????????C、張三去綜合辦，李四去人事部，王五去后勤部。

????????D、張三去人事部，李四去綜合辦，王五去后勤部。

????????解析：每個(gè)選項(xiàng)中已經(jīng)告訴了每個(gè)人分別去哪些部門，這個(gè)時(shí)候怎么辦？我們可以想到用排除法，代表排除。怎么代表排除？李四不去人事部，而C說李四去人事部，∴C排除。李四去過后勤，∴李四不能再去后勤，∴B排除。張三是人事，你就排除掉張三去人事部，∵人事部是張三本人的?！郉排除。那么正確答案是A。

????????例2：甲、乙、丙、丁四人商量周末出游，甲說：“乙去，我就肯定去?！币艺f：“丙去我就不去。并說：“無論丁去不去，我都去。”丁說：“甲乙中至少有一個(gè)去，我就去。”以下哪項(xiàng)推論可能是正確的？

????????A、乙、丙兩個(gè)人都去了。

????????B、甲一個(gè)人去了。

????????C、甲、乙、丁三個(gè)人去了。

????????D、四個(gè)人都去了。

????????根據(jù)題意，用“——”表示相當(dāng)于，可以記為：（1）乙——甲（2）丙——非乙（3）丙（4）甲或乙——丁。AB沒有確定性，D是不可能實(shí)現(xiàn)的，∴選C。

體育比賽中的推理：

????????體育比賽中的推理解題時(shí)需要用到點(diǎn)線圖，即把每個(gè)人都畫成一個(gè)點(diǎn)，旁邊記下人物名稱的標(biāo)記。根據(jù)題目中提供的信息，即誰(shuí)與誰(shuí)比賽，用線段的方式把兩個(gè)點(diǎn)連起來，第一個(gè)對(duì)象連好后，根據(jù)情況找出矛盾的地方，把矛盾的地方排除掉，繼續(xù)推理下一個(gè)對(duì)象，往后以此類推。

????????由于這里我無法用幾何圖形來表達(dá)，那么我最后能轉(zhuǎn)化成文字來表達(dá)題目的推理過程了。

????????例1：A，B，C，D，E五人參加象棋比賽，每?jī)扇硕家愐槐P，并且只賽一盤，規(guī)定勝者得分，負(fù)者得0分，平者各得1分?，F(xiàn)在知道比賽的結(jié)果是：A和B并列第一名，C是第三名，D和E并列第四名。問：C的得分是多少？

????????解析：我們先把點(diǎn)線圖畫出來。5個(gè)人最多可能比4局，那么每人最多得8分。∵已知A、B并列第一。由于兩人比賽不可能全贏或全輸，只可能平局，∴A、B最高為7分。7可以拆成2+2+2+1，相當(dāng)于A或B贏了3局和平了1局，那么B除了跟A連以外，還跟C、E、D連。又∵D和E并列，∴D和E連起來。每個(gè)人都賽了4局，那么C的得分就是2+2+0+0=4（分）。D和E還剩4局，而剩余3局全輸，總共就是1+0+0+0=1（分），但是否也有7分以下的可能呢？對(duì)于勝負(fù)情況而言，有勝有負(fù)的話，一方2分，另方0分，總共2+0=2（分），兩方打平的話，兩方都是1分，總共1+1=2（分），也就是任何情況下，一局比賽的積分都是2分。5個(gè)人10場(chǎng)比賽，總共就是2×10=20個(gè)積分。這20個(gè)積分一定在A、B、C、D、E6個(gè)人手中，∴A+B+C+D+E=20。如果A+B=12，那么A、B都是6分，C、D、E總共拿到8分。只有D、E各自拿到3分，C拿到4分，即保證D、E不為倒數(shù)第一且不與A、B積分相等的情況下才符合題意。∴C的得分是4分。

????????例2：A、B、C、D、E5各小組開展撲克比賽，每?jī)蓚€(gè)小組都要比一場(chǎng)，到目前為止，A已經(jīng)賽了4場(chǎng)，B已經(jīng)賽了3場(chǎng)，C已經(jīng)賽了2場(chǎng)，D已經(jīng)賽了1場(chǎng)，問：E賽了幾場(chǎng)？

????????解析。先畫出點(diǎn)線圖?！逜賽了4場(chǎng)，∴A要把B、C、D、E4個(gè)點(diǎn)全連上。再看D，∵D只比賽了1場(chǎng)，已經(jīng)和A比完了，不用再比了。又已知B比賽了3場(chǎng)，而B只和A比過，∴剩下2場(chǎng)是和C、E比。C已經(jīng)比賽了2場(chǎng)，我們已經(jīng)和B、A連上了。E與A、B共2場(chǎng)。此時(shí)已經(jīng)全部練完了?！郋賽了2場(chǎng)。

????????????????????????????????第二十六章：有理數(shù)和無理數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)的定義：

????????有理數(shù)定義為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)的統(tǒng)稱（能開方的數(shù)也是有理數(shù)，例如根號(hào)4=±2）。無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù)（位數(shù)不但沒有限制，而且小數(shù)位還沒有循環(huán)的數(shù)）。初學(xué)者會(huì)誤認(rèn)為有理數(shù)就是有道理的數(shù)，無理數(shù)就是沒道理的數(shù)，這種理解是完全錯(cuò)誤的。

實(shí)數(shù)的分類：

????????按定義分：實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，接下來有理數(shù)分為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，無理數(shù)直接標(biāo)注它的定義。

????????按大小分：實(shí)數(shù)分為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，接下來正數(shù)分為正有理數(shù)、正無理數(shù)，負(fù)數(shù)分為負(fù)有理數(shù)、負(fù)無理數(shù)。

有理數(shù)的概念：

????????如果一個(gè)數(shù)只改變符號(hào)部分不改變數(shù)字部分，那么這個(gè)數(shù)就是原來的數(shù)字的相反數(shù)。正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0。這也就對(duì)計(jì)算中去括號(hào)的法則進(jìn)行了充分的證明，只不過這里只是化簡(jiǎn)數(shù)而已了。

????????在數(shù)學(xué)中絕對(duì)值指的是一個(gè)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，用“||”來表示。非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是他的相反數(shù)。互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)互相等。

有理數(shù)的運(yùn)算：

????? ? 算式中的絕對(duì)值：算式中如果有絕對(duì)值，應(yīng)先去掉絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為括號(hào)，再去括號(hào)進(jìn)行運(yùn)算。

????????有理數(shù)運(yùn)算中列算式的注意事項(xiàng)：如果算是最前面是負(fù)數(shù)，加不加括號(hào)都可以，∵前面沒有可算的數(shù)，例如負(fù)1加1，可以寫成-1+1，也可以寫成（-1）+1；但如果負(fù)號(hào)不在最前面，一定要把這個(gè)數(shù)加上括號(hào)，否則人家分不清這步的運(yùn)算符號(hào)，例如我把上面的話調(diào)過來，1加負(fù)1，應(yīng)該寫成1+（-1），而不應(yīng)該寫成寫成1+-1。

????????有理數(shù)的加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。兩個(gè)互為相反數(shù)相加得0，例如∵5和-5互為相反數(shù)，5+（-5）=0。有理數(shù)的減法法則：一個(gè)數(shù)減去另一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。有理數(shù)的乘法法則：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)（0除外）。有理數(shù)的除法法則：一個(gè)數(shù)除以一個(gè)另一個(gè)數(shù)，等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)（除數(shù)不能為0）.

????????倒數(shù)的推廣和負(fù)倒數(shù)：非負(fù)數(shù)的倒數(shù)同樣適用于有理數(shù)，即如果兩個(gè)有理數(shù)相乘得1（0除外），那么這兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。如果兩個(gè)有理數(shù)相乘得-1，那么這兩個(gè)有理數(shù)互為負(fù)倒數(shù)，例如∵3×（-1/3）=-1，∴3和-3互為負(fù)倒數(shù)。

????????有理數(shù)的乘方：乘方是幾個(gè)相同的數(shù)相乘，相同數(shù)連乘的簡(jiǎn)便運(yùn)算（不要和乘法搞混了）。乘方的結(jié)果叫冪，相乘的大小叫底數(shù)，相乘的個(gè)數(shù)叫做指數(shù)。做計(jì)算前先觀察底數(shù)是否有括號(hào)。如果底數(shù)沒有加括號(hào)。計(jì)算有理數(shù)的乘方時(shí)，只需考慮數(shù)字，即先算出絕對(duì)值作為冪的數(shù)字部分，再將符號(hào)部分直接落下來。如果底數(shù)有括號(hào)，先考慮數(shù)字，再考慮符號(hào)。數(shù)字部分是冪的絕對(duì)值，當(dāng)指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，冪是負(fù)數(shù)，當(dāng)指數(shù)是正偶數(shù)時(shí)，冪是整數(shù)。當(dāng)指數(shù)為0時(shí)，如果底數(shù)為0，冪則為0，其余情況冪全部為1（無論底數(shù)是否加了括號(hào)）。這兩種形式的算式意義不同，就在于是否對(duì)底數(shù)加上了括號(hào)?！弋?dāng)?shù)讛?shù)不加括號(hào)時(shí)，我們把該算式讀作幾的幾次方的相反數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)加括號(hào)時(shí)，我們把該算式讀作幾的幾次方。

????????有理數(shù)的運(yùn)算過程是先乘方，再乘除，后加減，如果有括號(hào)要先去括號(hào)。

大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法和有效數(shù)字：

????????把一個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)乘10的幾次方的形式的數(shù)，叫做科學(xué)記數(shù)法，也就是讓這個(gè)數(shù)變得更科學(xué)一些。（注意是“記”而不是：“計(jì)”）。表示形式為a×10**n（n∈Z+）。其中a必須是整數(shù)位為一位數(shù)的小數(shù)。

????????如果題目中的首位只有一位數(shù)一位數(shù)的小數(shù)，那么你把a(bǔ)和n照抄下來就可以了。如果前面有整數(shù)但后面全是0，a的小數(shù)點(diǎn)要向左移到首位與下一位中間，其中移動(dòng)了幾位，n要加幾。如果中間出現(xiàn)了不為0的數(shù)，要用加法把它拆成兩部分科學(xué)記數(shù)法相加的形式，往后以此類推，再進(jìn)行轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)法的形式。反之，要把一個(gè)用科學(xué)記數(shù)法表達(dá)形式的數(shù)轉(zhuǎn)化為普通的數(shù)，要先把a(bǔ)、10**n次方分別轉(zhuǎn)化成普通的數(shù)的形式。a的小數(shù)點(diǎn)移到個(gè)位數(shù)上，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了幾位，n就要減幾，接下來把1截去，n此時(shí)是幾，后面就保留幾個(gè)0，對(duì)于拆成多個(gè)部分科學(xué)記數(shù)法的形式，首先要還原一個(gè)部分的科學(xué)記數(shù)法的形式，再轉(zhuǎn)化為普通的數(shù)的形式。

????????例題：（1）把23000048000轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)法的形式。（2）把53.22×10**8+62.26×10**5轉(zhuǎn)化為普通的數(shù)的形式。

????????解答：（1）把23000048000拆成230000+48000，230000轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)法的形式是2.3×10**4，48000轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)法的形式是4.8×10**4?！?3000048000轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)法的形式是2.3×10**4+4.8×10**4。（2）53.22的小數(shù)點(diǎn)移到個(gè)位是5322，移動(dòng)了2個(gè)小數(shù)點(diǎn)，那么10**8就變成了10**（8-2）=10**6，1截去并落下6個(gè)0與5322合在一起得5322000000，∴53.22×10**8+62.26×10**5轉(zhuǎn)化為普通的數(shù)字之后就是5322000000。

????? ?在有理數(shù)中，?有效數(shù)字是指在一個(gè)數(shù)中，從該數(shù)的第一個(gè)非零數(shù)字起，直到末尾數(shù)字位置的數(shù)字稱為有效數(shù)字，如0.01034600，有效數(shù)字有7個(gè)，分別是1，0，3，4，6，0，0（注意：末尾的0也是有效數(shù)字）。那么最前面的0，0就是無效數(shù)字。

實(shí)數(shù)的運(yùn)算關(guān)系：

????????乘方求的是已知底數(shù)和指數(shù)求冪，開方求的是已知指數(shù)和冪求底數(shù)。從而我們得出一個(gè)關(guān)系：乘方與開方互為逆運(yùn)算。

開方的表達(dá)形式：

????????開方的運(yùn)算讀作幾的幾次方根，或幾根號(hào)下開幾次方。寫的時(shí)候左邊時(shí)倒過來的V，右邊是除法算式中的除號(hào)。開方也叫方根。根號(hào)內(nèi)的數(shù)是被開方數(shù)，根號(hào)上寫的數(shù)是開幾次方的數(shù)，讀作根指數(shù)，其中如果是平方根，根指數(shù)2可以省略不寫，如果不是平方根，必須寫上根指數(shù)。

開方的運(yùn)算歸納：

????????負(fù)數(shù)沒有正偶次平方根，但有≮3的奇數(shù)次方根，除非符號(hào)在根號(hào)外?！邲]有任何數(shù)的正偶數(shù)次方根是負(fù)數(shù)，而正負(fù)得正。當(dāng)負(fù)號(hào)在根號(hào)外時(shí)，表示的是幾的幾次方根的相反數(shù)。當(dāng)根指數(shù)?Z+時(shí)，算式無法開方。

????????開正偶數(shù)次方根的結(jié)果有互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，開≮3的奇數(shù)次方根的結(jié)果有一個(gè)數(shù)，正負(fù)號(hào)取決于被開方數(shù)的正負(fù)號(hào)。

無理數(shù)去絕對(duì)值：

????????有理數(shù)去絕對(duì)值非常簡(jiǎn)單，但如果是無理數(shù)我們又該怎樣去處理呢？如果絕對(duì)之內(nèi)只存在一個(gè)無理數(shù)，或者兩個(gè)無理數(shù)相加（以此類推），那么和有理數(shù)一樣，只需要考慮數(shù)字的正負(fù)就可以了。如果是兩個(gè)根指數(shù)相同的無理數(shù)相減（以此類推），我們要比較每個(gè)無理數(shù)的大小，被開方數(shù)越大，這個(gè)數(shù)就越大，從左到右按從大到小排序。如果根指數(shù)相同但是有加有減，或是根指數(shù)不同，甚至是遇到有理數(shù)，那就要先分別求出這幾個(gè)數(shù)的結(jié)果，用結(jié)果比較大小，再去絕對(duì)值。

????????????????????????????????????第二十七章：新定義運(yùn)算

新定義運(yùn)算講義：

????????像*、！、△等這樣代替算式中運(yùn)算符號(hào)的算式，我們管它叫新定義運(yùn)算。任何新定義運(yùn)算都有想對(duì)應(yīng)的運(yùn)算法則，即哪個(gè)新定義的算式等于哪個(gè)代數(shù)式。例如5！2=2a+3b。

新定義運(yùn)算的解題思路：

????????解決新定義運(yùn)算時(shí)，要根據(jù)題目中給出的運(yùn)算法則來算。對(duì)于簡(jiǎn)單的算式，只要遵循相同的數(shù)代表相同的數(shù)，不同的數(shù)代表不同的數(shù)計(jì)算就可以了，例如上面舉的例子5！2=2a+3b。如果算式比較復(fù)雜?，例如加上了括號(hào)，混合運(yùn)算等，就要去括號(hào)，代數(shù)式變形。例如3*（1！6）=29a-28b，先要求出括號(hào)內(nèi)的數(shù)，該步的結(jié)果作為1！6的結(jié)果，下一步繼續(xù)用同樣的法則計(jì)算。（3*5）÷4,=19a+10b，首先要去掉4，即把代數(shù)式的所有想的系數(shù)都縮小4倍，再進(jìn)行計(jì)算。如果是新定義方程，先要求出新定義運(yùn)算部分的結(jié)果，再解方程。

????????例題：規(guī)定[10△（13▽17）]÷2=24a+32b。問：（1）求[16△（11▽7）]÷8的值。（2）解方程{[16△（11▽7）]÷8+x}2=9。

????????解答：（1）原式等號(hào)兩邊除以2，得10△（13▽17）=12a+16b。同理，問題中的算式除以8后，所求的代數(shù)式為3a+4b，此時(shí)等式變形為16△（11▽7）=3a+4b。去括號(hào)，得3×11+4×7=61，又16△61=3×16+4×61=292，∴[16△（11▽7）]÷8的值為292。（2）將292代入原方程，得（292+x）2=9，解得x1=-289，x2=-295。

定義新運(yùn)算的運(yùn)算律：

????????我們學(xué)過四則運(yùn)算的運(yùn)算律，那么新定義運(yùn)算是否也存在運(yùn)算律嗎？我們?cè)囍孪胍幌隆?br>

????????從形上來講，對(duì)于任意的運(yùn)算符號(hào)，存在兩個(gè)數(shù)字，例如“！”，滿足交換律a！b=b！a。對(duì)于任意的運(yùn)算符號(hào)，存在三個(gè)數(shù)字，例如“*”，滿足結(jié)合律a*b*c=a*c*b=b*a*c=c*b*a（數(shù)量往上以此類推）。對(duì)于任意的運(yùn)算符號(hào)，存在三個(gè)數(shù)字，例如“△、▽”滿足分配律a△（b▽c）=（a▽c）△（b△c）（兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的各兩個(gè)字母都不滿足交換律）。

????????從數(shù)上來講，有些新定義運(yùn)算存在運(yùn)算律，有些新定義運(yùn)算不存在運(yùn)算律。判斷是否存在運(yùn)算律，需要看等式之間的對(duì)應(yīng)法則，如果原式滿足運(yùn)算律，且這個(gè)新定義運(yùn)算不是一個(gè)偽命題，那么這個(gè)新定義運(yùn)算就存在運(yùn)算律，其余情況都不存在運(yùn)算律。那上面的算式舉例子當(dāng)a！b=2a+4b，求1！2，2×1+4×2=10。那么b！a呢？b！a=4b+2a=4×2+2×1=10，∵10=10，∴a！b和b！a之間存在運(yùn)算律。那么這個(gè)算式符合同一法則。當(dāng)a*b*c=3ab+c，求（2*3*4）×2。（2*3*4）×2=4*6*8，3×4×6+8=80。那么c*b*a呢？(3cb+a)×2=6cb+2a=6×4×3+2×2=20。∵80≠20，∴a*b*c和c*b*a之間不存在運(yùn)算律。那么這個(gè)算是不符合同一法則。

????????????????????????????????第二十八章：數(shù)字裂項(xiàng)

整數(shù)裂項(xiàng)：

????????對(duì)于較長(zhǎng)的算式，單靠一般的運(yùn)算順序和計(jì)算方法是很難求出結(jié)果的。如果算式中的每一項(xiàng)排了都是有規(guī)律的，那么我們就要利用這個(gè)規(guī)律進(jìn)行巧算和簡(jiǎn)算。而裂項(xiàng)法就是行之有效的簡(jiǎn)便方法。通常的做法是：把算式的每一項(xiàng)裂變成兩項(xiàng)的差，而且是每個(gè)裂變的后項(xiàng)（或前項(xiàng)）恰好與上一個(gè)裂變的前項(xiàng)（或后項(xiàng)）相互抵消，從而達(dá)到“以短制長(zhǎng)”的目的。

????????例題：計(jì)算1×2+2×3+3×4＋……+49×50。

????? ?解答：?設(shè)S=1×2+2×3+3×4＋……+49×50。1×2×3=1×2×3。2×3×3=2×3×（4-1）=2×3×4-1×2×3。3×4×3=3×4×（5-2）=3×4×5-2×3×4……49×50×51-48×49×50，3S=1×2×3+2×3×3+3×4×3+……+49×50×51。S=49×50×51÷3=41650。

分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)：

????????遇到裂項(xiàng)的計(jì)算題時(shí)，要仔細(xì)觀察每項(xiàng)的分子和分母，找出每項(xiàng)分子分母之間具有的相同的關(guān)系，找出共有部分，裂項(xiàng)的題目無需復(fù)雜的計(jì)算，一般都是中間部分消去的過程。這樣的話，找到相鄰兩項(xiàng)的相似部分，讓它們消去才是最根本的。

????????計(jì)算1/（10×11）+1/（11×12）＋……+1/（59×60）。

????????解答：1/10-1/11+1/11-1/12+1/12-1/13+1/13+……+1/58-1/59+1/59-1/60=1/10-1/60=1/12。

????????????????????????????第二十九章：代數(shù)式選講

代數(shù)式的定義及其分類：

????????含有字母的式子叫做代數(shù)式。代數(shù)式分為整式、分式、根式。單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式，如果是除法運(yùn)算，分母內(nèi)沒有字母。分母內(nèi)有字母的代數(shù)式叫做分式。帶有根號(hào)的代數(shù)式或數(shù)字叫根式，帶有多個(gè)根號(hào)的代數(shù)式叫復(fù)合根式。

代數(shù)式的概念、意義、基本性質(zhì)：

????????在整式中，有一項(xiàng)的代數(shù)式叫單項(xiàng)式，有多項(xiàng)的代數(shù)式叫多項(xiàng)式（如果是乘法或除法運(yùn)算，兩個(gè)代數(shù)式相乘不能算做兩項(xiàng)，但是相加和相減在任何情況下都必須拆開算作兩項(xiàng)）。其中代數(shù)式的倍數(shù)叫做系數(shù)；代數(shù)式的項(xiàng)的數(shù)量叫做項(xiàng)數(shù)；如果是單項(xiàng)式，字母的冪叫做指數(shù)，如果是多項(xiàng)式，冪的總和最大的那項(xiàng)的冪是這個(gè)代數(shù)式的指數(shù)。對(duì)于任意項(xiàng)數(shù)而言，只要同時(shí)滿足所有字母及其指數(shù)相同，那么這幾項(xiàng)代數(shù)式就屬于同類項(xiàng)。如果是除法運(yùn)算，分母內(nèi)既沒有字母，數(shù)字又不為0時(shí)，此時(shí)代數(shù)式有意義。另外，在除法運(yùn)算中，分子和分母乘上或除以一個(gè)不為0的數(shù)，大小不變。

????????分式可以是簡(jiǎn)單的分式，還可以是繁分式。如果是繁分式，即便是簡(jiǎn)單的分式在繁分母的下面，有且僅有分子部分有字母，它也是分式，∵它是一個(gè)整體。分式的表達(dá)形式是A/B，其中A為分子，B為分母。分式有意義的條件是分母不為0，基本性質(zhì)是分子和分母同時(shí)乘上或除以相同的不為0的數(shù)字或代數(shù)式，分式的大小不變。

????????在根式中，根指數(shù)是幾，它就是幾次根式。如果不是除法運(yùn)算，根號(hào)內(nèi)的數(shù)如果不能繼續(xù)化簡(jiǎn)，那么這個(gè)根式就是最簡(jiǎn)根式；如果是除法運(yùn)算，不但要滿足分子是最簡(jiǎn)根式，還要保證分母內(nèi)沒有根式，這個(gè)根式才是最簡(jiǎn)根式。對(duì)于任意根式而言，只要保證根式次數(shù)相同、被開方數(shù)（或代數(shù)式）相同，那么這幾個(gè)根式就屬于同類根式。對(duì)于不是除法運(yùn)算的偶次根式而言，有意義的條件是a≥0，對(duì)于是除法運(yùn)算的偶次根式而言，有意義的條件是a≥0，b＞0。對(duì)于不是除法運(yùn)算的奇次根式而言，a在任何情況下都有意義，對(duì)于是除法運(yùn)算的奇次根式而言，有意義的條件是b≠0。基本性質(zhì)是要先滿足是除法運(yùn)算形式這個(gè)前提，對(duì)于偶次根式而言，分子和分母同時(shí)乘以或除以一個(gè)正數(shù)，根式的大小不變，對(duì)于奇次根式而言，分子和分母乘以或除以一個(gè)不為0的數(shù)，根式的大小不變。

整式的加減：

????????整式的加減法的步驟：第1步：找同類項(xiàng)，意為從原題中找出所有對(duì)（組）同類項(xiàng)。第2步：去括號(hào)，算法同理于數(shù)的運(yùn)算（如需要）。第3步合并同類項(xiàng)，意為把原式中的所有對(duì)（組）同類項(xiàng)合成在一起。第4步：化簡(jiǎn)，意為把所有同類項(xiàng)都化到最簡(jiǎn)。

????????整式的加減法的運(yùn)算法則是每個(gè)字母及其指數(shù)不變，只將系數(shù)進(jìn)行加減。

????????化簡(jiǎn)求值是給出字母的數(shù)值，根據(jù)其數(shù)值算出最簡(jiǎn)代數(shù)式的結(jié)果。化簡(jiǎn)求值有兩種辦法：第1種：先將原始化到最簡(jiǎn)，再說題目中的“原式等于幾時(shí)”，接下來把所給的每個(gè)字母相應(yīng)的數(shù)字代入到最簡(jiǎn)代數(shù)式，最后計(jì)算數(shù)值。第2種：先對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)完后繼續(xù)返回原式，把題目中給出的每個(gè)字母相應(yīng)的數(shù)字代入到原題目當(dāng)中算出最終的數(shù)字。

整式的乘除運(yùn)算法則：

????? ? 同底數(shù)冪的運(yùn)算法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：a**m×a**n=a**m+n。冪的乘方法則。即：（a**m）**n=a**mn。積的乘方法則：積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。即：（ab）**n=a**nb**n。單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，只要將系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對(duì)于一個(gè)只在單項(xiàng)式中出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為積的一個(gè)因式。如：3a**2b×2ab**3=（3×2）×（a**2×a）×（b×b**3）=6a**3b**4。單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用單項(xiàng)式分別乘以單項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。積算完使如果遇到能化簡(jiǎn)的要化簡(jiǎn)。如：a（a**2m+n）=a**3m+an。多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，積算完使如果遇到能化簡(jiǎn)的要化簡(jiǎn)。如：（2x+y）（x-y）=2x**2-2xy+xy-y**2=2**2-xy-y**2。同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。即：a**m÷a**n=a**（m-n）。

乘法公式：

????? （1）兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差公式，叫做平方差公式：?（a+b）（a-b）=a**2-b**2。（2）?兩數(shù)和的平方公式，叫做完全平方和公式：（a+b）**2=a**2+2ab+b**2。（3）兩數(shù)差的平方公式，叫做完全平方差公式：（a-b）**2=a**2-2ab+b**2。

因式分解的概念：

????????1、因式分解是指把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，也叫分解因式。

????????2、因式分解最終結(jié)果特別注意以下幾點(diǎn)：第一，必須分解成積的形式；第二，分解成的各因式必須是整式；第三，必須分解到不能再分解為止。

因式分解的方法：

????????1、提公因式法：一般的，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法。形如am+bm+cm=m（a+b+c）。具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的。

????????2、公式法：形如（1）平方差公式a**2-b**2=（a+b）（a-b）、（2）完全平方公式a**2±2ab+b**2=（a±b）**2、（3）完全立方公式：a**3±3a**2b+3ab**2±b**3。

????????3、分組分解法：把一個(gè)多項(xiàng)式分組后，在進(jìn)行因式分解的方法，分組分解法必須有明確目的，即分組后，可以直接提取公因式或運(yùn)用公式。

????????4、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法：把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原始適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組法進(jìn)行分解；要注意，必須與原多項(xiàng)式相等的原則進(jìn)行變形。

????????5、十字相乘法：x**2+（pq）x+pq型的式子的因式分解：這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。因此可以直接將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x**2+（pq）x+pq=（x+p）（x+q）。kx**2+mx+n型的式子的因式分解：如果能夠分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx**2+mn+n=（ax+b）（cx+d）。

整數(shù)指數(shù)冪：

????????這里以負(fù)數(shù)指數(shù)冪為例，形式為a**-m。運(yùn)算法則結(jié)果是取冪的相反數(shù)的倒數(shù)，例如2**-2=1/2**2=1/4=0.25。

????????科學(xué)記數(shù)法同樣適用于小數(shù)，即a×10**n（n∈N-），其中a必須是整數(shù)位為一位數(shù)的小數(shù)。將普通形式的數(shù)字轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)法時(shí)，數(shù)小數(shù)點(diǎn)后面有幾個(gè)無效數(shù)字，有幾個(gè)無效數(shù)字，n就待定為幾。然后再看假設(shè)小數(shù)點(diǎn)到了末尾，向左移動(dòng)了幾位，n就取它的相反數(shù)再減幾，最后得出的數(shù)字就是a。例如0.000000001834，小數(shù)點(diǎn)后有8個(gè)0，接下來假設(shè)小數(shù)點(diǎn)在4的后面，移動(dòng)到1和8之間相當(dāng)于一共移動(dòng)了3位，變成了1.834，∴a為1.834，n為-8-3=-11，∴0.000000001834轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)法時(shí)1.834×10**-11。反之，將科學(xué)計(jì)數(shù)法形式的數(shù)轉(zhuǎn)化為普通的數(shù)字，a轉(zhuǎn)化為整數(shù)，過程中a的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)了幾位，n就取它的相反數(shù)再減幾，所得的結(jié)果是小數(shù)點(diǎn)后面0的個(gè)數(shù)，小數(shù)點(diǎn)左面的0落下來。例如3.451×10**-10，小數(shù)點(diǎn)移到整數(shù)位即向右移動(dòng)3位變成3451，即a為3451放在最后面，10-3=7，說明小數(shù)點(diǎn)后面有7個(gè)0，整數(shù)位的0落下來，合在一起就是0.00000003451。

分式的約分與通分：

????? ? 約分如果是單項(xiàng)式，數(shù)字與數(shù)字約分、公因式抵消、指數(shù)降次。如果是多項(xiàng)式，應(yīng)先因式分解，再約分。

???????通分如果是單項(xiàng)式或是多項(xiàng)式但有相同的地方，先觀察字母和指數(shù)，如果有部分相同的地方，則元素較多的那個(gè)因式不變，把不相同的地方填補(bǔ)在元素較少的那個(gè)因式，得出的兩個(gè)因式就是公有的因式。如果因式完全不相同，則一個(gè)因式要把另一個(gè)因式在該地方補(bǔ)上，另一個(gè)因式同理，得到公有的因式。

分式的運(yùn)算：

????????兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。用字母表示為：（a/b）×（c/d）=（a×d）×（b×d）=ac×bd。兩個(gè)分式相除，把分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘：（a/b）÷（c/d）=（a/b）×（d/c）=ad×bc。也可以表述為：除以一個(gè)分式，等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù)。乘方：分子乘方做分子，分母乘方做分母，然后約分（如需要），最后化成最簡(jiǎn)：（a/b）**n=a**n/b**n。分式的加減法法則同分?jǐn)?shù)的加減法法則，用字母表示為（a/b）±（c/d）=（ad/bd）±（bc/bd）=（ad±bc）/bd。

????????最重要也是最容易出錯(cuò)的一點(diǎn)是：運(yùn)算中遇到多項(xiàng)式（如需要），能因式分解的要通分，這樣便于約分。

分式裂項(xiàng)：

????? ? 前面講過了分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)，下面我們來繼續(xù)探究分式裂項(xiàng)。我們先給分式裂項(xiàng)下個(gè)定義：把一個(gè)帶有相乘的一個(gè)代數(shù)式，在保證值不變的情況下，拆分成兩個(gè)分式。下面以裂差為例。

????????分式裂差的公式為1/[A（A+1）]=1/A-1/（A+1）。這個(gè)公式是怎么來的？如果用直接證明的話是有一定難度的，那么我們不妨和分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)類比一下，說不定證明起來能簡(jiǎn)單一些，也容易理解。分?jǐn)?shù)列差的公式是1/[a（a+1）]=1/a-1/（a+1），其中a代表數(shù)字，那么A就代表代數(shù)式，以1/（3×4）為例，結(jié)果顯然是1/12。但如果用我們平時(shí)的算法來檢驗(yàn)這個(gè)式子，1/3-1/4=4/12-3/12=1/12，∵1/12=1/12，∴檢驗(yàn)成立，進(jìn)而1/（3×4）=1/3-1/4得證。又3+1=4。類比于分式裂差，假設(shè)A為a，那么A+1就是比A多1，符合整式的概念。進(jìn)而1/[A（A+1）]=1/A-1/（A+1）得證。

????????例題：化簡(jiǎn)求值，其中x=1。1/（x**2+13x+42）+1/（x**2+15x+56）+1/（x**2+17x+72）+1/（x**2+19x+90）。

????????解析：大家發(fā)現(xiàn)這幾個(gè)分式的分子全是1，一定是想到分式裂項(xiàng)了。但到底應(yīng)該裂成什么結(jié)果呢？我們可以從這里下手。每個(gè)分式的分母都是二次三項(xiàng)式，那么我們就應(yīng)該首先把他們因式分解。x**2+13x+42因式分解得到（x+6）（x+7），x**2+15x+72因式分解得到（x+7）（x+8），x**2+17x+70因式分解得到（x+8）（x+9），x**2+19x+90因式分解得到（x+9）（x+10），我們發(fā)現(xiàn)這幾對(duì)因式中，中間每?jī)蓚€(gè)因式都是相同的，∴取它們的倒數(shù)時(shí)可以將這些因式全部抵消，原式就變成了1/（x+6）+1/（x+10）=[2（x+8）]/[（x+6）（x+10）]。化簡(jiǎn)求值就不用說了，原式=[2（1+8）]/[（1+6）×（1+10）]=2/693。

分式方程：

????????分式方程的定義是：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。分式方程與比例方程的聯(lián)系和區(qū)別：聯(lián)系是分式方程和比例方程的解都是一個(gè)數(shù)。區(qū)別在于，比例方程的形式必須是比例，分式方程的形式是不是比例是都可以；比例方程不可能解出0，但分式方程可能解出0。分式方程和比例方程的解法的原理不同。

????????解分式方程的步驟：第1步，去分母，化為整式方程，等號(hào)兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母；第2步，解除整式方程的解；第3步，把解帶入原方程檢驗(yàn)（∵這步你解的是整式方程的解），第4步計(jì)算分母的值，判斷是否為0，如果為0，這個(gè)方程就無解（∵分式分母為0時(shí)無意義），反之不為0，這個(gè)解就是原方程的解。

????????分式方程應(yīng)用題是中考的一個(gè)重點(diǎn)，而解分式方程應(yīng)用題確實(shí)大部分同學(xué)的一塊新病，很多同學(xué)讀完題沒有頭緒，根本不知道題中說的是什么，更別說列方程了，下面針對(duì)分式方程應(yīng)用題介紹一種方法：在分析數(shù)量關(guān)系的時(shí)候，我們可以采用列表法，問題中通常涉及到兩者之間的各種數(shù)量的比較。列表時(shí)橫向表示各數(shù)量，縱向表示兩者之間的比較，要能容納題中所有的數(shù)量關(guān)系。

????????例題：某工廠計(jì)劃在規(guī)定時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)24000個(gè)零件，若每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)30個(gè)零件，則在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)可以多生產(chǎn)300個(gè)零件，求原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)和規(guī)定的天數(shù)。

????????解答：解：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件x個(gè)，則實(shí)際每天生產(chǎn)（x+30）個(gè)。24000/x=（24000+300）/（x+30），解得x=2400，經(jīng)檢驗(yàn)，x≠0，x+30≠0，∴x=2400是原方程的解。2400+30=2430（個(gè)）。答：原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件2400個(gè)，實(shí)際每天生產(chǎn)2430個(gè)。

二次根式的概念：

????????如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根。a可以是具體的數(shù)，也可以是代數(shù)式。

????????即：若x**2=a，則±根號(hào)a叫a的平方根，記做x=±根號(hào)a。其中a叫被開方數(shù)。其中正的平方根被稱為算術(shù)平方根。

????????被開方數(shù)是正或0的，其平方根為實(shí)數(shù)；被開方數(shù)為負(fù)的，其平方根為虛數(shù)。

二次根式的化簡(jiǎn)：

????????從被開方數(shù)中找一個(gè)非常小的完全平方數(shù)與這個(gè)數(shù)按乘法拆分，如果另一個(gè)數(shù)還不是最簡(jiǎn)二次根式，就要按上述方法繼續(xù)拆分，直到不能繼續(xù)拆分為止。最后就是把這些有理數(shù)都移到根號(hào)外，移到根號(hào)外時(shí)計(jì)算它們的算術(shù)平方根。如果根號(hào)外是乘法運(yùn)算，還要把這些有理數(shù)相乘。

????????如果是除法形式，分子和分母同時(shí)乘以與原分母所配的平方差，并加以整式化簡(jiǎn)。

????????二次根式化簡(jiǎn)口訣：二次根式要化簡(jiǎn)，因式分解能幫忙。

????????例1：3根號(hào)10和23根號(hào)6誰(shuí)大？

????????解答：把3移到根號(hào)內(nèi)，變成32=9，9×10=90，于是這個(gè)代數(shù)式變成根號(hào)90。把23移到根號(hào)內(nèi)，232=529，529×6=3174，于是這個(gè)代數(shù)式變成根號(hào)3174?！?174＞90，∴23根號(hào)6大。

????????例2：化簡(jiǎn)[根號(hào)3/根號(hào)（2+6）]。

????????解答：根號(hào)（2+6）與根號(hào)（2-6）可以配成平方差，同時(shí)分母乘上根號(hào)（2-6），得[根號(hào)3×（2-6）/根號(hào)（2+6）（2-6）]=根號(hào)[3×（-4）/8×（-36）]=根號(hào)[-（6/129）]。

二次根式的運(yùn)算：

????????二次根式乘法的運(yùn)算法則：根號(hào)a×根號(hào)b=根號(hào)（a×b）（a≥0，b≥0）。如果遇到有理數(shù)，則有理數(shù)乘有理數(shù)，二次根式乘二次根式。二次根式除法的運(yùn)算法則：先根號(hào)（a/b）=根號(hào)a/根號(hào)b（分子中a≥0，b≥0，分母中a＞0，b＞0），再分子和分母各自進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后化簡(jiǎn)。二次根式加減法法則：不是最簡(jiǎn)二次根式的先化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)完后合并同類二次根式，最后分別化簡(jiǎn)全部同類二次根式?；?jiǎn)時(shí)自然數(shù)加減被開方數(shù)不變，但是非同類二次根式不能化簡(jiǎn)。

復(fù)數(shù)的概念：

????? ?我們把形如z=a+bi（a，b均為實(shí)數(shù)）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)。?實(shí)數(shù)和虛數(shù)統(tǒng)稱復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)代表存在的數(shù)字，虛數(shù)代表不存在的數(shù)字，標(biāo)準(zhǔn)的說是負(fù)數(shù)的平方根。虛數(shù)分為虛數(shù)和純虛數(shù)，其中a是實(shí)部，b是虛部，i是虛數(shù)單位。我們規(guī)定i2=-1。互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù)。

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算：

????????復(fù)數(shù)的加法按照以下規(guī)定的法則進(jìn)行：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則它們的和是（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i。兩個(gè)復(fù)數(shù)的和依然是復(fù)數(shù)，它的實(shí)部是原來兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部的和，它的虛部是原來兩個(gè)虛部的和。復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對(duì)任意復(fù)數(shù)有z1，z2，z3，有：z1+z2=z2+z1；（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）。

????? 復(fù)數(shù)的減法按照以下規(guī)定的法則進(jìn)行：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則它們的差是（a+bi）-（c+di）。兩個(gè)復(fù)數(shù)的差依然是復(fù)數(shù)，它的實(shí)部是原來兩個(gè)實(shí)部的差，它的虛部是原來兩個(gè)虛部的差?。

????????規(guī)定復(fù)數(shù)的乘法按照以下的法則進(jìn)行：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i。其實(shí)就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，展開得：ac+adi+bci+bdi2，∵i2=-1，∴結(jié)果是（ac-bd）+（bc+ad）i。兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)。

????????復(fù)數(shù)除法定義：滿足（c+di）（x+yi）的復(fù)數(shù)x+yi（x，y∈R）叫復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商。運(yùn)算方法：可以把除法換成乘法做，在分子和分母同時(shí)乘上分母的共軛，所謂共軛你可以理解為加減號(hào)的變換，胡偉共軛的兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘是一個(gè)實(shí)常數(shù)。除法運(yùn)算法則：設(shè)復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R），除以c+di（c，d∈R），其商為x+yi（x，y∈R），即（a+bi）÷（c+di）=x+yi，∵（x+yi）（c+di）=（cx-dy）+（dx+cy）i，∴（cx-dy）+（dx+cy）i=a+bi，由復(fù)數(shù)相等定義可知cx-dy=a，dx+cy=b，解這個(gè)方程組，得x=（ax+bd）/（c2+d2），y=（bc-ad）/（c2+d2），于是有（a+bi）/（c+di）=（ac+bd）/（c+di）=（ax+bd）/（c2+d2）+（bc-ad）/（c2+d2）。

????????????????????????????????????第三十章：這些坐標(biāo)系

坐標(biāo)系簡(jiǎn)介：

????????坐標(biāo)系的定義為：在幾何中，坐標(biāo)系是使用同一個(gè)數(shù)字或多個(gè)坐標(biāo)來確定唯一點(diǎn)或流行上其他幾何元素的位置的系統(tǒng)。用于描述地理位置、計(jì)算機(jī)繪圖、周長(zhǎng)面積計(jì)算、、圖形解答（證明）、函數(shù)、解析幾何。坐標(biāo)系有數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系。

數(shù)軸：

????????數(shù)軸是表示數(shù)字大小的一條直線（物理上稱為直線坐標(biāo)系）。數(shù)軸的三要素是原點(diǎn)、坐標(biāo)、正方向。原點(diǎn)即中間的0，坐標(biāo)即代表數(shù)的標(biāo)記，這兩個(gè)要素都在直線的下邊。正方向是一個(gè)箭頭，在右邊。缺一不可。在數(shù)軸上表示數(shù)時(shí)，在直線對(duì)應(yīng)的位置畫上實(shí)點(diǎn)，再寫數(shù)字。確定有理數(shù)的坐標(biāo)，只需根據(jù)原題中給出的數(shù)，在圖中找出相應(yīng)的位置，并標(biāo)在線的上面即可?！哓?fù)數(shù)比0小，正數(shù)比0大，∴負(fù)數(shù)在0的左邊，正數(shù)在0的右邊。確定無理數(shù)的坐標(biāo)，如果類比有理數(shù)，先計(jì)算值，再確定坐標(biāo)是不對(duì)的，∵無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。正確的方法是：先在數(shù)軸上做一個(gè)正方形，再做出對(duì)角線，將其中的對(duì)角線繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，最后落下的點(diǎn)是無理數(shù)的坐標(biāo)。

平面直角坐標(biāo)系 ：

????????平面直角坐標(biāo)系是由兩個(gè)互相垂直相交的數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系，屬于二維坐標(biāo)系。橫向的坐標(biāo)軸叫橫坐標(biāo)，用字母表示為x軸；豎向的坐標(biāo)軸叫縱坐標(biāo)，用字母表示為y軸；x軸與y軸相交的點(diǎn)是原點(diǎn)。畫平面直角坐標(biāo)系時(shí)，除了數(shù)軸外的三要素，還要在每個(gè)坐標(biāo)軸的正方向旁邊標(biāo)x和y。讀坐標(biāo)時(shí)先讀橫坐標(biāo)，再度縱坐標(biāo)，寫時(shí)用（x，y）表示。從中得出的結(jié)論是：有序數(shù)對(duì)上的點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。當(dāng)一個(gè)點(diǎn)在原點(diǎn)上，兩坐標(biāo)全為0，當(dāng)點(diǎn)在x軸上時(shí)僅y軸坐標(biāo)為0，當(dāng)點(diǎn)在y軸上時(shí)僅x軸坐標(biāo)為0，當(dāng)既不在原點(diǎn)也不在坐標(biāo)軸上時(shí)兩坐標(biāo)全不為0。平面直角坐標(biāo)系有四個(gè)象限：其中右上方是第一象限，坐標(biāo)大小的性質(zhì)是（+，+）；其中左上方是第二象限，坐標(biāo)大小的性質(zhì)是（-，+）；其中左下方是第三象限，坐標(biāo)大小的性質(zhì)是（-，-）；其中右下方是第四象限，坐標(biāo)大小的性質(zhì)是（+，-）。

空間直角坐標(biāo)系：

????????空間直角坐標(biāo)系分為左手空間直角坐標(biāo)系和右手空間直角坐標(biāo)系，屬于三維坐標(biāo)系。以左手空間直角坐標(biāo)系為例，有三個(gè)數(shù)軸把整個(gè)空間分成三個(gè)平面。其中斜的坐標(biāo)軸稱為橫坐標(biāo)，即x軸；其中正方向向右的坐標(biāo)軸稱為縱坐標(biāo)，即y軸；正方向向上的坐標(biāo)軸稱為豎坐標(biāo)，即z軸；三條數(shù)軸公有的交點(diǎn)成為原點(diǎn)，即O點(diǎn)。建立空間直角坐標(biāo)系前，要先畫出正方體或長(zhǎng)方體，再順著虛棱建立坐標(biāo)系，∵我們要體現(xiàn)出它的立體感，以及“直角”這個(gè)詞。空間直角坐標(biāo)系面面垂直。其中被x軸和y軸劃分的平面稱為xOy平面，被x軸和z軸劃分的平面成為xOz平面，被y軸和z軸劃分的平面成為yOz平面。其中沒有負(fù)數(shù)。讀時(shí)先讀橫坐標(biāo)，再讀縱坐標(biāo)，最后讀豎坐標(biāo)，寫時(shí)用（x，y，z）表示。為了確定坐標(biāo)方便直觀，我們可以類比平面直角坐標(biāo)系確定坐標(biāo)的方法：∵平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)在原點(diǎn)上時(shí)x，y坐標(biāo)都為0，那么空間直角坐標(biāo)系上x，y，z都為0，另外在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，就僅哪個(gè)坐標(biāo)不為0，在哪個(gè)平面上，沒有哪個(gè)坐標(biāo)元素在內(nèi)，哪個(gè)坐標(biāo)就為0。到這時(shí)也許有人會(huì)想：在yOz平面上有兩個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)一定不同，這時(shí)該怎么辦呢？我們確定坐標(biāo)較大的時(shí)候仍采取上面的辦法，確定較小的坐標(biāo)的時(shí)候?qū)⒉粸?的那個(gè)數(shù)減半?？臻g直角坐標(biāo)系被納入到高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，在解決立體幾何時(shí)做輔助線時(shí)使用。對(duì)于不同的圖形，由于位置關(guān)系的不同，坐標(biāo)系的傾斜角也會(huì)有所不同，但無論如何，都遵循“直角”的原則。

極坐標(biāo)系：

????????極坐標(biāo)系是指在平面內(nèi)由極點(diǎn)、極軸和極徑組成的坐標(biāo)系。在平面上任取一點(diǎn)O，稱為極點(diǎn)。從O點(diǎn)出發(fā)引一條射線Ox，稱為極軸。再取定一個(gè)單位長(zhǎng)度，通常規(guī)定角度以逆時(shí)針為正。這樣，平面上任意一點(diǎn)P的位置就可以用線段OP的長(zhǎng)度r以及Ox到Op的角度θ來確定，有序數(shù)對(duì)（r，θ）就稱為P點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為P（r，θ）。r為P點(diǎn)的極徑，x為P點(diǎn)的直角。極坐標(biāo)換為直角坐標(biāo)：r=根號(hào)（y2+x2）。直角坐標(biāo)換為極坐標(biāo)：x=rcosθ，y=rsinθ。極坐標(biāo)系和前面幾種坐標(biāo)系都與眾不同，前面幾種坐標(biāo)系都是靜態(tài)的，只有極坐標(biāo)系是動(dòng)態(tài)的。每次高考選考題中，最后一道題都是極坐標(biāo)系的題目。極坐標(biāo)系和參數(shù)方程有著一定的聯(lián)系。是最復(fù)雜的一種坐標(biāo)系。

????????????????????????????第三十一章：游戲中的取勝策

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

????????本課我們講雙方在一系列游戲中，雙方對(duì)決的取勝策略。不過講的不是我們平時(shí)玩的游戲的取勝策略，而是帶有知識(shí)性的游戲取勝策略。為什么我們只學(xué)習(xí)雙方的取勝策略？∵如果是一方的話，那就不是對(duì)決了，如果是雙方以上的話，我們解決問題就不方便了，或說是研究不過來了。

解開報(bào)數(shù)習(xí)題：

????????問：甲、乙兩人輪流報(bào)數(shù)，只能報(bào)1、2、3、4、5、6中的一個(gè)，將兩人報(bào)出的數(shù)依次加起來，誰(shuí)報(bào)數(shù)后加起來的數(shù)之和是2000，誰(shuí)就獲勝，如果甲先報(bào)數(shù)，他取勝的策略是什么？

????????解析：根據(jù)題意，報(bào)數(shù)的順序是甲乙甲乙甲乙……乙甲，說明最后報(bào)完的是甲。第一次的甲我單獨(dú)取出來，以后每次都是乙甲循環(huán)。如果這樣每次乙甲循環(huán)，那么有什么解題方法？再回到原題，能報(bào)的是1、2、3、4、5、6?？纯从袥]有可以固定住的地方，∵甲先報(bào)完后每次都是乙甲，∴固定的和是1+6=2+5=3+4。這樣如果甲報(bào)1，乙報(bào)6；甲報(bào)2，乙報(bào)5；乙報(bào)3甲報(bào)4；以此類推；到最后乙報(bào)6，甲報(bào)1。也就是說甲乙報(bào)完兩數(shù)之后和為7。而題目要求我們最后和為2000。我們看2000內(nèi)有多少個(gè)7呢？2000÷7=285（個(gè)）……5。這是什么意思？每次乙甲之和的7可以一直控制285次，最后還剩5個(gè)數(shù)。那么第一次甲報(bào)5，甲就可以獲勝。這說明，甲先報(bào)完5后，每次的乙甲報(bào)的數(shù)的和都是7，直到和為2000時(shí)就可以了。

誰(shuí)先到終點(diǎn)：

????????這是游戲取勝策略中最簡(jiǎn)單的題型。就是在給定雙方的路線中，誰(shuí)先從起點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)誰(shuí)就取勝。為了公平起見，雙方所走的路線和路程必須是相等的。這是我們要考慮到最優(yōu)先因素，也就是我怎樣才能以最快的速度到達(dá)終點(diǎn)，解決問題時(shí)需要觀察局面，不管是哪種形狀的（通常題目不考察直線和立體）。觀察局面的個(gè)數(shù)，即假設(shè)每走一個(gè)從起點(diǎn)到終點(diǎn)的數(shù)量。利用最有利因素來計(jì)算至少要連走多少次的數(shù)量，其中“至少”采用最有利原則。雙方采用“對(duì)稱法”來解決。計(jì)算數(shù)量時(shí)，如果次數(shù)除不開，那么最后走的次數(shù)就是所有步中的最后一步。如果余的步數(shù)在問題描述的區(qū)間內(nèi)，那么沒有什么問題；如果余的步數(shù)在問題描述的區(qū)間外，應(yīng)繼續(xù)考慮最有利因素。

????????例題：小明和小亮比走路。其中△代表小明，▽代表小亮。兩人只能橫豎移，最多一次移動(dòng)4步，不能斜著移，也不能跳動(dòng)。問：小亮是先手，小明有19條線路，小亮有20條線路，小明取勝的策略是什么？

????????解答：19÷4=4（次）……3（步），4+3=7（次），20÷4=5（次），說明小明始終4條4條路線走，一定能取勝。

雙方取筷子：

????????雙方取筷子的問題，話說白了就是誰(shuí)把所有筷子取完了誰(shuí)就獲勝。對(duì)于這種問題，我們?nèi)匀徊捎谩皩?duì)稱性原則”，即你每次取幾個(gè)，我每次取幾個(gè)，以此類推，直到一方取完為止。但是必然雙方都想獲勝，∴此外還要考慮先后手，如果是在問先手的情況下取勝，我們只需利用“對(duì)稱性原則”解決問題就可以了。當(dāng)雙方數(shù)量不等時(shí)，如果問的是你如何取勝，且比對(duì)方數(shù)量少，則直接采用“搶先原則”，一直保持?jǐn)?shù)量比對(duì)方少，最后你就取勝。當(dāng)雙方數(shù)量相等，但你是后手，就要通過作數(shù)量差，再與題中要求取的數(shù)量的區(qū)間做對(duì)比，如果差在區(qū)間內(nèi)，也能采用搶先原則解決問題，反之差如果在區(qū)間外，你就必輸。

????????例題：現(xiàn)有一些水晶球分給甲乙兩人，要求每方至多取3個(gè)。問：（1）已知甲和乙的水晶球都有12個(gè)，如果甲是先手，甲有什么取勝策略？如果甲是后手呢？（2）已知甲有9個(gè)水晶球，乙有15個(gè)水晶球，如果甲是先手，甲有什么取勝策略？如果甲是后手呢？

????????解答：（1）不妨甲先拿3個(gè)，乙拿3個(gè)，此時(shí)甲乙都剩9個(gè)。接下來甲再拿3個(gè)，乙還會(huì)拿3個(gè)，此時(shí)甲乙都剩6個(gè)，以此類推：3個(gè)，0個(gè)，由于第一次是甲拿的，∴甲每一定會(huì)取勝。如果甲是后手，到最后剩下的0個(gè)是乙方的，∴甲方必輸，沒有取勝策略。（2）不妨加以輪流拿3個(gè)，這樣堅(jiān)持下去，甲必然會(huì)贏，∵9＜15。如果甲是后手，根據(jù)上述的不等關(guān)系和先后相反的邏輯，12-9=3，當(dāng)乙拿完后，甲還剩3個(gè)，∴此時(shí)甲必輸，沒有必勝策略。

????????????????????????????第三十二章：排隊(duì)問題

專題導(dǎo)引：

????????在解決排隊(duì)問題中，中間這一人既不能遺漏，又不能重復(fù)，如：小玲從隊(duì)伍的右邊數(shù)起是第4個(gè)，從左邊數(shù)起是第8個(gè)，這里的小玲重復(fù)數(shù)了兩次，∴在計(jì)算總?cè)藬?shù)時(shí)一定要把重復(fù)的人數(shù)去掉。

????????同學(xué)們排隊(duì)，以某以個(gè)人為標(biāo)準(zhǔn)來數(shù)人數(shù)，知道他左邊、郵編人數(shù)或從左、從右數(shù)他排第幾，這類問題就是排隊(duì)問題。排隊(duì)問題的關(guān)鍵就是要找出重復(fù)的部分再解答。

點(diǎn)拔：

????????要分清楚“第幾個(gè)人”和“有幾個(gè)人”的區(qū)別。第幾個(gè)人（包括自己），有幾個(gè)人（不包括自己）。要分清楚“A和B之間”和“從A到B”的區(qū)別。A和B之間（不包括A和B），從A到B（包括A和B）。

????????例1：小朋友們排隊(duì)做早操，第一排有5個(gè)小朋友，然后每排每次增加2個(gè)小朋友，一共排了8排，算一算有多少個(gè)小朋友。

????????解答：5+7+9+11+13+15+17+19=96（個(gè)）。答：一共有96個(gè)小朋友。

????????例2：12個(gè)小朋友排成一排，從左邊數(shù)，小軍在第4個(gè)，小樂排在小軍后面第5個(gè)，那么從右往左數(shù)小樂排在第幾個(gè)？

????????解答：4+5=9（個(gè)），12-9=3（個(gè)），3+1=4（個(gè)）。答：從右往左數(shù)小樂排在第4個(gè)。

????????例3：二七班同學(xué)排成6列做操。每列人數(shù)一樣多，小明站在第一列，從前面、后面數(shù)他都是第5個(gè)。二七班共有多少人在做操？

????????解答：5+5-1=9（人），9×6=54（人）。答：二期班共有54人在做操。

????????例4：同學(xué)們排隊(duì)做操，每行、每列人數(shù)一樣多。小紅的位置從左數(shù)起是第3個(gè)，從右數(shù)期是第3個(gè)，從前數(shù)起是第3個(gè)，從后數(shù)是第3個(gè)。做操的同學(xué)共有多少人？

????????解答：3+3-1=5（人），5×5=25（人）。答：做操的同學(xué)共有25人。

????????????????????????????????? ?第三十三章：這些圖形

三角形

????????由不在同一直線的三條線首尾順次連接所組成的封閉圖形叫三角形。平面上三條直線所圍成的圖形叫平面三角形；球面上三條弧線所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。

三角形定義：

????????由三條線段首尾順次相連，得到的封閉幾何圖形叫三角形，三角形是幾何圖案中的基本圖形。

三角形分類：

????????按角度分：1、銳角三角形：三個(gè)角都小于90°。2、直角三角形：簡(jiǎn)稱Rt△，有一個(gè)角是90°。3、鈍角三角形：有一個(gè)角大于90°。其中銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱斜三角形。

????????按邊分：1、不等邊三角形。2、等腰三角形（含等腰直角三角形）

????????按角度和邊的關(guān)系分：1、等邊直角三角形（既是直角又兩直角邊相等的三角形）2、不等邊直角三角形，除了等邊三角形外，所有三角形都是不等邊直角三角形。

判定方法：

????????若一個(gè)三角形的三邊a、b、c（a＜b＜c）滿足a2+b2＞c2，則這個(gè)三角形是銳角三角形；a2+b2=c2，則這個(gè)三角形是直角三角形，a2+b2＜c2，則這個(gè)三角形是鈍角三角形。

解直角三角形：

????????解直角三角形需要用到勾股定理，又稱畢達(dá)哥拉斯定理或畢氏定理，數(shù)學(xué)公式中通常寫作a2+b2=c2。其中a、b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。

????????勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如3、4、5。常見的勾股數(shù)有3、4、5；6、8、10；5、12、13；10、24、26等等。其中，互素的勾股數(shù)組成為基本勾股數(shù)組，例如3、4、5；5、12、13；8、5、17；等等。

解三角形：

????????在三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB=c/SinC（R為三角形外接圓半徑）。（2）余弦定理a2=b2+c2-2bc×CosA；b2=a2+c2-2ac×CosB；c2=a2+b2-2ab×CosC。備注：勾股定理是余弦定理的一種特殊情況。（3）余弦定理變形公式：cosA=（b2+c2-a2）/2bc；cosB=（a2+c2-b2）/2ac；cosC=（a2+b2-c2）/2ab。

三角形性質(zhì)：

????????1、三角形兩邊之和大于第三邊，反之同理。2、三角形內(nèi)角和等于180°。3、等腰三角形的頂角平分線、底邊的中線、底邊的高重合，即三線合一。4、直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊的平方。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。5、三角形的外角（三角形的內(nèi)角的一邊與其另一邊的延長(zhǎng)線所組成的角）等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。6、三角形最少有2個(gè)銳角。7、三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，三條高線的所在直線交于一點(diǎn)，三條中線交于一點(diǎn)。8、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形。9、三角形的外角和是360°。10、等底同高的三角形面積相等。11、底相等的三角形的面積之比等于其高之比，高相等的三角形的面積之比等于其底之比。12、三角形三條中線的長(zhǎng)度的平方和等于它的三邊平方和的3/4。13、在△ABC中恒滿足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。14、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。15、全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。16、在三角形中至少有一個(gè)角不小于60°，也至少有一個(gè)角不大于60°（包括等邊三角形）。17、△ABC恒有[tan（A/2）+tan（B/2）][tan（A/2）+tan（C/2）]=[sec（A/2）]2。18、三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)。19、三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。20、三角形的外心是指三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)。21、三角形的三條高所在直線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。22、三角形的任意一條中線將這個(gè)三角形分為兩個(gè)面積相等的三角形。23、三角形具有穩(wěn)定性。

三角形的內(nèi)角和：

????????例題：已知有一△ABC，求證∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°。

????????證明：方法一：作BC的延長(zhǎng)線至點(diǎn)D，過C作AB的平行線至點(diǎn)E。∵AB∥CE（已知），∴∠ABC=∠ECD（兩直線平行，同位角相等），∠BAC=∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠BCD=180°，∴∠ACB+∠ACE+∠ECD+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性質(zhì)），∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代換）。方法二：點(diǎn)A向左做延長(zhǎng)線AE，向右做延長(zhǎng)線AD，使得DE∥BC?！逥E∥BC（已知），∴∠CBA=∠EAB，∠BCD=∠DAC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠EAB+∠BAC＋∠CAD=∠EAD=180°（等式的性質(zhì)），∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代換）。

全等相關(guān)定義：

????????全等定義為重合。全等形的定義：能重合的兩個(gè)圖形叫全等形。全等三角形定義為能全等的兩個(gè)三角形。

全等變化的方式：

????????1、軸對(duì)稱。2、平移。3、旋轉(zhuǎn)。4、折。5多種變換疊加。

全等三角形的判定：

????????1、兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的三條邊相等，兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)稱“邊邊邊”，字母表示為“SSS”。2、兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的兩邊及其夾角相等，簡(jiǎn)稱“邊角邊”，字母表示為“SAS”。3、兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的兩角及其夾邊相等，兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)稱“角邊角”，字母表示為“ASA”。4、兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)兩角及其一角的對(duì)邊相等，簡(jiǎn)稱“角角邊”，字母表示為“AAS”。5、兩個(gè)直角三角形對(duì)應(yīng)的一條直角邊和一條斜邊相等。簡(jiǎn)稱“直角邊、斜邊”，字母表示為“HL”。

????????既然全等三角形講究每條邊對(duì)應(yīng)、每個(gè)角對(duì)應(yīng)。那么在做全等三角形的解答題時(shí)，必須每一組邊或角所描述的位置相對(duì)應(yīng)，所有組中判定邊、角對(duì)應(yīng)的地方也必須對(duì)應(yīng)。這樣才是正確的解題過程。

????????例題：已知△ABC和△和△DEF相交于△GEC，求證△ABC全等于△DEF。

????????錯(cuò)誤的求證：∵在△ABC和△DEF中，AB=FD，AC=DE，∠ABC=∠DEF∴△ABC全等于△DEF（SAS）。錯(cuò)誤的原因：首先分析題，∵△ABC和△和△DEF相交于△GEC（SAS），說明有有兩邊相等，其中有一個(gè)夾角，那么判定方法就是SAS。根據(jù)SAS的代表性，即兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)的兩邊及其夾角相等，那么對(duì)應(yīng)角就應(yīng)該寫在中間，兩條對(duì)應(yīng)邊寫在兩邊。而其中有一條對(duì)應(yīng)邊判定時(shí)位置、選夾角不對(duì)應(yīng)，即AB的對(duì)應(yīng)邊DE寫成了FD。正確的求證：∵在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠BAC=∠EDF，AC=DF（SAS）。

????????注意，判定三角形沒有“AAA”或“角角角”的方法，即兩個(gè)三角形三個(gè)角相等，這兩個(gè)三角形全等。∵角的延長(zhǎng)線是無限延長(zhǎng)的，在無限延長(zhǎng)的時(shí)候必然改變長(zhǎng)度，形狀也有不確定性。然后也沒有“LH”或“斜邊、直角邊”，∵這是規(guī)定，沒有理由，但從集合的角度來講，“LH”或“斜邊、直角邊”是存在的。接著判定三角形還沒有“SSA”或“邊邊角”的方法，即兩邊與其中一邊的對(duì)角相等無法證明這兩個(gè)三角形全等，但從意義上來說，直角三角形的“HL”判定等同于“SSA”。

五心坐標(biāo)：

????????三角形的五心、四圓、三點(diǎn)、一線這些是三角形的全部特殊點(diǎn)，以及基于這些點(diǎn)的相關(guān)幾何圖形。“五心”指重心、垂心、內(nèi)心、外心、旁心；“四圓”為內(nèi)切圓、外接圓、旁切圓、歐拉圓；“三點(diǎn)”是勒莫恩點(diǎn)、奈格爾點(diǎn)、歐拉點(diǎn)；“一線”即歐拉線。

????????以下記三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C，相應(yīng)的對(duì)邊邊長(zhǎng)為a、b、c，系數(shù)K（a）=-a2+b2+c2，K（b）、K（c）類推。三線坐標(biāo)各分量直接乘以相應(yīng)邊長(zhǎng)即可轉(zhuǎn)換位面積坐標(biāo)，以某點(diǎn)的面積坐標(biāo)結(jié)合三頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算該點(diǎn)平面直角坐標(biāo)的方法：記某點(diǎn)面積坐標(biāo)為（米尤a，米尤b，米尤c），三分量之和為米尤，則有Px=（米尤a×Xa+米尤b×Xb+米尤c×Xc）/米尤，Py類推。

四圓：

????????內(nèi)切圓：以內(nèi)心為圓心，以內(nèi)心到邊的距離為半徑的圓，與三角形三邊都相切。

????????外接圓：以外心為圓心，以外心到頂點(diǎn)的距離為半徑的圓，三角形三個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上。

????????旁切圓：以旁心為圓心，以旁心到邊的距離為半徑的圓，與三角形一邊及另兩邊延長(zhǎng)線相切。

????????歐拉圓：又稱“九點(diǎn)圓”，即3個(gè)歐拉點(diǎn)、三遍中點(diǎn)和三高垂足九點(diǎn)共圓。九點(diǎn)圓圓心為垂心與外心連接中點(diǎn)，三點(diǎn)坐標(biāo)為：cos（B-C）、cos（C-A）、cos（A-B），半徑為外接圓半徑的一半。內(nèi)切圓與歐拉圓在某一歐拉點(diǎn)相切。

????????

????????

????????

????????

?? ? ? ?

????????