? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第一章：數(shù)的概念與運算

數(shù)的概念：

????????什么是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)？基礎(chǔ)數(shù)學(xué)是難度最簡單，最初認(rèn)識的數(shù)學(xué)。沒有比它更容易理解的了，但同時也是打好初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。數(shù)的概念就是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中最初認(rèn)識的知識點。

????????在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中，數(shù)的概念我們只涉及到非負(fù)數(shù)的內(nèi)容。數(shù)可以分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)。

????????整數(shù)單獨由數(shù)字本身構(gòu)成，沒有其他的元素，例如0、12，分別讀作零，十二。反之在寫的時候，只需把該漢字轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的數(shù)字即可。以幾分之幾的形式表達(dá)的數(shù)就是分?jǐn)?shù)，例如1/6，3/4。分別讀作六分之一、四分之三。也就是說“/”表示分?jǐn)?shù)線，分?jǐn)?shù)線上面的數(shù)表示分子，分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)表時分母；讀的時候和整數(shù)同理，只不過是先讀分母再讀分子，分?jǐn)?shù)線放在中間，反之在寫的時候也和整數(shù)同理，只不過和讀時要把“分之”放在分子和分母兩個數(shù)的中間。帶有小數(shù)點的數(shù)是小數(shù)，例如7.3、26.52。分別讀作七點三、二十六點五二。其中“.”是小數(shù)點，小數(shù)點左面是整數(shù)位，小數(shù)點右面是小數(shù)位。這就告訴了我們，在讀的時候和整數(shù)同理，只不過先讀整數(shù)位再讀小數(shù)位；在讀整數(shù)位時按整數(shù)的方法去讀讀到小數(shù)位時就必須一位一位讀了，就對于上面所列舉的26.52而言，讀成二十六點五十二就是錯的。反之在寫的時候也和整數(shù)同理，即便有多個小數(shù)位也是沒有問題的。在回答數(shù)的寫法或讀法時，開頭一定要把“讀作”或“寫作”在開頭標(biāo)上。

????????上面的幾個數(shù)，除了分?jǐn)?shù)以外，都涉及到了數(shù)位的問題。數(shù)位即每位數(shù)的位置；與數(shù)級不同的是，數(shù)位僅針對每位數(shù)，而數(shù)級卻是至多4位數(shù)的合成。數(shù)級只有在整數(shù)位4位以上時才會涉及到，例如192834567，最右面的4位數(shù)4567是個級，中間的4位數(shù)9283是萬級，1是億級，讀作一億九千二百八十三萬四千五百六十七，反之在寫的時候只是把億、萬兩字省略掉了。

? ? ? ? 位數(shù)有限的小數(shù)叫有限小數(shù)，位數(shù)無限的一數(shù)叫循環(huán)小數(shù)，其中循環(huán)的那一部分是循環(huán)節(jié)，在寫的時候，如果后面用省略號表示，要寫2循環(huán)節(jié)，如果在循環(huán)節(jié)的開頭和結(jié)尾各在上面標(biāo)一個點，只需寫1循環(huán)節(jié)，不過在讀時必須讀2個循環(huán)節(jié)。從小一數(shù)點后第一位開始循環(huán)的數(shù)是純循環(huán)小數(shù)，例如0.1313……不從小一數(shù)點后第一位開始循環(huán)的一數(shù)是混循環(huán)小數(shù)，例如0.21313……

????????在比較整數(shù)的時候，如果兩個數(shù)位數(shù)不相同，可直接推斷出位數(shù)多的那一位大，對于兩個以上的數(shù)而言以此類推。如果兩個位數(shù)相同，應(yīng)該從最高位到最低位一位一位依次比較大小。在比較小數(shù)的時候，和整數(shù)同理，只不過是小數(shù)點不用管了。在比較分?jǐn)?shù)時，當(dāng)分母相同分子不同時，分子越大則這個分?jǐn)?shù)越大；當(dāng)分子相同分母不同時，分母越大則這個分?jǐn)?shù)越??；當(dāng)分子和分母都不同時需要通分或轉(zhuǎn)化為小數(shù)比較（方法到數(shù)的運算時會進(jìn)一步講到）。

數(shù)的代表性、意義和基本性質(zhì)：

????????整數(shù)可以代表任意的量。小數(shù)的基本性質(zhì)是在數(shù)字的小數(shù)位末尾加上多少個0，大小都不變。小數(shù)點每向左移動1位，數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點向右移動1位，數(shù)就縮小10倍；以此類推。分?jǐn)?shù)代表把幾份量分成其中的幾份量。例如3/7表示把1份平均分成，7份，取其中的3份。小于1的數(shù)是真分?jǐn)?shù)，等于1和大于1的數(shù)是假分?jǐn)?shù)，這個可以用分?jǐn)?shù)與除法來證明。上面列舉的數(shù)就是真分?jǐn)?shù)，4/4和8/7就是其中的一例。等于1的分?jǐn)?shù)取的是平均份數(shù)中所有的份數(shù)，而大于1的分?jǐn)?shù)就無法用份量來表示了，因為它分出的份量超出了指定所分的份量。由整數(shù)和小數(shù)部分構(gòu)成的分?jǐn)?shù)是帶分?jǐn)?shù)，不過前提是分?jǐn)?shù)部分為真分?jǐn)?shù)，因為帶分?jǐn)?shù)的份量是由全部的份量與一個部分的份量構(gòu)成的。如果帶分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)部分是假分?jǐn)?shù)，那么這個分?jǐn)?shù)就沒有意義了。0可以作分?jǐn)?shù)的分子，但不能作分母，因為0是一個空數(shù)。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是分子和分母同時乘或除以同一個數(shù)，大小都不變。

分?jǐn)?shù)與除法：

分?jǐn)?shù)可以化成整數(shù)，也可以化成小數(shù)，但不可能出現(xiàn)余數(shù)。其中分子是被除數(shù)，分?jǐn)?shù)線是了除號，分母是除數(shù)，那么如果分子用a表示，分母用b表示，則a/b=a÷b。

基本算法：

? ? ? ? 列算式及其算法有以下幾種形式：1、分步算式：把整個算式分成幾步來算。2、綜合算式：把每個算式合一成一個算式進(jìn)行運算。3、脫式計算：把原式一行一行的算出來。4、豎式計算：將算式豎向列出，進(jìn)而得到結(jié)果。

? ? ? ? 上述的幾種列式方法中，所有方法都是萬能的，唯獨豎式計算不是能的。因為分步算式和綜合算式都是橫式，是要直接寫出結(jié)果的。脫式計算是多步的，但它是遵循指定的運算法則來運算的，在運算的過程中，可以是一步一步算，也可以是合并的來算，甚至是巧算。豎式計算首先就要按一數(shù)位分步計算，其次順序都是從右到左，從上到下，最后僅局限于整數(shù)和小數(shù)以及加減乘除。

? ? ? ? 在運算的過程中，要先乘除再加減，有括號去括號。如果有多個括號，先去小括號，再去中括號，最后去大括號。

四則運算的驗算：

? ? ? ? 1、加法驗算時，把兩個加數(shù)進(jìn)行交換，看和是否原來的和相等。2、減法驗算時，把差和減數(shù)相加，看和是否等于被減數(shù)。3、乘法驗算時，把兩個乘數(shù)進(jìn)行交換，看積是否與原來的積相等。4、除法運算時，如果能整除或除盡，就把商和除數(shù)相乘，看積是否等于被除數(shù)。如果有余數(shù)，就用余數(shù)加上商，再乘上除數(shù)，看結(jié)果是否等于被除數(shù)。

具體運算：

? ? ? ?對于整數(shù)的加減法，只需要一運算過程中一數(shù)位對齊即可，加法滿十進(jìn)一位，減法不夠十退一位。對于多位一數(shù)乘以一位數(shù)，將一位一數(shù)多位一數(shù)的每一數(shù)相乘，所乘的一數(shù)位與積的數(shù)數(shù)位要對齊，滿幾十就進(jìn)幾就，多位數(shù)乘多位數(shù)只有用豎式才能算出來，先用個位數(shù)乘另一個多位數(shù)，再用十位乘另一個多位數(shù)，以此類推。由于數(shù)是十進(jìn)制的，所以每次相乘得出的結(jié)果都要向左移動一位。接下來把所有的積相加，得到最終的結(jié)果。除法也要用豎式才能算出來，先用被除數(shù)的個位除以除數(shù)，如果不夠除到位上看，以此類推，一直到能夠除為止，下一部算這步的余數(shù)，同時把后面一位數(shù)落下來，進(jìn)行下一步的試除，每一步試除同理，如果落下來后仍然除不開，除數(shù)直接上0，繼續(xù)落被除數(shù)，直到又能除為止。對于小數(shù)的加減法，既要數(shù)位對齊，又要小數(shù)點對齊，因為小數(shù)點不對齊，數(shù)位也不可能對齊，先按整數(shù)的算法來算，再落小一數(shù)點，如果兩個數(shù)的小數(shù)位的位數(shù)不同，就把缺的那幾位用0補(bǔ)齊再進(jìn)行運算。對于小數(shù)的乘法，先按整數(shù)乘法的法則去算，再根據(jù)原式小數(shù)點的位數(shù)，來確定結(jié)果的小數(shù)點從個位向左移動幾位。對于小數(shù)的除法，先處理小數(shù)點，商的小數(shù)位有幾位，被除數(shù)的小數(shù)點就向右移幾位，再根據(jù)整數(shù)除法的法則進(jìn)行運算，若到末尾不能整除則用0補(bǔ)被除一數(shù)并落下來繼續(xù)除，直到除了為止，要是除不盡，只需求出循環(huán)節(jié)既可，不用再管余數(shù)。所有分?jǐn)?shù)的分母相同的加減法叫同分母加減法，它在運算過程中分母不變，只需對分子進(jìn)行加減，但要注意結(jié)果遇到能約分的要約分。至少有兩個分?jǐn)?shù)的分母不同的加減法叫異分母加減法，由于分?jǐn)?shù)單位不同，所以要通分，化為同分母再計算。分?jǐn)?shù)乘法分子乘分子，分母乘分母，這里建議在原式約分，不過要上下約，而不能左右約，分一數(shù)除法先取除一數(shù)的倒數(shù)轉(zhuǎn)化為乘法才能進(jìn)行運算。

? ? ? ? 在約分時，取分子和分母的最大公因數(shù)，再同時除以這個最大公因數(shù)。在通分時，取每個數(shù)的分母的最小公倍數(shù)，接下來每個數(shù)都將分子和分母分別同時乘以括大的數(shù)。

? ? ? ? 有些時候會遇到估算的問題。這時我們要知道什么是四舍五入，就是不滿五就把該位不變，后面的所有位全舍去?，但這并不代表這些數(shù)不存在了，而是化為了0。滿五就向前進(jìn)一位，前面若是9還要向前進(jìn)，并且后面所有位都保留。一般情況下沒有特別說明，這時計算只需要估一位就可以了，除非要連進(jìn)。如果題目中給出了條件，你就要根據(jù)條件進(jìn)行估算，讓你估到哪位你就估到哪位。其中估到整數(shù)位就是估到個位。另外的，還有用估到幾的方式問，這時就要看估到小數(shù)點后多少，觀察數(shù)的小一數(shù)位的位數(shù)，確定最后面一位的名稱，進(jìn)而得到所估的位數(shù)。例如12.398估到整數(shù)位就是13.000，估到十分位就是12.400，估到0.001就是12.400。

運算律：

????????加法交換律：a+b=b+a。加法結(jié)合律：a+b+c+d=（a+b）+（c+d）。乘法交換律：a×b=b×a。乘法結(jié)合律：a×b×c×d=（a×b）×（c×d）。乘法分配律：a×b±a×c=a×（b±c）。

循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)：

????????在分?jǐn)?shù)與除法中，講到的內(nèi)容只適用于分?jǐn)?shù)化為小數(shù)?？墒窃谛?shù)化為分?jǐn)?shù)時，要是遇到了循環(huán)小數(shù)該怎么辦呢？我們只以整數(shù)位為0為例。首先看是純循環(huán)小數(shù)還是混循環(huán)小數(shù)。如果是純循環(huán)小數(shù)，看循環(huán)節(jié)的位數(shù)，循環(huán)節(jié)有幾位，分母就有幾個9，分子照抄到分子上。如果是混循環(huán)小數(shù)，還是看循環(huán)節(jié)的位數(shù)，循環(huán)節(jié)有幾位就有幾個9，在看不循環(huán)的小數(shù)位有幾個，有幾位不循環(huán)就在最后一位9的后面添上幾個0，分子為循環(huán)的部分減不循環(huán)部分的值。如果能約分的話要約分。例如0.1212……化成分?jǐn)?shù)就是12/99=433，0.31212就是（12—3）/990=9/990=1/110。

相關(guān)證明：

我們都知道，余數(shù)小于除數(shù)；如果兩個數(shù)乘積互為1，那么這兩個數(shù)為倒數(shù)；0沒有倒數(shù)；1的倒一數(shù)等它本身；假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是大于1的真分?jǐn)?shù)，大于1的真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是假分?jǐn)?shù)。那么這些結(jié)論該如何證明呢？證明過程如下。

假設(shè)A/B=C……D（B≠0），A為被除數(shù)，B為除數(shù)。C為商，D為余數(shù)，若D＞B—1，則D/B≥1，則D不是A/B的余數(shù)，與D是A、B的余數(shù)矛盾。則假設(shè)不成立，D應(yīng)≤1，即余數(shù)≤除數(shù)—1，∴余數(shù)小于除數(shù)。

∵分?jǐn)?shù)乘法約分時上下約分，又當(dāng)被除數(shù)與除數(shù)相同時，商為1（不包含0）。且a/b=a÷b，∴如果兩個數(shù)乘積互為1，那么這兩個數(shù)為倒數(shù)。

假設(shè)b作為分母，a作為分子，那么分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系就變成了b/a=b÷a。再假設(shè)a=0，b≠0，根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義可知，當(dāng)分母不為0時有意義可以得出，該算式是沒有意義的，那么回到原來的a/b=a÷b也沒有意義，∴0沒有倒數(shù)。

一個分?jǐn)?shù)僅當(dāng)分子和分母都相同時，它的值為1，而從形上看，倒數(shù)最明顯的特點就是分子和分母上下顛倒，這樣一來，得出的數(shù)還是原來的數(shù)，∴1的倒一數(shù)等它本身。

∵從形上看，真分?jǐn)?shù)就是分子比分母小，大于1的假分?jǐn)?shù)就是分子比分母大，∴假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是大于1的真分?jǐn)?shù)。

根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的特征可知，大于1的真分?jǐn)?shù)b＜a，假分?jǐn)?shù)a＜b?！遙＜a和a＜b是相反的不等關(guān)系，∴大于1的真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是假分?jǐn)?shù)。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第二章：有趣的拆分

拆分的定義：

? ????把一個數(shù)分成幾個數(shù)相加（或減、乘、除）的形式，就叫做拆分。在研究對象所分配的數(shù)量時，通常我們利用整數(shù)來拆成整數(shù)相加的形式，在研究計算的時候，我們利用數(shù)字湊整的方法進(jìn)行拆分計算。

拆分的區(qū)別：

????????拆分分為不同對象的拆分和相同對象的拆分。在不同對象的拆分中，我們只需思考數(shù)字拆幾即可；而在相同對象的拆分中，不光要思考拆幾，還要注意對象的組合順序，不能有重復(fù)。

拆分的形式：

????????把一個數(shù)拆成兩個數(shù)，如果要求是兩個整數(shù)，那么只要把這個數(shù)以內(nèi)的所有數(shù)都列舉出來，再用原數(shù)減去列舉的數(shù)，就得到另一個所要拆的數(shù)。要是換成三個整數(shù)，就要先待定第一個數(shù)，用原數(shù)減去待定的書，再將結(jié)果對另兩個數(shù)進(jìn)行拆分。往上以此類推。

例題1：有5塊巧克力，分給甲或甲和和乙，有相同的哪些分法？

????????解：題目中既出現(xiàn)了甲，又出現(xiàn)了甲和乙，說明甲可以沒有巧克力，但是乙必須有巧克力。那么只有甲可以分0塊，而乙不能分0塊。那么有以下的分法：甲0塊乙5塊、甲1塊乙4塊、甲2塊乙3塊，除了甲0塊乙5塊以外，其他的分發(fā)反著分也可以，但只能取其中的一種順序。

例題2：有8塊糖，分給小紅、小黃、小綠，每人至少有2個，有多少種不同的分法？

????????解：由于每人至少有2個，∴拆分的數(shù)不能小于2。假設(shè)小紅有2塊，那么小黃2塊小綠4塊，或小黃3塊小綠3塊，或小綠4塊小黃3塊；先假設(shè)小黃、小綠的數(shù)量都是可以的，但從下一步開始和第一種方法都是一樣的。其中分的順序既包含正著分，又包含反著分。

補(bǔ)數(shù)：

????????如果兩個數(shù)相加能湊整，也就是整十整百整千這樣的數(shù)，那么這兩個數(shù)就互為補(bǔ)數(shù)。在找補(bǔ)數(shù)時，先看兩個數(shù)的位數(shù)，它的補(bǔ)數(shù)必然是位數(shù)比它大1且能湊整的數(shù)，換做是小數(shù)也是同理。不過分?jǐn)?shù)的補(bǔ)數(shù)1，因為根據(jù)分?jǐn)?shù)的代表性，1才能湊出分?jǐn)?shù)的整體，所以一個分?jǐn)?shù)的補(bǔ)數(shù)，是和等于1減去這個數(shù)所得的數(shù)。

數(shù)字湊整推廣到算式：

????????在第一章我們講到了數(shù)的運算，那么現(xiàn)在能否用數(shù)字湊整的算法來運算呢？如果是整數(shù)，將每個數(shù)進(jìn)行湊整拆分，再將每個數(shù)進(jìn)行運算，小數(shù)、分?jǐn)?shù)也是一樣的，只要不是除法就可以（包括分?jǐn)?shù)乘法）。

例題3：用湊整法計算：（1）21+12（2）3.4×4.3（3）7/9+1/11+2/9+4/11。

????????解：（1）21+12=20+1+10+2=20+10+1+2=30+3=33（2）3.4×4.3=3+0.4×4+0.3=3+1.6+0.3=3+1.9=4.9（4）7/9+1/11+2/9+4/11=7/9+2/9+1/11+4/11=1+5/11=1又5/11。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第三章：錯中求解

錯中求解的意義：

提問：什么是錯中求解？我們學(xué)錯中求解有什么用？回答：在原題解決過程錯誤的情況下，進(jìn)行適當(dāng)?shù)募右愿恼?，得到正確的答案?；槟嫦蚪忸}過程的思維叫逆向思維，錯中求解就是一種，逆向解題過程。這也向我們詮釋了為什么減法驗算時用加法算，除法驗算時用乘法算。

倒推法：這種解法的題目，原題會提到“把幾看成了幾。”這時先把“正確算式、錯誤算式”記上標(biāo)記，下一步看知條件?！鞍褞住敝械哪莻€數(shù)在正確算式中，“看成了幾”那個數(shù)在錯誤算式中，定要注意題目中所給出的算式名稱要與解答過程中記下的算式名稱相對應(yīng)。條件全了之后，利用這些條件在錯誤算式倒推記算，求出最前面的數(shù)。然后將其結(jié)果直接代到正確算式中，還是要注意算式的名稱要相對應(yīng)。最后計算正確算式，其中的結(jié)果就是錯中求解結(jié)果。

根據(jù)數(shù)的倍數(shù)變化錯中求解：

兩個整數(shù)相加，如果正確的加數(shù)比錯誤的數(shù)大1，那么正確的和也比錯誤的數(shù)1。反之正確的加數(shù)比錯誤的加數(shù)小1，正確的和也比錯誤的和小1，這僅針對個位。要是換成十位，正確錯誤的關(guān)系就要擴(kuò)大10倍，往再高位以此類推。兩個整數(shù)相減，如果正確的被減數(shù)比錯誤的被減數(shù)大1，那么正確的差也比錯誤的差大1。反之正確的被減數(shù)比錯誤的被減數(shù)小1，正確的差也比錯誤的差小1，這也僅針對個位，要是換成十位，還是正確與錯誤的關(guān)系擴(kuò)大10倍，每往上1位以此類推。如果正確的減數(shù)比錯誤的減數(shù)大1，那么正確的差比錯誤的差小1，反之同理，這還僅針對個位，要是換做十位，正確與錯誤的關(guān)系也擴(kuò)大10倍，每往上以此類推。兩個數(shù)相乘，如果正確的乘數(shù)比錯誤的乘數(shù)大1倍，那么正確的積就比錯誤的積大2，反之正確的乘數(shù)比錯誤的乘數(shù)小1倍，那么正確的積就比錯誤的積小2。前提是不能0。因為任何數(shù)乘以0都得0。這個從個位數(shù)開始就每擴(kuò)大或縮小1個數(shù)以此類推的。由于有些除法除不開甚至除不盡，所以在這里除法我們不用去探究如何錯求解了。

? ? ? ?小數(shù)的道理整數(shù)是一樣的。但分?jǐn)?shù)就行了，因為一個分?jǐn)?shù)就包含分子和分母兩個元素。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第四章：千奇百怪的速算

? 速算的必要性：

????????我們計算算式是為什么如此之慢？那是因為我們通常都用笨辦法算，一看到不能直接算出來的就用筆算；而已但計算量大了之后就容易出錯。這時速算就來幫忙了，只要你掌握了以下這些算式的算法，你的解體效率就會提高。當(dāng)你熟練了之后，你能在第二秒內(nèi)開始說出來，讓別人覺得不可思議！

????????我們在課內(nèi)學(xué)速算時，都會從10以內(nèi)的加減法、表內(nèi)乘除法開始學(xué)起，接下來才開10以內(nèi)的加減法，再開始學(xué)一些算式的速算。大家可能會想：這10以內(nèi)的加減法、表內(nèi)乘除法不用想都能回答出來，干嘛還先要學(xué)他們啊？其實先學(xué)這些類的算式，是為以后學(xué)正規(guī)的算式打基礎(chǔ)，其中里面的步驟不是有乘除就是有加減。

速算的局限性：

不過，不是所有的算式都是能用速算來解決的。它只能解決一些普通、簡短的加減乘除，當(dāng)計算量再大一點，或是算式再復(fù)雜一點，這時速算就不再管用了。因為不同算式有不同算法，或說是對應(yīng)法則。例如12+12就可以速算，但1.2a+1.2a就不行了。

怎樣速算：

十幾乘十幾：百位數(shù)落1，兩個乘數(shù)的個位相加放十位，兩個乘數(shù)的個位相乘放十位，滿幾十向前進(jìn)百味進(jìn)一位。例如17×18，1×1=1放百位，7+8=15放十位，由于滿十，要向百位進(jìn)1，7×8=56放個位，由于滿五十，要向十位進(jìn)5，這樣一來結(jié)果就是306。

幾十一乘幾十一：兩個乘數(shù)的十位和十位相乘放百位，如果得出的是兩位，其中十位作為積的千位，個位作為積的百位相加放十位，滿十向百位進(jìn)一。個位數(shù)1×1直接落到個位。例如51×61,5×6=30中的3放積的千位，0放積的百位，5+6=11，十位滿十向百位進(jìn)一，1×1=1放個位。這樣一來結(jié)果就是3111。

乘數(shù)十位相同，個位互補(bǔ)：乘數(shù)的十位加1再乘上它本身放前面，個位與個位相乘放后面，小于10則十位用0補(bǔ)。這時千萬別敢想進(jìn)位。例如41×49。4×4=16放千位和百位，1×9=9放個位，十位空下補(bǔ)0，這樣一來結(jié)果就是1609。

乘數(shù)個位相同，十位相同：這時千萬別敢想加1。兩個十位相乘再加乘數(shù)的個位，放在前面。個位乘個位放在后面,不夠十用0補(bǔ)。這里也沒有進(jìn)位。例如82×88。8×8＋8=72放千位和百位，2×8=16放十位和個位。這樣一來結(jié)果就是7216。

一百零幾乘一百零幾：被乘數(shù)加上乘數(shù)的個位放前面，兩個乘數(shù)的個位和個位相乘放后面，不夠10的話十位上用0補(bǔ)。例如108×103。108+3=111放在萬位、千位、十位，8×3=24放在十位和個位。這樣一來結(jié)果就是11124。

幾個1乘幾個1：可以看成幾個1的平方。這時只剩1處幾個1了，也不必考慮平方。有幾個1，最中間就是幾，接下來左右一對中都每往外一位遞減1，一直遞減到1為止。不過前提是，1的個數(shù)必須在2個到9個之間。例如，11111×11111。相當(dāng)于11111的平方，這個數(shù)有5個1，那么中間就是5，每往左、往右都是按4,3,2,1開始遞減的。這樣一來結(jié)果就是123454321。

多個9乘1位數(shù)：原式有幾個9，結(jié)果里就有幾個9再減1個9，位置放在中間，再用那1位一數(shù)乘9放兩邊。例如9999×9。9999中有4個9，那積的中間就有4-1=3個9，9×9=81放兩邊。這樣一來結(jié)果就是89991。

幾個9乘幾個9：可以看成幾個9的平方。這是只剩1處處理幾個9了，平方不必考慮。有幾個9，就從幾個9刪掉1個9放在最前面，后面任何情況下都是801。例如999999×999999。999999中有6個9，那么刪掉1個9還剩5個9，全放前面，百位、十位、個位分別落下8、0、1。這樣一來結(jié)果就是99999801。

任意數(shù)乘11：任意數(shù)的最高位落到積的最高位，個位落到積的個位，相鄰兩數(shù)相加把和放中間，同時還要根據(jù)哪個相鄰兩數(shù)放在中間的哪位，滿十進(jìn)一位。例如357×11。3是最高位，積的最高位就是3，7是個位，積的個位就是7，3+5=8放在3的后一位，5+7=15，5放在3的后一位，進(jìn)位后8變成9。這樣一來結(jié)果就是3857。

相同的兩個九十幾相乘：找乘數(shù)的補(bǔ)數(shù)并減去補(bǔ)數(shù)，放在千位和百位，補(bǔ)數(shù)乘補(bǔ)數(shù)放在十位和個位，十位不夠10用0補(bǔ)。例如94×94。94的補(bǔ)數(shù)是6，94-6=88，放在千位和百位，6×6=36放在十位和個位。這樣一來就是8836。

不同的兩個九十幾相乘：求出兩個數(shù)的補(bǔ)數(shù)，再用原數(shù)減去另一個原數(shù)的補(bǔ)數(shù)，放在前面（反過來也可以），個位數(shù)乘個位數(shù)放后面，不夠10用0補(bǔ)。例如92×96。92的補(bǔ)數(shù)是8，96的補(bǔ)數(shù)是4，92-4=88放前面，2×6=12放后面。這樣一來結(jié)果就是8812。

任意兩位偶數(shù)乘以51：將那個偶數(shù)除以2，再直接補(bǔ)上一個0。例如38×51。38÷2=19放前面，后面直接補(bǔ)上一個0。這樣一來結(jié)果就是190。

前兩位都是十幾，個位數(shù)任意數(shù)：十幾乘十幾放前面，個位乘個位放后面。例如136×137。13×13=169放前面，6×7=42放后面。這樣一來結(jié)果就是16942。

任意兩位數(shù)相乘：十位數(shù)與十位數(shù)相乘放前面，內(nèi)側(cè)積（前面的個位數(shù)與后面的十位數(shù)的積）與外側(cè)積（前面的十位與后面的個位的積）相加放中間，滿幾位進(jìn)幾位，個位乘個位放后面，也要考慮進(jìn)位。例如72×39。7×3=21放前面，2×3+7×9=69，滿6向前進(jìn)6，2×9=18，滿十向前進(jìn)1。這樣一來結(jié)果就是2808。

除數(shù)是2的除法：如果被除數(shù)是偶數(shù)，直接所有位數(shù)除2。如果是奇數(shù)，個位數(shù)減1再除2放個位，個位和小數(shù)位是點5，其余位數(shù)直接除2。例如131÷2。131是奇數(shù)，那么就（131-1）÷2=130÷2中5.5確定了，分別在個位和十分位，13也是奇數(shù)，那么十位就是（13-1）÷2=6也確定了。這樣一來結(jié)果就是65.5。

除數(shù)是5的除法：被乘數(shù)乘2再除10。例如462÷5。462×2=924，924÷10=92.4，這樣一來結(jié)果就是92.4。

除數(shù)是25的除法：被乘數(shù)乘4再除100.例如931÷25。931×2=2762，2762÷100=27.62，這樣一來結(jié)果就是27.62。

除數(shù)是9的除法：最高位直接落下來，依次加后面一位，一直加到個十位數(shù)，然后直接個位數(shù)除9，最后將最高位和下面加的數(shù)合在一起減1并加上個位數(shù)的結(jié)果得到商。例如232101÷9。2落下來，2+3=5放2的后面一位，5+2=7放5的后面一位，7+1=8放8的后面一位，1+8=9放8后面的1位，257889-1=257888,（8+1）÷9=1，此時得到25788+1=25789。

任意三位數(shù)乘兩位數(shù)：第一步：個位數(shù)乘個位數(shù)放最后面。第二步：個位與十位交叉相乘，乘積相加，有進(jìn)位要進(jìn)位，和放在第一步的積的前面。第三步：首位相乘，中間相乘，兩個積相加，有進(jìn)位要進(jìn)位，和放在第二步的前面。第四步：首位相乘，有進(jìn)位要加上。例如365×36。第一步：5×6=30，個位是0，向十位進(jìn)3。第二步：6×6+5×3再加進(jìn)位3得54，十位是4，向百位進(jìn)5。第三步：6×3+3×6=36加進(jìn)位5得41，百位是1向千位進(jìn)4，個位是3。第四步：3×3加進(jìn)位4得13，千位是3，萬位是1。這樣一來結(jié)果就是13140。

異分母且分母互質(zhì)的加減法：分母乘分母得分母，兩對分子與分母交叉相乘再根據(jù)加還是減確定兩個乘積加還是減作為分子。最后能約分的要約分。例如4/7+2/5。5×7=35可得分母為35,7×2+4×5=34可得分子為34，這樣一來結(jié)果就是34/35。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第五章：巧算簡便和24點

基準(zhǔn)數(shù)法：找出這個數(shù)的補(bǔ)數(shù)，這個數(shù)的補(bǔ)數(shù)就是與它能湊整的數(shù)。將這兩個數(shù)合成一個加法，再利用湊整的數(shù)算出結(jié)果。例如92+20。92最接近湊成整百的數(shù)，那么92就可以拆分成100-8。原式將得到100-8+20，把整十和不整十的數(shù)分開，并帶上前面的運算符號進(jìn)一步得到100+20-8=112。

合并基準(zhǔn)數(shù)：即便算式中有多個基準(zhǔn)數(shù)，和上面所述的方法還是一樣的，只是計算量相對大了一點。例如49+55+149+62。原式中有兩個數(shù)后面都是49。此時找補(bǔ)數(shù)有2種方法，一種是找湊整的數(shù)，一種是找能被10整除的數(shù)。我們先看能湊整的數(shù)。如果湊整百的數(shù)，那么49的補(bǔ)數(shù)就是51，149的補(bǔ)數(shù)也是51，但這個數(shù)求的是200的補(bǔ)數(shù)，不能湊整百?！嗟谝环N不可靠。再看第二種。49最接近且能被10整除的數(shù)就是50，而50+50=100，正好能湊整百。那么49可以拆成50-1，149可以拆成150-1。55離50也很接近，可以拆成50+5,62最接近60，可以拆成60+2。合并一起得50-1+150-1+50+5+60+2，把整十和不整十的分開，得到50+150+50+60-1-1+5+2=310-2+7。+7比-1好算，就把+7移到-2的前面，得到310+7-2=315。

有括號的加減法：如果括號內(nèi)只有一個符號，同時括號內(nèi)是加號，去掉括號不變號。反之括號內(nèi)是減號，去掉括號之后變號。如果括號內(nèi)有多個符號也是一樣。例如9+99+999+9999。先利用基準(zhǔn)數(shù)法將它變形為10-1-（100-1）+（1000-1）+（10000-1）。去括號后變?yōu)?0-1+100-1+1000-1-10000-1，把湊整的數(shù)和1分開，變?yōu)?0+100+1000+10000-1-1-1-1=11110-4=11106。

乘法分配律與基準(zhǔn)數(shù)：如果算式中有一個數(shù)接近整百整千類的數(shù)，只需用基準(zhǔn)數(shù)將它拆分，然后變形為乘法分配律的形式，最后按正常方法算出結(jié)果就可以了。例如98×12。98非常接近它的基準(zhǔn)數(shù)100，那么我們可以把它拆分成100-2，12落下來，變形為乘法分配律后得到（100-2）×12=100×12-2×12，再接下來就是1200-24=1176。

找倍數(shù)關(guān)系：多個數(shù)的運算中如果有除法，那么就要從這些數(shù)中找到某種倍數(shù)關(guān)系，這樣能保證能除開，也不會加大運算難度。例如900÷16÷8。900與16、8顯然都是沒有任何倍數(shù)關(guān)系的，這就說明從左往右除或把8和16調(diào)過來再除都是不可靠的。那么我們看看16和8有什么倍數(shù)關(guān)系，16是8的2倍。這就說明我們第一步可以先算16÷8=2。接下來我們又發(fā)現(xiàn)到900和2有倍數(shù)關(guān)系了，因為900和2都是偶數(shù)，900÷2=450。那這個算是的結(jié)果就是450。

移動小數(shù)點：有些乘法算式湊整不太直觀，但你又不能改變?nèi)思业念}目。怎樣才能在不直觀變?yōu)榍疤嵯?，保證不會改變運算結(jié)果呢？這里就要涉及到小數(shù)點的移動。我們知道乘法與除法互為逆運算，小數(shù)除小數(shù)應(yīng)該按相同方向移動小數(shù)點，那么反過來兩個數(shù)相乘就是按相反的方向移動小數(shù)點。例如1.25×0.8，我們把1.25的小數(shù)點向右左移動一位變成0.125，0.8的小數(shù)點向右移動一位變成8。125×8=1000，可以湊成整千，后面有3個小數(shù)點，1000向左移動3個小數(shù)點，得到1。

商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），商不變?？紤]較小的那個數(shù)，乘上幾倍或除以幾倍能湊整。例如625÷25。我們驗證一下25是否能被100整除。100÷25=4，說明25能被100整除。625中25在后面，說明它的4倍也是100的倍數(shù)。那么被除數(shù)和除數(shù)就同時擴(kuò)大4倍，得到（625×4）÷（25×4）=2500÷100。被除數(shù)和除數(shù)中的兩個0同時消去得到25÷1=25。

挖掘基準(zhǔn)數(shù)：在小數(shù)連乘時，有些算是雖然能簡便運算，但找不到已知條件，這時就要把隱藏的那個條件找出來，這個隱藏條件必是運算過程中能利用基準(zhǔn)數(shù)法計算的數(shù)字。例如2×2.5×20。先看把哪個數(shù)拆分成幾乘幾可以和誰湊整。把2.5拆分成0.5×5的話，原式就變成了2×0.5×5×20，2與0.5可以湊整，5與20可以湊整，那么下一步就是1×100。這步就不必再講了，1乘幾誰都會算，結(jié)果是100。

分?jǐn)?shù)連加：如果有一對分?jǐn)?shù)結(jié)果為1，另一對分?jǐn)?shù)同分母的和為真分?jǐn)?shù)且不必約分，那么就可以進(jìn)行簡便運算。例如1/12+4/7+11/12+1/7。如果不用上面介紹的方法，而去通分來算的話，算起來是很麻煩的。這里可以利用加法交換律，把能湊成1和不能湊成1的分別合并到一起，得到1/12+11/12+4/7+1/7，下一步為1+5/7。到這一步也不要相加，因為這種方法還不是最簡便的，最簡便的還是直接合并到一起，得1又5/7。

巧算24點

?????????1、利用3×8=24、4×6=24求解。把牌面上的四個數(shù)想辦法湊成3和8、4和6，再相乘求解。如3、3、6、10可組成（10-6÷）×3=24等。又如2、3、3、7可組成（7+3-2）×3=24等。實踐證明，這種方法是利用率最大、命中率最高的一種方法。

????????2、利用0、11的運算特性求解。如3、4、4、8可組成3×8+4-4=24等。又如4、5、J、K可組成11×（5-4）+13=24等。

????????3、在所有解的牌組中，用的最為廣泛的時以下六種解法（我們用a、b、c、d表示牌面上的4個數(shù)）：

????????（1）（a-b）×（c+d）如（10-4）×（2+2）=24等。（2）（a+b）÷c×d如（10+2÷2）×4=24等.（3）（a-b÷c）×d如（3-2÷2）×12=24等。（4）（a+b-c）×d如（9+5-2）×2=24等。（5）a×b+c-d如11×3+1=10=24等。（6）（a-b）×c-d如（4-1）×6+6=24等。

例1：3388：解法8÷（3-8÷3）=24按第一種方法來算，我們有8就先找3，你可能會問這里并沒有3，其實除以1/3，就是乘3。

例2:5551：解法5×（5-1÷5）這道題型比較特殊，5×1.5算是比較少見，一般的簡便算法都是3×8，2×12，4×6，15+9，25-1，但5×1.5也是其中一種，一般情況下，先要看4張牌中是否有2，3，4，6，8，Q。如果有，考慮用乘法，將剩余的3個數(shù)湊成對應(yīng)數(shù)。如有兩個相同的6，8，Q，比如已有兩個6，剩下的只要能湊成3，4，5都能算出24，已有兩個8，剩下的只要能湊成2，3，4，已有兩個Q，剩下的只要能湊成1，2，3都能算出24，比如（9，J，Q，Q）。如果沒有2，3，4，6，8，Q，看是否能先把兩個數(shù)湊成其中之一?？傊?，乘法是很重要的，24是30以下公因數(shù)最多的整數(shù)。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第六章：式與方程

用字母表示數(shù)：

????? ? 為了將數(shù)的概念進(jìn)一步推廣，這時就要用字母表示數(shù)。數(shù)代表它數(shù)字本身，而字母可以代表任何數(shù)。例如1就是1，但a可以表示任何數(shù)，換成A也是同理。只不過我們在研究用字母表示數(shù)時，習(xí)慣于用小寫字母。在數(shù)學(xué)中，我們把一個字母定義為代數(shù)式，因為用字母表示數(shù)也可以是多個字母或數(shù)字相加減乘除合在一起的。

????????不光是數(shù)，字母也有自己的符號。至少有一個數(shù)（字母）相加或相減的代數(shù)式，加減號必須寫；至少有一個數(shù)（字母）相乘時，數(shù)子放在字母的后面的乘號不能省略，其余情況都可以省略；除法和加減法同理；如果有括號還需要綜合考慮。例如a+5表示比a多5，6-b表示從6中少了b，cd表示c的d的倍，e/f表示把e平均分成f份。6（g-h）表示g-h的6倍。

????????求代數(shù)式的值非常簡單，只需題目中告訴你當(dāng)哪個字母代表幾時，你就把哪個數(shù)帶入到對應(yīng)的哪個字母進(jìn)行運算。例如3（a+7），其中a=1，那么你把a(bǔ)=1帶入到原始，直接求出結(jié)果，即當(dāng)a=1時，原式=3×（1+7）=24。

等量關(guān)系：

????????“等量關(guān)系”特指數(shù)量間的對等關(guān)系，是數(shù)量關(guān)系的一種。數(shù)學(xué)題目中含有多種等量關(guān)系，如果要用方程解答時，就需要找出題中的對等關(guān)系。

方程：

????????含有未知數(shù)的等式叫方程。例如x+2=3就是方程。如果沒有或不是等號的話，就不是方程了，即便有等號，等號任意一邊也不能單獨有未知數(shù)。例如2+3，3+x都不是方程，因為2+3里面沒有未知數(shù)，3+x不是等式再例如3-2=x也不是方程，因為通過3-2的計算可以直接求出x的值，就體現(xiàn)不出“方程”這個詞了。這就說明了方程一定是等式，但等式不一定是方程。

????????一個方程中有幾個未知數(shù)（多個相同字母只能代表一個未知數(shù)）就是幾元方程，未知數(shù)最高次數(shù)是幾（不考慮前面的倍數(shù)）就是幾次方程。

????????求方程的解的過程稱為“解方程”。使含有未知數(shù)的等式成立的未知數(shù)的值稱為“解”，到初三時應(yīng)把“解”換成“根”。

????????方程的性質(zhì)有以下幾種：1、兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，原方程的解不變。2、兩邊乘上或除以同一個數(shù)（0除外），原方程的解不變。3、如果原方程有多項的話，在第2條的基礎(chǔ)上，每項同時乘上或除以同一個數(shù)（0除外），原方程的解不變。4、在第2條的基礎(chǔ)上，等號兩邊同時乘上相同的次方或開相同的奇數(shù)次方（最小為3），原方程不變。

?解方程的過程：

????????1、已知數(shù)移到等號另一邊，加變減，減變加，乘變除，除變乘。2、未知數(shù)移到等號另一邊，正變負(fù)，負(fù)變正。

方程的解法：

一元一次方程：第一步去分母，第二步去括號，第三步移項，第四步合并同類項，第五步系數(shù)化為1。

二元一次方程：先待定任意一個未知數(shù)的解，再根據(jù)一元一次方程解。

一元二次方程：

方法一、直接開平方法：形如（a+x）**2=0的形式。第一步兩邊分別開平方，拆成兩個等號右邊互為相反數(shù)的一元一次方程方程；第二步把兩個一元一次方程解出來。

方法二、配方法：形如ax**2+bx+c=0（a≠0）的形式。第一步把常數(shù)項移到等號右邊并算出結(jié)果；第二步二次項系數(shù)化為1；第三步配平方，配一次項系數(shù)一半的平方；第四步整理成（a+x）**2=0的形式；第五步兩邊同時開方；到第五步時看判別式，如果△＜0回答“∵△＜0，∴原方程無實根?！钡酱藶橹?，否則需要繼續(xù)第六步；第六步把該方程拆成兩個等號右面互為相反數(shù)的一元一次方程；第七步接著兩個一元一次方程。

方法三、公式法：第一步化為一般式ax**2+bx+c=0（a≠0）。第二步確定判別式，計算△=b？-4ac。第三步若△＞0，該方程實數(shù)域內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根x=[-b±√△]/2a；若△=0，該方程在實數(shù)域內(nèi)有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=-b/2a；若△＜0，該方程在實數(shù)域內(nèi)無實數(shù)根，但在虛數(shù)域內(nèi)解為x=-b±√（b**2-4ac）/2c。

方法四：因式分解法第一步化為一般式ax**2+bx+c=0（a≠0）；第二步將等號左邊的代數(shù)式進(jìn)行因式分解，如果能因式分解且等號右邊為0，否則那么這個方程不能用因式分解法解；第三步：拆成兩個等號右邊都是0，等號左邊兩個不同被分解的因式的一元一次方程求解。這告訴了我們，因式分解法和直接平方法不是萬能的，配方法和公式法才是萬能的。

用方程解應(yīng)用題的步驟：

第一步審題，第二步找等量關(guān)系，第三步設(shè)未知數(shù)，第四步解方程，第五步寫答語。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第七章：比和比例

比的意義：

????????比的意義是兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。比是有一個前項和后項組成的除法算式，只不過是把“÷”（除號）換成了（：）比號而已，但除法算式表示的是一種運算，而比則表示兩個數(shù)的關(guān)系，和分?jǐn)?shù)線類似。

????????比號前面的數(shù)是前項，比號后面的數(shù)是后項，比的結(jié)果叫比值，可以是分?jǐn)?shù)，也可以是小數(shù)。再廣義一些，可以說比的項數(shù)有無數(shù)項，但是當(dāng)比的項數(shù)超過了2個，每項的數(shù)和比號就沒有定義了，但仍可以求出比值。比的任何一項都不能為0。例如3:2這個比是有意義的，但3:0這個比是無意義的。4:2中4是前項，2是后項。不過4:3:2不能說4是前項，3是中項，2是后項；也不能說4是3的前項，3是4的后項（2的前項），2是3的前項（后項）。

????????例題：為什么我們生活中所說的比的任何一項都可以為0，而我們數(shù)學(xué)中的比的任何一項都不能為0？這告訴了我們什么道理？

????????就舉一個例子來說，甲和乙比臺球，第一局甲得了0分，乙得了100分，說明甲沒獲得打進(jìn)球的分，而乙打進(jìn)了總共100分的球，這里的0和100都屬于數(shù)量，而數(shù)學(xué)中的比的每一個數(shù)都屬于份量。數(shù)量可以為0，但份量不能為0,。所以我們生活中所說的比的任何一項都可以為0，而我們數(shù)學(xué)中的比的任何一項都不能為0。這告訴了我們生活中所說的比與數(shù)學(xué)中的比的意義不同，一定要區(qū)分開。

比的基本性質(zhì)：

????????比的前項和后項同時乘上或除以同一個數(shù)（0除外），比值不變。化簡比，是把一個比化到最簡。

????????例題：化簡比18:8。

????????解答：18與8的最大公因數(shù)是2，∴前項和后項同時除以2，得到（18÷2）：（8÷2）=9:4。

比的應(yīng)用：

????????關(guān)于比的應(yīng)用題，考察的都是一個物品分量的配比問題。通過給出的總數(shù)量，以及比的大小，求出該物品中每個配比中的數(shù)量。這時有兩種方法：第一種：用總數(shù)量去除以比中每項的總和，得到每份的數(shù)量。再用每份的數(shù)量去分別乘以比中的每個數(shù)，得到不同名稱的配比的數(shù)量。

????????例題：現(xiàn)有一瓶600mL的蘋果梨混合果汁，蘋果汁和梨汁的配比是10:6，問：蘋果汁和梨汁分別有多少mL？

????????解答：600÷（10+6）=37.5（mL），37.5×10=375（mL），37.5×6=225（mL），答：蘋果汁有375mL，梨汁有225mL。

比例與比的區(qū)別與聯(lián)系：

????????比是除法關(guān)系的一種運算，而比例表達(dá)的是兩個比之間的相等關(guān)系，兩個還必須是兩項的，例如3:2=6:4，但4:6=4×6就不是比例，因為它不符合兩個比的相等關(guān)系，5=5也不是比例，因為等號兩邊不屬于比。

我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)比例：

????????因為我們學(xué)過了比的意義和等量關(guān)系的定義，就要綜合起來探究除法關(guān)系與等量關(guān)系之間又有一種什么樣的關(guān)系，比例又會涉及到哪些應(yīng)用題。

比例的基本性質(zhì)：

????????內(nèi)項之積等于外項之積。內(nèi)項是指比例中等號左邊的后項和等號右邊的前項，外項是指比例中等號左邊的前項和等號右邊的后項。正因為“內(nèi)項”與“外項”有2個詞，而每個詞都有且僅有2項，一共有4個項。為了不產(chǎn)生矛盾，才不允許比例中不能出現(xiàn)兩項以上的一個比。

解比例：

????????解比例是一種特殊的除法方程，以比例的形式出現(xiàn)的，需要解出比例的數(shù)叫未知數(shù)，通常用x表示。求比例中未知數(shù)的過程叫解比例。通過比例的基本性質(zhì)可以求出比例的解，步驟如下：第一步內(nèi)項與外項交叉相乘，第二步把交叉相乘得到的代數(shù)式和算式放到等號兩邊，第三步求出算式的乘積，第四步系數(shù)化為1。

比例尺：

????????在繪制地圖時，需要把實際距離按一定比縮小或擴(kuò)大，再畫在圖紙上。這時，就要確定圖上距離和相對應(yīng)的實際距離的比。一幅圖，圖上距離與實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。為了計算方便，通常都把比的前項或后項都設(shè)為1。

????????解決比例尺的實際問題時，根據(jù)題目中的已知條件，進(jìn)行區(qū)分哪些數(shù)表示圖上距離，哪些數(shù)代表實際距離，這樣解決問題就不難了。

????????例題：一輛火車要從烏蘭浩特市火車站出發(fā)，一直開往到長春火車站的終點站，中途需要經(jīng)過420千米。一位旅客測得烏蘭浩特市火車站到長春火車站的終點站的比例尺是1：2000000，問這位旅客測得的圖上距離是多少？

????????解答：根據(jù)比例尺的公式，比例尺中的1代表圖上距離，2000000代表實際距離，而火車是一個物體，那么420千米也是實際距離。兩個圖上距離對準(zhǔn)在“/”的上面，兩個實際距離對準(zhǔn)在“/”的下面。根據(jù)題意可得到：解：設(shè)這位旅客測得的實際距離為x千米。x/420=1：2000000，x=0.00021。答：這位旅客測得的實際距離為0.00021千米。

變化的量：

????????由于比例引入了比的等量關(guān)系，有除就有乘，這時就產(chǎn)生了變化的量。量有一段的，也有分段的，變化的兩種的等量關(guān)系可以用算式表示，通過這些算式列表，可以得到對應(yīng)的圖像，這個圖像就能反應(yīng)變化的量。它還能為到初中開始學(xué)函數(shù)打好基礎(chǔ)。

????????成比例的量有正比例、反比例、不成比例3種。如果兩個變化的量的比值相等，那么這兩個比就成正比例；如果兩個變化的量的乘積相等，那么這兩個比就成反比例；如果這兩個量既比值不相等又乘積不相等，那么這兩個量就不成比例；兩個以上的變化的量以此類推。

????????例題：正方形的邊長與周長成哪種比例？

????????解答：當(dāng)邊長等于1時，周長等于4；當(dāng)邊長等于2時，周長等于8?！?/4=2/8=0.25，∴正方形的邊長與周長成正比例。答：正方形的邊長與周長成正比例。

比例中的等量關(guān)系：

????????掌握比例法解應(yīng)用題，要懂得各個量之間的關(guān)系。比例是這樣的。如果1=5那么2=幾呢？你肯定要這樣計算：1:2=5：幾呢？那么答案是10，因為答案=5×2明白這個以后，就懂得比例中的等量關(guān)系了。

????????基本公式：路程=速度×?xí)r間；路程÷時間=速度；路程÷速度=時間。

????????舉一個例子：小明從甲地到乙地，用了10個小時，已知甲乙兩地共120千米。問：（1）出發(fā)后4個小時，小明共走了多少米？（2）小明走到72千米時，小明已經(jīng)出發(fā)了多長時間？

????????解：（1）設(shè)小明走了x千米，則：120：x=10:4，x=120×4÷10=48。（2）設(shè)小明走了y小時，10：y=120:72，y=10×72÷120=6。答：（1）小明走了48千米。（2）小明走了6小時。

????????????????????????????????第八章：路程、速度、時間

平均速度和總路程速度的平均數(shù)：

????????平均速度指的是物體在通過一段路程S與所需時間t的比值，總路程速度的平均數(shù)得的是幾個速度相加后除以它們的個數(shù)的數(shù)值。

????????平均速度需要考慮時間因素，其中的算法是：假定這段路程的總距離，用總距離去除以每段所用時間所得的速度，再用假定的速度去除以路程和?？偮烦趟俣鹊钠骄鶖?shù)無需考慮時間因素，只需根據(jù)已知數(shù)據(jù)套入平均數(shù)的公式求得結(jié)果即可。

????????例題：玲玲騎自行車從A地到B地用了150分鐘，再到C地用了120分鐘，最后到D地用了90分鐘（每兩地之間沒有間隔）。問：（1）求玲玲騎自行車從A地到D地的速度的平均數(shù)。（2）求玲玲騎自行車從A地到D地的平均速度。

????????解：（1）（150+120+90）÷3=120。（2）我們假定總路程是1620000米，1620000÷150=10800，1620000÷120=13500，1620000÷90=180000，10800+13500+180000=204300（分鐘），1620000÷204300=180/227（米/分鐘）。答：（1）玲玲騎自行車從A地到D地的速度的平均數(shù)是120。（2）玲玲騎自行車從A地到D地的平均速度是180/227（米/分鐘）

單次的行程問題：

????????相遇可以概括為幾個人物同時見面，是一個向量，但我們解決問題時不需要考慮向量的計算。公式：速度和×相遇時間=總路程，總路程÷速度和=相遇時間，總路程÷相遇時間=速度和，直線：甲的路程+乙的路程+……的路程=總路程，環(huán)形：甲的路程+乙的路程+……=環(huán)形周長（這里說的環(huán)形指的是一個圓弧）。

????????追及可以概括為幾個人物同時追趕，也是一個向量，也不需考慮向量的計算。公式：速度差×追及時間=路程差，路程差÷速度差=追及時間，路程差÷追及時間=速度差。直線：距離差=第一個追者的路程-第二個追者的路程-……-第n個追者的路程=速度差×追及時間，環(huán)形：最快的路程-倒數(shù)第二快的路程-……-最慢的路程=曲線周長（這里說的曲線是一個環(huán)形）。

????????火車過橋問題：火車速度×離橋時間=橋長+火車長，（橋長+火車長）÷火車速度=離橋時間，（橋長+火車長）÷離橋時間=火車速度。

????????流水行船問題：順?biāo)海ù?水速）×順?biāo)畷r間=順?biāo)谐?，船?水速=順?biāo)俣龋嫠海ù?水速）×逆水時間=逆水行程，船速-水速=逆水速度，靜水：（順?biāo)俣?逆水速度）÷2=靜水速度（船速），（順?biāo)俣?逆水速度）÷2=水速。

????????例1：東升從家到少年宮，如果每分走50米則正好到上課時間；如果每分鐘走60米則離上課還有2分，問：家離少年宮多遠(yuǎn)？

????????解答：在相同時間內(nèi)，路程差是60×2=120分鐘，反求時間120÷（60-50）=12（分鐘），∴路程是50×12=600（米）答：家里少年宮600米。

????????例2：一條跑道長400米，甲騎自行車每分行450米。乙跑步每分跑250，問：經(jīng)過多少分甲乙相遇？

????????分析與解答：兩個人一個快一個慢，是不可能直接相遇的。這種行為就叫我們平時的“扣圈”，這樣就要兩人跑多一圈了，這是轉(zhuǎn)化成甲和乙，要問的是甲多長時間比乙多行一圈？已知跑到400米，另外屬于追及問題。于是解答如下：400÷（450-250）=2（分）。答：經(jīng)過2分后甲乙相遇。

????????例3：一列火車長150米，每秒行20米，全車通過一座450米長的大橋，需要多長時間。

????????分析與解答：畫一條直線并平分成3份。由于設(shè)火車在直線劃分的右邊，∴根據(jù)題意，中間那段表示長450米，是要通過的大橋。從起點到中間的最左端就表示火車行駛了450米但它只是火車頭，∴不能算通過，就要繼續(xù)前進(jìn)，到左邊的左端才算通過（是火車的終點），∴中間的長度加上左邊的長度才是火車所行駛的路程。于是解答如下：（450+150）÷20=30（秒）。答：全車通過450米長的大橋，需要30秒。

????????例4：甲、乙兩個港口間的水路長300千米，一只船從甲港到乙港，順?biāo)?小時到達(dá)，從乙港返回甲港，逆水6小時到達(dá)。求船在靜水中的速度和水流速度。

????????解答：船在順?biāo)械乃俣龋?00÷5=60（千米/小時），船在逆水中的速度：300÷6=50（千米/小時），∴靜水速度：（60+50）÷2=55（千米/小時），水流速度：（60-50）÷2=5（千米/小時）。答：船在靜水中的速度是55千米/小時，水流速度是5千米/小時。

多次的行程問題：

????????由簡單行程問題拓展出的多次行程問題。所有行程問題都是圍繞“速度×?xí)r間=路程”這一條基本關(guān)系是展開的，多人相遇與追及問題雖然比較復(fù)雜，但只要抓住這個公式，逐步分析題目中所給的數(shù)量關(guān)系，問題就可迎刃而解。

????????多次相遇與全程的關(guān)系，可以分為以下幾類：1、兩地同向出發(fā)：第1次相遇，共走1個全程；第2次相遇，共走3個全程；第3次相遇，共走5個全程；……，……；第N次相遇，共走2N-1個全程。注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次走都是2N米。2、同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個全程；第2次相遇，共走4個全程；第3次相遇，共走6個全程；……，……；第N次相遇，共走2N個全程。3、多人多次相遇追擊的解體關(guān)鍵：多次相遇追及的解題關(guān)鍵：幾個全程。多人相遇追及的解題關(guān)鍵：路程差。

????????多次相遇追及問題類型還有很多，解這類題型關(guān)鍵還是要抓住“路程=速度×?xí)r間”這個關(guān)系式，以下面幾個例題為例。

????????例1：甲、乙兩名同學(xué)在周長為300米的圓形跑道上從同一地點同時背向跑步，甲每秒跑3.5米，乙每秒跑4米，問：他們第十次相遇時，甲還需要跑多少米才能回到出發(fā)點？

????????解析：從開始到兩人第十次相遇的這段時間內(nèi)，甲、乙兩人共跑的路程是300×10=3000米，∵甲每秒跑3.5米，乙每秒跑4米，∴這段時間內(nèi)甲共行了300×3.5÷（3.5+4）=1400米，也就是甲最后一次離開出發(fā)點后繼續(xù)行了200米，可知甲還需要行300-200=100米才能回到出發(fā)點。?

????????例2：甲、乙、丙三人中，甲每分鐘走50米，乙每分種走60米，丙每分鐘70米。甲、乙兩人從A地，丙從B地同時相向出發(fā)，丙遇乙2分鐘后遇到甲。問A、B相距多遠(yuǎn)？

????????解答：乙比甲多走的路程（50+70）×2=240（米），乙和丙相遇的時間：240÷（60-50）=24（分鐘）。A、B的距離：（60+70）×24=3120（米）

????????????????????????????第九章：數(shù)論問題

數(shù)論的概念：

????????所謂數(shù)論，就是數(shù)字的整除理論。這個定義只能從字面上講。數(shù)論僅局限于正整數(shù)，這就讓我們聯(lián)想到了數(shù)字的整除特征。

數(shù)字的整除特征：

????????不是所有正整數(shù)都有他的整除特征，但是有些不常見的整除數(shù)的特征還是可以從常見的整除數(shù)的特征進(jìn)行推理而來的?。

????????能被2整除的數(shù)：個位數(shù)上的數(shù)能被2整除，那么這個數(shù)能被2整除。能被3整除的數(shù)：各個數(shù)位上的數(shù)字和能被3整除，那么這個數(shù)能被3整除。能被4整除的數(shù)：個位和十位所組成的兩位數(shù)字之和能被4整除，那么這個數(shù)能被4整除。能被5整除的數(shù)：個位上的數(shù)是0或5，那么這個數(shù)能被5整除。能被6整除的數(shù)：如果這個數(shù)既能被2整除，又能被3整除，那么這個數(shù)能被6整除。能被7整除的數(shù)：若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的書中，減去個位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，如果不能直接判斷出，就要繼續(xù)上述，直到能直接判斷出為止?。能被8整除的數(shù)：百位、十位、個位所組成的三位數(shù)能被8整除，那么這個數(shù)能被8整除。能被9整除的數(shù)：各個數(shù)位上的數(shù)字和能被9整除，那么這個數(shù)能被9整除。能被10整除的數(shù)：如果一個數(shù)的個位為0，那么這個數(shù)能被10整除。能被11整除的數(shù)：奇數(shù)位（從左往右數(shù)）上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和之差（以大減?。┠鼙?1整除，則這個數(shù)能被11整除。11的倍數(shù)的驗證法也可以用上述檢查7的割尾法處理，過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1！能被12整除的數(shù)：若一個數(shù)能被3和4整除，則這個數(shù)能被12整除。能被13整除的數(shù)：若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果不能直接判斷出，就要繼續(xù)上述，直到能直接判斷出數(shù)為止。能被17整除的數(shù)：若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果不能直接判斷出，就要繼續(xù)上述，直到能直接判斷出數(shù)為止。另一種方法：若一個數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個數(shù)能被17整除。能被19整除的數(shù)：若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果不能直接判斷出，就要繼續(xù)上述，直到能直接判斷出為止。另一種方法：若一個整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個數(shù)能被19整除。能被23整除的數(shù)：若一個整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23或29整除，則這個數(shù)能被23整除。能被25整除的數(shù)：十位和個位所組成的兩位數(shù)能被25整除。能被125整除的數(shù)：百位、十位和個位所組成的三位數(shù)能被125整除。

????????判斷哪些數(shù)屬于不常見的整除數(shù)，我們就要用乘法對它進(jìn)行拆分。如果拆分的數(shù)中所有的數(shù)都屬于常見的整除數(shù)，那么這些數(shù)就屬于常見的整除數(shù)。

????????例1：3224屬于整除數(shù)嗎？如何判斷一個數(shù)能被3224整除？

????? ?解答：?3224可以拆分成2×4×43，在這個算式中2、4都屬于常見的整除數(shù)，但43不屬于常見的整除數(shù)，∴3224不屬于整除數(shù)。

????????例2：3048219能被11整除嗎？

????????解答：把3048219的奇數(shù)位有3、1，偶數(shù)位有0、4、8、1、9，奇位數(shù)字之和是3+1=4，偶數(shù)位數(shù)字之和是0+4+8+1+9=22，偶數(shù)位之和減奇數(shù)位之和是18，不能被11整除，∴3048219不能被11整除。

????????例3：（1）2048能被7整除嗎？（2）請減小這個數(shù)字，直到它能被7整除，這個數(shù)最少可以減小多少？

????????解：（1）204-8×2=188，18-8×2=2，∵16不能被7整除，∴2048不能被7整除。（2）

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