0）。其中和標準方程對比，其實D=-2a，E=-2b，F(xiàn)=a2+b2-r2。該圓圓心坐標為（-D/2，-E/2），半徑r=0.5根號（D2+E2-4F）。

????????3、圓的參數(shù)方程：以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程是x=a+r×cosθ，y=b+rsinθ（其中θ為參數(shù)）。

????????圓的端點式：若已知兩點A（a1，b1），B（a2，b2）,則以線段AB為直徑的圓的方程為（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0。

????????圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。

????????經(jīng)過圓x2+y2=r2上一點M（ao，bo）切線方程為aox+boy=r2。

????????在圓（x2+y2=r2）外一點M（ao，bo）引該圓的兩條切線，且兩切點為A，B，則A，B兩點所在的直線方程也為aox+boy=r2。

菱形的概念 ：

????????在一個平面內(nèi)，一組臨邊相等的平行四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。

菱形的性質(zhì)：

????????1、對角線互相垂直且平分，并且每條對角線平分一組對角。2、四條邊都相等。3、對角相等，鄰角互補。4、菱形既是軸對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在直線，也是中心對稱圖形。5、在60°的菱形中，短對角線等于邊長，長對角線是短對角線的根號3倍。6、菱形是特殊的平行四邊形，它具備平行四邊形的一切性質(zhì)。

菱形的判定：

????????前提：在同一平面內(nèi)。1、一組臨邊相等的平行四邊形是菱形。2、四邊相等的四邊形是菱形。3、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

????????依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形。不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點的四邊形始終是平行四邊形。菱形的中點四邊形是矩形。

????????菱形是在平行四邊形的前提下下定義的，首先他是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法。

菱形面積：

????????1、S=底×高（菱形的面積等于底乘高）。（2）S=1/2（對角線×對角線）（菱形的面積也等于對角線乘積的一半）。3、設(shè)菱形的邊長為a，一個夾角為θ，則面積公式是S=a2×sinθ。

計算機圖形：

????????菱形必須一條對角線與x軸平行，與另一條對角線與y軸不平行。不滿足此條件的幾何學菱形在計算機圖形上視作一般四邊形。

一些圖形的周長和面積、立體圖形的表面積和體積：

????????圓錐的表面積：πr2+nπl(wèi)（n是底面半徑長度，l是高，π是圓周率）。

????????圓錐的體積：1/3πr2h（h是高）。

??????? 球的表面積：S=4πr2（這里是正球）。

????????球的體積：V=4/3πR3（V是體積，R是球的半徑）。

????????橢圓的面積：S=πab（a，b分別是橢圓的長半軸，短半軸）。

????????橢圓的周長：L==T（r+R）（L是周長，T為橢圓系數(shù)）。

????????圓臺的表面積：S=πr2+πr′2+πrl+πr′1。

????????棱錐的表面積：S=n×S側(cè)（三角形）+S底（其中n為棱錐的棱條數(shù)，即側(cè)面數(shù)）。

????????棱柱的表面積：S=LH+2S.。

????????圓臺的體積：V=1/3πh（R2+r2+R+r）（r為頂面半徑，R為底面半徑，h為圓臺高）。

????????棱錐的體積：V=1/3Sh。

????????棱柱的體積：V=Sh。

????????弓形的面積：S=πr2-S扇。

球的定義：

????????空間中到頂點的距離小于或等于所有點組成的圖形叫做球。球是一個連續(xù)曲面的立體圖形。世界上沒有絕對的球，但在理論中存在。

球體的立體物：

????????指球體的體育用品，包括手球、籃球、足球等。

球的組成：

????????球的表面是一個曲面，這個曲面就是球面。求和圓類似，也有一個中心叫做球心。星體，特指“地球”。

球的基本概念：

????????半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所圍成的曲面叫做球面。球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球。半圓的圓心叫做球心。連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑。連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫作球的直徑。

球的性質(zhì)：

????????用平面去截一個球，截面是圓面。球的截面有以下性質(zhì)：1、球心和截面圓心的連線垂直于截面。2、球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關(guān)系：r2=R2-d2。

????????球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做小圓。

????????在球面上，兩點之間的最短連線長度，就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面的距離。

圓柱的定義：

????????以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱，即AG矩形的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)360°所得的旋轉(zhuǎn)體就是圓柱。其中AG叫做圓柱的軸，AG的長度叫做圓柱的高，所有平行于AG的線段叫做圓柱的母線，DA和D′G′旋轉(zhuǎn)形成的兩個圓叫做圓柱的底面。DD′旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓柱的側(cè)面。

????????在同一個平面內(nèi)有一條定直線和一條動線，當這個平面圍繞著這條定直線旋轉(zhuǎn)一周時，這條動線所成的面叫做旋轉(zhuǎn)面，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)面的軸，這條動線叫做旋轉(zhuǎn)面的母線。如果母線是和軸平行的一條直線，那么所生成的旋轉(zhuǎn)面叫做圓柱面。如果用垂直與軸的兩個平面去截圓柱面，那么兩個截面和圓柱面圍成的幾何體叫做直圓柱，簡稱圓柱。

直圓柱：

????????直圓柱也叫正圓柱、圓柱，可以看成是以矩形的一邊所在直線為軸、其余各邊繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體。

圓柱各部分的名稱：

????????圓柱是兩個完全相同的圓面叫做底面（分上地面和下底面）；圓柱有一個曲面，叫做側(cè)面；兩個底面的對應(yīng)點之間的距離叫做高（有無數(shù)條高）。

圓柱的特征：

????????圓柱的兩個底面都是圓，并且大小一樣。兩個面之間的距離叫做高，把圓柱的側(cè)面打開，得到一個長方形，這個長方形就是圓柱底面的周長。

圓柱與圓錐的關(guān)系：

????????與圓柱等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

????????體積和高相等的圓錐與圓柱（等底等高）之間，圓錐的底面積是圓柱的三倍。

????????體積和底面積相等的圓錐與圓柱（等底等高）之間，圓錐的高是圓柱的三倍。

橢圓的第一定義：

??????平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的動點的軌跡叫做橢圓。即：|PF1|+|PF2|=2a。其中兩定點F1、F2叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離|F1F2|=2c＜2a叫做橢圓的焦距。長軸長：|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。

橢圓的第二定義：

????????平面上到定點F的距離到頂點直線的距離之比為常數(shù)e（橢圓的離心率，e=c/a）的點的集合（定點F不在直線上，該常數(shù)小于1的正數(shù)），其中定點F為橢圓的焦點，定直線稱為橢圓的準線（該定直線的方程是x=±a2/c＜焦點在x軸上＞或y=±a2/c＜焦點在y軸上＞）。

橢圓的簡單幾何性質(zhì)：

????????1、范圍：一般來說，標準的橢圓位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形里?2、對稱性：關(guān)于x軸對稱和y軸對稱。3、頂點：（a，0）、（-a，0）、（0，b）、（0，-b）。4、離心率e=c/a。

切線與法線的幾何性質(zhì)：

????????定理1：設(shè)F1、F2為橢圓C的兩個焦點，P為C上任意一點。若直線AB切橢圓C于點P，且A和B在直線位于P的兩側(cè)，則∠APF1=∠BPF2。

????????定理2：設(shè)F1、F2為橢圓C的兩個焦點，P為C上任意一點，若直線AB為C在P點的法線，則AB平分∠F1PF2。

橢圓的標準方程：

????????高中課本在平面直角坐標系中，用方程描述了橢圓，橢圓的標準方程中的“標準”指的是中心在原點，對稱軸為坐標軸。

????????橢圓的標準方程有兩種，取決于焦點所在的對稱軸：（1）焦點在x軸時，標準方程為x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）。（2）焦點在y軸時，標準方程為y2/a2+x2/b2=1（a＞b＞0）。

????????其中a＞0，b＞0。a、b中較長者為橢圓長半軸長，較短者為短半軸長。橢圓有兩條對稱軸，對稱軸被橢圓所截，有兩條線段，它們的一半分別叫橢圓的長半軸和短半軸。當a＞b時，焦點在x軸上，焦距為2×（a2-b2）**0.5，焦距與長、短半軸的關(guān)系：b2=c2-a2，準線方程是x=a2/c和x=-a2/c，c為橢圓的半焦距。

????????如果中心在原點，但焦點的位置不明確在x軸或y軸時，方程可設(shè)為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）。即標準方程的統(tǒng)一形式。

????????橢圓可以看做圓在某方向上的拉伸，它的參數(shù)方程是：x=acosθ，y=bsinθ。標準形式的橢圓在（xo，yo）點的切線就是xxo/a2+yyo/b2=1

????????橢圓的一般方程：Ax2+By2=C（A＞0，B＞0，且A≠B）。

????????橢圓的參數(shù)方程：x=acosθ，y=bsinθ。

????????橢圓的極坐標方程：一個焦點在極坐標系原點，另一個在θ=0的正方向上。r=a（1-e2）/（1-ecosθ）。e為橢圓的離心率。?

橢圓的有關(guān)公式：

????????e=c/a（0＜e＜1），∵2a＞2c。離心率越大，橢圓越扁平；離心率越小，橢圓越接近于圓。橢圓的焦準距：橢圓的焦點與其相應(yīng)準線（如焦點（c，0）與準線x=a2/c的距離為b2/c）。

????????橢圓焦半徑公式：焦點在x軸上：|PF1|=a+ex，|PF2|=a-ex（F1，F(xiàn)2分別為左右焦點）。橢圓過右焦點的半徑r=a-ex，過左焦點的半徑r=a+ex。焦點在y軸上：|PF1|=a-ey，|PF2|=a+ey（F1，F(xiàn)2為上下焦點）。橢圓的通徑：過焦點的垂直于x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點A，B之間的距離，數(shù)值：2b2/a。

????????橢圓的斜率公式：過橢圓上x2/a2+y2/b2=1上一點（x，y）的切線斜率為-（b2）x/（a2）y。

????????橢圓的曲率公式：K=ab[（b2-a2）（cosθ）2+a2]**（3/2）。

點與橢圓的位置關(guān)系：

????? ? 設(shè)點M（xo，yo）橢圓的方程為x2/a2+y2/b2=1，那么有：點在橢圓內(nèi)：xo2/a2+yo2/b2＜1；點在橢圓上：xo2/a2+yo2/b2=1；點在橢圓外：xo2/a2+yo2/b2＞1。

直線與橢圓的位置關(guān)系：

????????y=kx+m（1），x2a2+y2b2=1（2），由（1）（2）可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1，相切△=0；相離△＜0無交點；相交△＞0可利用弦長公式：A（x1，y1）B（x2，y2），|AB|=d=根號（1+k2）[（y1+y2）2-4x1×x2]。

橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用：

????????求解橢圓上點到定點或到頂點直線距離的最值時，用參數(shù)坐標可將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題求解。x=a×cosβ，y=b×sinβ，a為長軸的一半。

橢圓相關(guān)性質(zhì)：????

????????由于平面截圓錐得到的圖形是橢圓，∴它屬于圓錐曲線。例如：有一個圓柱，被截得到一個截面，下面證明他是一個橢圓（用橢圓第一定義）：將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓，它們碰到截面的時候停止，那么會得到兩個公共點，顯然它們是與球的切點。設(shè)兩點為F1、F2，對于截面上任意一點P，過P做圓柱的母線Q1、Q2，與球、圓柱相切的大圓分別交于Q1、Q2，則PF1=PQ1，PF2=PQ2，∴PF1+PF2=Q1Q2，由橢圓第一定義知：截面是一個橢圓，且以F1、F2為焦點。用同樣的方法，也可以證明圓錐的斜截面（不通過底面）為一個橢圓。

????????例：已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的離心率為根號6/3，短軸一個端點到右焦點的距離為根號3。問：（1）求橢圓的方程。（2）直線l：y=x+1與橢圓交于A，B兩點，P為橢圓上一點，求△PAB面積的最大值。（3）在（2）的基礎(chǔ)上求△AOB的面積。

????????解析：（1）分析短軸的端點到左右焦點的距離和為2a，端點到左右的距離相等（橢圓的定義），可知a=根號3，又c/a=根號6/3，代入得c=根號2，b=根號（a2-c2）=1，方程是x**2/3+y**2/1=1。

????????（2）要求面積，顯然以ab作為三角形的底邊，聯(lián)立x**2/3+y**2/1=1，y=x+1解得x1=0，y1=1，x2=-1.5，y2=-0.5。利用弦長公式有[根號（1+k2）]（x2-x1）=2的立方根/2，對于P點面積最大，它到弦的距離應(yīng)最大，假設(shè)已經(jīng)找到P到弦的距離最大，過P作弦的平行線，可以發(fā)現(xiàn)這個平行線是橢圓的切線時才會最大，這個切線與弦平行，故斜率等于弦的斜率，設(shè)y=x+m，利用判別式等于0，求得m=2，-2。結(jié)合圖形得m=-2，x=1.5，y=-0.5，P（1.5，-0.5）。

????????（3）直線方程x-y+1=0，利用點到直線的距離公式求得根號2/2，面積1/2×根號2/2×3根號2/2=3/4。

平面基本公理：

????? ? 1、過相異兩點，能做且只能做一條直線。2、一條有限線段可以無限延長。3、以任意點為圓心及任意的距離可以畫圓。4、凡直角都彼此相等。5、同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角和小于二直角的和，則這二直線經(jīng)過無限延長后在這一側(cè)相交。

二面角的定義和常見物品：

????????二面角是指從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成圖形，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。常見的二面角的物品有：鉛筆盒、書、平板電腦等。

異面直線的定義：

????????不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。空間中兩條位置關(guān)系有三種，即相交和平行，這兩種情況的兩條直線在同一平面內(nèi)。另外一種情況就是不相交也不平行成為異面直線。

????????注意，以下關(guān)于異面直線的說法是錯誤的：1、分別在兩個平面內(nèi)的直線是異面直線。2、在空間內(nèi)不相交的兩條直線是異面直線。3、平面內(nèi)的一條直線和平面外的一條直線是異面直線。

與立體圖形相關(guān)的判定和性質(zhì)：

????????平面與直線平行的判定：a不包含于α，b包含于α→a∥α。平面與直線平行的性質(zhì)：a∥α，a包含于β，α∩β=b→a∥b。平面與平面平行的判定：a包含于α，b包含于α，a∩b=P，a∥β，b∥β→α∥β。平面與平面平行的性質(zhì)：α∥β，α∩γ，β∩γ→a∥b。平面與直線垂直的判定：m包含于α，n包含于α，m∩n=P，a不包含于α，a⊥m，a⊥n→a⊥α。平面與直線垂直的性質(zhì)：a⊥α，b⊥α→a∥b。平面與平面垂直的判定：a包含于α，b包含于α，l⊥a，l⊥b，a∩b=P，l包含于β→α⊥β。平面與平面垂直的性質(zhì)：α⊥β，α∩β=a，l包含于β，l不包含于α，l⊥a→l⊥α。

????????例題：在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC=根號3，AB=2BC=2，AC⊥FB。（1）求證：AC⊥平面FBC。（2）求四面體FBCD的體積。（3）線段AC上是否存在點M，使得EA∥平面FDM？證明你的結(jié)論。

????????回答：（1）證：在△ABC中，∵AC=根號3，AB=2，BC=1?！郃C2+BC2=AB2?！郃C⊥BC。又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，∴AC⊥平面FBC。

????????（2）∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC?！逤D⊥FC，∴FC⊥平面ABCD。在Rt△ACB中，BC=1/2AB，∴∠CAB=30°，∴在等腰梯形ABCD中可得∠ABD=∠CDB=∠CBD=30°，∴CB=DC=1，∴FC=1，∴△BCD的面積S=1/2×12×sin120°=根號3/4?！嗨拿骟wFBCD的面積為：V（F-BCD）=1/3FC=根號3/2。

????????（3）線段AC上存在點M，且M為中點時，有EA∥平面FDM，證明如下：連接CE與DF交于點N，連接MN。由CDEF為正方形，得N為CE中點?！郋A∥MN?！進N包含于平面FDM，EA不包含于FDM，∴EA∥平面FDM，∴線段AC上存在點M，使得EA∥平面FDM成立。

????????????????????????????????????????第三十四章：封閉的多邊形

概念：

????????又在同一平面內(nèi)且不在同一條直線上的三條或三條以上的線段首尾順次連接且不相交所組成的封閉圖形叫做多邊形。在不同平面上的多條線段首尾順次連接且不相交組成的圖形也叫多邊形，是廣義的多邊形。

????????組成多邊形的線段至少有3條，三角形是最簡單的多邊形，組成多邊形的每一條線段叫做多邊形的邊；相鄰的兩條線段的公共端點叫做多邊形的頂點；多邊形相鄰兩邊所成的角叫做多邊形的內(nèi)角；連接多邊形的兩個不相鄰的頂點的線段叫做多邊形的對角線。

????????多邊形還可以分為正多邊形和非正多邊形。正多邊形各邊相等←→正多邊形各角相等（充要條件）。

????????多邊形也可以分為凸多邊形和凹多邊形，凸多邊形可稱為平面多邊形，凹多邊形又稱空間多邊形（此定理只適用于凸多邊形，即平面多邊形，空間多邊形不適用），廣義的多邊形也包括五角星等。

多邊形的定理：

????????n邊形的內(nèi)角和=180°×（n-2）?？赡嬗茫簄邊形的邊=（內(nèi)角和÷180°）+2。

????????過n邊形一個頂點有（n-3）條對角線。n邊形共有n×（n-3）÷2條對角線。n變形過過一個頂點引出所有對角線后，把多邊形分成n-2個三角形。

????????推論：1、任何凸多邊形的外角和都等于360°。2、多邊形對角線的計算公式：n邊形的對角線的條數(shù)等于1/2×n（n-3）。3、在平面內(nèi)，各邊相等，各內(nèi)角也都相等的多邊形不一定叫做正多邊形[兩個條件必須同時滿足，反例：矩形（各內(nèi)角相等，各邊不一定相等），菱形各邊相等，各角不一定相等）]。

多邊形外角和定理：

????????n邊形外角和=n×180°-（n-2）×180°。

????????多邊形的每個內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補角，∴n邊形內(nèi)角和加外角和等于n×180°。

?????????????????????????????????????????????第三十五章：集合

集合講義：

????????集合在數(shù)學上是一個基礎(chǔ)概念。什么是基礎(chǔ)概念？基礎(chǔ)概念是不能用其他概念加以定義的概念，也不能被其他概念定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法下定義。

集合的定義：

????????集合是把人們直觀的或思維中的某些確定的能夠區(qū)分的對象集合在一起，使之成為一個整體，這一整體就是集合。組成一集合的那些對象成為這一集合的元素。

集合的公理：

????????外延公理：對于任意的集合S1和S2當且僅當對于任意的對象a，都有若a∈S1，則a∈S2，若a∈S2，則a∈S1。

????????無序集合存在公理：對于任意的對象a與b，都存在一個集合S，使得S恰好有2個元素，一個對象是a，一個對象是b，由外延公理，由它們組成的無序?qū)鲜俏ㄒ坏?，記做{a，b}?。由于a，b是任意兩個對象，它們可以相等，也可以不相等。當a=b時，{a，b}?可以記做域，并且稱之為單元集合。

????????空集存在公理：存在一個集合，它沒有任何元素。

集合的概念和與元素的關(guān)系：

????????一定的范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當作一個整體來看待，就叫做集合，簡稱集，其中各事物叫作集合的元素或簡稱元。集合與元素的關(guān)系有“屬于”和“不屬于”兩種。

集合的分類：

????????并集：以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合稱為A與B的并（集），記作A∪B（或B∪A），讀作“A并B”?（或“B并A”）?，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}??。

????????交集：以屬于A且屬于B的元素為元素的集合稱為?A與B的交（集），記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B∩A”），即A∩B={x|x∈A，或x∈B}。

????????全集和補集：以不屬于A但屬于全集U的元素稱為A是U的全（集），記作x?A，但∈U，讀作x?A，x∈U（或“x∈U，x?A”），如果用文字讀讀法和開頭相同，如果結(jié)合符號讀讀作CuA是A的補（集）。有趣的說，就是不管多少，反正不是你有，就是我有。

????????無限集：集合里含有無限個元素的集合叫做無限集。

????????有限集：令N*是正整數(shù)的全體，且Nn={1，2，3，……，n}，如果存在一個正整數(shù)n，使得集合A與Nn一一對應(yīng)，那么A叫作有限集合。

????????差：以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的差（集）。

????????注意：空集也被認為是有限集合，包含于任何集合，但不能說：“空集屬于任意集合”。

????????補集：屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集，記作CuA，即CuA={x∈U且?A}。

????????說明一下：如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則A稱作是B的子集；如果集合A的所有元素同時都不是集合B的元素，則A稱作不是B的子集。若A是B的子集，且A不等于B，則A稱作是B的真子集；若A是B的子集，且A等于B，則A稱作不是B的真子集。

集合的性質(zhì)：

????????1、確定性：每個對象都能確定是集合的元素，沒有確定性就不能構(gòu)成集合，反之能構(gòu)成集合。例如“一個小數(shù)”不能構(gòu)成集合，“小數(shù)中的小數(shù)點”能構(gòu)成集合。這個性質(zhì)主要用于判斷一個集合是否能形成集合。

????????2、互異性：集合中每個元素都是不同的對象。如{1，1，2}等同于{1，2}。但實際第一個集合的形式是錯誤的，第二個集合的形式是正確的?；ギ愋允羌现械脑厥菦]有重復(fù)，兩個相同的對象在同一個集合中時，只能算作這集合中的一個元素，兩個以上的對象同理。

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