我們可以采用倒推法?！哳}目中要求減的最少，那么就要盡可能倒推的數(shù)盡可能以最小的變化量增加。在正整數(shù)里，與7整除的數(shù)里最小就是7。而7比2大5，那么被減數(shù)就要加5，這樣一來第一步就是17-5×2=7，下一步的倒推繼續(xù)采用7的整除的特征，即誰減去176？答案是176。下一步中把截去的數(shù)給安回來，得到的數(shù)便是1907。最后2048-1907=141就是最后的答案。故這個數(shù)最小可以減小141。

????????例4：在20022002中，能被11，13，17整除的數(shù)有多少個？

????????解答：[11,，13，17]=2431。20022002÷2431=8236……286。答：在20022002中，能被11，13，17整除的數(shù)有286個。

????????例5：a123和123b的乘積能被72整除，求a+b=?

????????解答：72可以拆分成8×9，那么說明這個乘積既是8的倍數(shù)又是9的倍數(shù)。對于是8的倍數(shù)，只要后3位的和是8的倍數(shù)即可；對于是9的倍數(shù)，只要所有數(shù)位的和是9的倍數(shù)即可。a123顯然不是8的倍數(shù)，∵123不是8的倍數(shù)，那就要求123b是8的倍數(shù)。如果123b是8的倍數(shù)，那么只要23b是8的倍數(shù)就可以了，通過豎式計算，我們得到，商是82，可知要保證沒有余數(shù)是，b就應(yīng)該是2。于是123b=1232。我們再看看它是不是9的倍數(shù)，∵1+2+3+2=8，∴1232不是9的倍數(shù)，∴a123一定是9的倍數(shù)。如果要確保這個結(jié)論成立的話，a+1+2+3必須等于9，解得a=3。把a和b的結(jié)果帶入到a+b中，求得值為5。故a+b=5。

????????????????????????????????????????????第十章、質(zhì)數(shù)與合數(shù)

相關(guān)概念：

????????如果一個數(shù)只能被1和它本身整除，那么這個數(shù)就叫質(zhì)數(shù)；如果一個數(shù)除了1和它本身，還能和其他數(shù)整除，南無這個數(shù)就叫合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，∵1只有它本身1個因數(shù)，但沒有1是非質(zhì)非合數(shù)的說法；質(zhì)數(shù)與合數(shù)研究的范疇只在正整數(shù)里。

? ? ? ? 用列舉因數(shù)判斷一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，不能出現(xiàn)重復(fù)的數(shù)字，也不能出現(xiàn)0、非正整數(shù)、比它本身大的整數(shù)，還不能漏掉。至于依據(jù)，等到你上高中學(xué)集合的時候你就知道了。

100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：

????????2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、39、41、43、47、51、53、57、61、67、71、73、79、83、87、89、93。

分解質(zhì)因數(shù)：

????????分解質(zhì)因數(shù)需要用到短除法。

????????把每個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再把各數(shù)中的全部公有的質(zhì)因數(shù)提取出來連乘，所得的積就是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。如果短除后不能使得每個數(shù)互質(zhì)，需要繼續(xù)短除，直到每個數(shù)互質(zhì)為止。在用橫式表達時，如果出現(xiàn)相同的數(shù)，必須改寫成乘方的形式，而且從左往右的數(shù)必須是從小到大的。例如求24、48、60最大的公約數(shù)，用橫式表達是（24,48,60）=2×3×2。這里看起來是正確的，實際是錯誤的，∵結(jié)果中有2個2相乘，最后面的2比中間的3小，∴正確的結(jié)果應(yīng)該是22×3。

????????“倍”與“倍數(shù)”是兩個不同的概念，“倍”是指兩個數(shù)相處的商。它可以是整數(shù)、小數(shù)或分數(shù)?！氨稊?shù)”只在數(shù)的整除范圍內(nèi)，相對于“約數(shù)”而言的一個數(shù)字的概念，他表示的是能被某一個自然數(shù)整除的數(shù)，它必須是一個自然數(shù)。例如由于2÷10=0.5,10÷2=5，因此能說2是10的0.5倍，而不能說2是0.5的倍數(shù)，但能說10是2的5的倍數(shù)。

????????例題：分解質(zhì)因數(shù)102、74、29。

????????解答：第一步：找一個與102、58、24公有的因數(shù)，比如2。108÷2=54，74÷2=36，29÷2=18。54、36、18不互質(zhì)。第二步：找一個與54、36、18公有的因數(shù)，比如3。54÷3=18，36÷3=12，18÷3=6。18、12、6不互質(zhì)。找一個與18、12、6公有的因數(shù)，比如3。18÷3=6，12÷3=4，6÷3=2。6,、4、2互質(zhì)。故（102，74，29）=22×32×4×6

最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：

????????兩個公有的因數(shù)叫做這兩個數(shù)的公因數(shù)，兩個公有的倍數(shù)叫做這兩個數(shù)的倍數(shù)。和列舉一個數(shù)的因數(shù)同理，每個數(shù)里的因數(shù)和公因數(shù)（倍數(shù)和公倍數(shù)）都不能重復(fù)出現(xiàn)，還不能有遺漏。對于兩個數(shù)而言，可以用兩個交叉的圓圈來表示，左面和右面兩個圓圈里列舉不同數(shù)字的因數(shù)（倍數(shù)），中間交叉的部分列舉這兩個數(shù)字的公因數(shù)（公倍數(shù)）。

????????當問題涉及到3個數(shù)字或3個以上時，用圓圈表示就不方便了，此時用行列的形式來列舉了，最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)我們用一個曲面把它們?nèi)Τ鰜怼?br>

????????求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)我們?nèi)匀挥枚坛▉砬蟆Ｏ扔枚坛▉矸纸赓|(zhì)因數(shù)。如果是要求最大公因數(shù)，我們只需把所有試除的因數(shù)相乘即可；如果是求最小公倍數(shù)，還要把互質(zhì)數(shù)連乘。例如求28和18的最大公因數(shù)，（68,44）=22=4。再例如求96和94的最小公倍數(shù)，[96,94]=2×48×47=4512。

完全平方數(shù)：

????????像a2=b（a∈Z+）的數(shù)叫做完全平方數(shù)。由于現(xiàn)在還沒有涉及到和開方，∴給出a的數(shù)求b會非常好求，但給出b的數(shù)求a會非常困難?！嘤胋反求a時可以找一個常見的完全平方數(shù)來進行相乘，雖然這種方法解決起來也需要一定的時間，但總比我隨便找一個數(shù)試試好吧？

判斷100以外的數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)：

????????當一個數(shù)特別大時，再用列舉因數(shù)的方法來判斷100以外的數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，恐怕就求判斷不出來了。這是我們需要掌握一個技巧：找一個與該數(shù)最接近的完全平方數(shù)，但要保證b小于這個數(shù)。接下來把a以內(nèi)的每個質(zhì)數(shù)都列舉出來，各自相除，如果沒有一個能與該數(shù)整除的話，那么這個數(shù)就是質(zhì)數(shù)，如果至少有一個能與該數(shù)整除的話，那么這個數(shù)就是合數(shù)。

????????例題：判斷1013是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。

????????解：312=961＜1013,31以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7，11,13,17,19,23,27,29。31÷2=15……2,31÷3=10……1,31÷5=6……1,31÷7=4……3,31÷11=2……9,31÷13=2……5,31÷17=1……14,31÷19=1……12,31÷23=1……8,31÷27=1……4，31÷29=1……2?！?1不能被自己本身以內(nèi)的任何質(zhì)數(shù)整除，∴1013是質(zhì)數(shù)。

????????????????????????????????第十一章：時間統(tǒng)籌法

時間統(tǒng)籌法的意義：

????????時間統(tǒng)籌法可以理解為做一系列事情所用的時間進行統(tǒng)一的方法。平時我們一個時間段就要做多件事情，如果我們一件一件事去干，會需要很長時間才能全部做完；∴利用時間統(tǒng)籌法，可以盡量的所需的用時。這需要結(jié)合我們平時的生活實際去思考。

解題思路：

????????根據(jù)題目中的已知條件，并結(jié)合實際，分析哪些事情可以同時做，哪些事情只能分開做。這樣同時做的多件事情的所用時間就是所用時間最長的哪件事情，這樣一來總用時就能相對減少了。

????????例題：小明開車帶小亮走到飯店需要20分鐘?，進出飯店各停車需要3分鐘，小明玩手機需要30分鐘，點飯菜5分鐘，等飯菜需要?15分鐘，買單需要1分鐘，回飯店需要20分鐘，吃飯需要44分鐘。請問：完成這些事需要多長時間？

????????分析與解答：吃飯、點飯時顯然是看不了手機的；由于是小明玩手機，不過題目并沒有告訴誰有支付現(xiàn)金，那么不如在買單時讓小亮付；吃飯和點飯也需要獨立2步完成；等飯菜、進飯店、出飯店、開車、進出飯店停車雖然也是5步獨立完成，但可以玩手機。所以答案如下下：5+1+44-5-1=44（分鐘）。答：完成這些事需要44分鐘。

????????????????????????????????第十二章：抽屜原理

相關(guān)術(shù)語：

? ? ? ? 抽屜原理是一種抽象的概念，是一種綜合性思維的知識。抽屜原理又名為鴿巢問題、鴿巢原理、鴿籠原理、狄克斯原理。盡管叫法不同，但題型完全相同。

抽屜原理的概念：

????????抽屜原理有簡單的，也有復(fù)雜的，我們就先從簡單的開始說起！

????????解決抽屜原理，首先要區(qū)分開什么是抽屜，什么是物品。我們可以把抽屜看作一個整體，物品看作不同的個體。如果把它們看成一個集合的話，所有的物品都是抽屜的對象。比如把4個蘋果放進2個箱子里，蘋果則是物品，箱子則是抽屜。

????????抽屜原理講究平均分，即每個抽屜里的物品的數(shù)量幾乎或完全相等的。比如把12本書放進3個盒子里，每個盒子里都有12÷3=4本書。再比如把9顆糖分給4個人，得到的是9÷4=2顆……1顆，剩下的一顆怎么處理？隨便再給一個人。那我們就得到了兩個公式：當物品能完全平均分時，a÷b=a/b，當物品不能完全平均分時，a÷b=a/b……1。a是物品的數(shù)量，b是抽屜的數(shù)量。

最不利原則：

????????從字面上來看，是做的最不好的方法。但實際是以“至少……保證……”的形式來定義的。所以解決最不利原則，不是把所有數(shù)量加起來就是最終結(jié)果。不過，也許有人會想，既然“至少……保證……”中有“至少”，那1不就是必定正確答案了嘛。如果這樣想就大錯特錯了，如果非要回答1，那就是最有利原則了，這里講的是最不利原則，再說你能否保證你在任何事件、時間的抓鬮情況下，都能保證1下就抓鬮成功嗎？下面的幾道例題供大家參考：

????? ? 例1：你手上有3把紅鑰匙、2黃鑰匙、6把藍鑰匙、4把紫鑰匙，家里的門用紫鑰匙才能打開，但此時周圍有看不見你家的門。問：在這種情況下，至少要用多少遍鑰匙才能把你家的門打開？

????????解析：根據(jù)最不利原則，最不利的就是我把鑰匙全試遍了，就是沒試到過紫鑰匙。我把紅鑰匙、黃鑰匙、藍鑰匙全試完了之后，一共試了3+2+6=11遍，這些鑰匙全試完了，就只剩下紫鑰匙了，我只需要試1次，就知道是用紫鑰匙開門了，加上用那紫鑰匙開門的那一遍，就是11+1=12遍。

????????例2：一個箱子里有22個草莓味果凍，18個咖啡味果凍，15個原味果凍，20個橙子味果凍，10個牛奶味果凍。問：在看不清的情況下，摸出3對不同口味的果凍至少需要摸多少個？

????????解析：在這5個口味的果凍，相對而言，數(shù)量最少的是牛奶味、原味、咖啡味果凍，但摸到草莓味、橙子味果凍更為不利。那么我把草莓味和橙子味果凍都摸出來了，就是總共摸了22+20=42個。現(xiàn)在只剩下我想要的口味的果凍了，把這些數(shù)量加1再乘上2，就是剩下的口味的果凍的數(shù)量了。（1+1+1）×2=6個。這兩個部分加起來就是42+6=48個。

復(fù)雜的抽屜原理：

????????運用抽屜原理求解的較為復(fù)雜的組合計算與證明問題，這里不僅“抽屜”與“物品”需要恰當?shù)脑O(shè)計與選取，有時還應(yīng)構(gòu)造出達到最佳狀態(tài)的例子。

????????例1：求證：對于任意的8個自然數(shù)，一定能從中找到6個a、b、c、d、e、f，使得（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍數(shù)。

????????證：∵105=3×5×7，那么要證明（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍數(shù)，又7的余數(shù)有余1、余2、余3……余6、余0（7種情況），∴8個數(shù)中必有2個同余的數(shù)其差是7的倍數(shù)。又5的倍數(shù)有余1、余2、余3、余4、余0（5種情況），∴剩下的6個數(shù)中，必有2個數(shù)同余，其差是5的倍數(shù)。而被3整除，余1、余2、余0（3種情況），∴剩下的4個數(shù)中，必有2個數(shù)同余，其差是3的倍數(shù)，∴一定有6個數(shù)它們的差的乘積是105的倍數(shù)

????????例2：（1）每一個邊長為2的正方形里隨意放入3個點，這3個點所能連出的三角形面積最大是多少？（2）在邊長4的正方形中隨意放入9個點，這9個點中任意共線或不共線，試說明：這9個點中一定有3個點構(gòu)成的三角形面積不超過2（本題中的點都可以放在正方形的邊界上）。

????????解：（1）在正方形的兩條臨邊上的頂點上均放入3個點，此時3個點相鄰，連接一條對角線，就構(gòu)成了一個三角形，且面積最大，故這3個點所能連出的三角形最大面積是2×2÷2=2。（2）∵要求9個點不共線，∴我們把這個正方形切一下，橫豎在中間切，大正方形就變成了4個小正方形。把9個點放到4個小正方形當中去，也就說明每個小正方形，那么9÷4=2個正方形……1個點。從（1）中得知了三角形最大面積是2，而2×2÷2=2是最大值，∴這9個點中一定有3個點構(gòu)成的三角形面積不超過2。

????????? 例3：上體育課時，21名男、女學(xué)生排成3行7列的隊形做操。老師是否總能從隊形中劃出一個長方形，使得站在這個長方形4個角上的學(xué)生都是男生或是女生？如果能，請說明理由；如果不能，請舉出實例。

????????解析：∵只有男生和女生兩種情況，∴第7行的第1個位置中至少有4個位置同性別。為了確保起見，不妨設(shè)前4個位置有2名男生，那么4個角同時男生的情況已經(jīng)存在，∴我們假設(shè)第二行的前4個位置中至少有3名女生，不妨假定前3個是女生，又第三行的前3個位置中至少有2個位置是同性別學(xué)生，當是2名男生時與第一行構(gòu)成一個四角同性別的矩形，當有2名女生時與第二行構(gòu)成四角的矩形同性別。∴無論如何，總能從隊形中劃出一個長方形，使得站在這個長方形4個角上的學(xué)生同性別。

????????????????????????????第十三章：簡單的周期問題

周期在數(shù)學(xué)中的定義：

????????在日常生活中會碰到一些不斷重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象，我們稱之為周期問題。

數(shù)學(xué)相關(guān)的周期簡介：

????????解答簡單的周期問題一般要利用到余數(shù)來解答，就是根據(jù)條件，確定周期是幾，通過除法計算得到余數(shù)后，再看周期中是第幾位。

求第幾個：

????????和上面簡介中的解法一樣。直接利用除法計算得到余數(shù)，如果有余數(shù)，余數(shù)是幾，就是這個周期的第幾個；如果沒有余數(shù)，則必定使這個周期中的最后一個。例如：現(xiàn)在是1月，再過100個月后，還有幾個月沒過完這一年？我們都知道，一年有12個月，而且是1月，2月，3月……11月，12月每年重復(fù)的。那么就100÷12=8（個）……4（月），故還有4個月沒過完這一年。

求共幾個：

????????和求第幾個類似，只不過是要求總和而已。這時先算一個周期的總和，再算周期的數(shù)量，將一個周期總和乘以周期的個數(shù)加上余下的個數(shù)（如需要）就是所求的結(jié)果。例如：求24÷15的小數(shù)位后的第213位前的總和。24÷15=1.846153846153……循環(huán)節(jié)的總和是8+4+6+1+5+3=27，周期是（213-1）÷6=35……2，得知余下的三位是8+4=12，故24÷15的小數(shù)位后的第213位前的總和是27×35+12=957。

個位數(shù)字：

????????個位數(shù)字的問題也是周期問題的一種，只不過是求個位數(shù)字而已了。求個位數(shù)字真的需要用到周期問題嗎？我們來試著探索一下。例如3620個7相乘，個位數(shù)字是幾？如果用常規(guī)的算法，永遠也求不出來。那么我們有什么技巧嗎？1**7=1，2**7=49，3**7=343，4**7=2401。這4個算式中，個位數(shù)字分別是1，9，3，1，那么再往下算數(shù)字一定是9，3，1……可得周期是1，9，3，1，9，3……三個數(shù)字為1個周期，那么就3620÷3=1206……2，故3620個7相乘，個位數(shù)字是9。

有頭周期：

????????在一串數(shù)字中，含有不存在周期性的數(shù)字，其余部分數(shù)字有規(guī)律。像這樣的周期叫做有頭周期。例如7，4，6，1，1，4，6，1，1中第28個數(shù)字是多少。顯然7是不參與周期的，∴我們要把她先減掉，即28-1=27，也就是我們要找到剩余的第27個數(shù)是誰。27÷4=6（組）……3（個），余的這前3個舊市這個周期中的前3個數(shù)：4，6，1?！嗟?8個數(shù)字是1。

????????????????????????????第十四章：數(shù)的合成

知識要點：

本章所講的數(shù)的合成，是把一個數(shù)組合成一個數(shù)字，進行如何巧算，求出數(shù)字有多少個。

????? 例題：??把1，2，3，4……，20800合成1234……20800，問這個數(shù)字共有多少位？

??????解答：1位數(shù)的數(shù)字在1—9內(nèi)，有9個數(shù)，共9×1=9位數(shù)。2位數(shù)的數(shù)字在10—99內(nèi)，有99個數(shù)，共99×2=198位數(shù)。3位數(shù)的數(shù)字在100—999內(nèi)，有999個數(shù)，共999×3=2997位數(shù)。4位數(shù)的數(shù)字在1000—9999內(nèi)，有9999個數(shù)，共9999×4=39996位數(shù)。5位數(shù)的數(shù)字在10000—28800，共18800個數(shù)，共18800×5=94000位數(shù)，總計：9+198+2997+39996+94000=137200位。答：這個數(shù)字有137200位。

????????????????????????????????????第十五章：算式的最值和巧用

最值的定義：

????????最大值與最小值統(tǒng)稱最值。

算式的最值的解題思路：

????? ? 對于一個混合算式，在只給出數(shù)字，但不給出結(jié)果時，無論是求最大值還是最小值，都要先考慮除法。因為如果題目給出的是整數(shù)，有可能會碰到除不開的情況；如果換做是小數(shù)，情況會變成除不盡。但算是求最值的題目給出的全是整數(shù)，所以只有先考慮除法，才有可能求出最值，另外如果題目中有0還不能放在0的前面，因為0不能作為除數(shù)。不過，能除開的地方也沒有，那就不再用除號了。

????????求最大值時，對于乘號而言，必須放在能使該步運算結(jié)果最大的位置，這樣才能使算式得到最大值，不過前提是其他地方不能出錯，另外題目中有0還不能放在0的旁邊，因為0乘以任何數(shù)都得0。求最小值時，對于乘號而言，反之應(yīng)該放在能使該步運算結(jié)果最小的位置，題目中一旦出現(xiàn)0，就要放在0的旁邊，因為0是最小的數(shù)，最能實現(xiàn)算式求得最小值，但也要注意前提是其他地方不能出錯。

????????求最大值時，加號應(yīng)該放在其余地方的和最大的位置，如果乘號在中間，下一步就觀察相鄰數(shù)的位置，如果該數(shù)較小且與相乘的算式相鄰并在后面，那么加號就放在與乘號相鄰的前面，減號直接落下，反之同理（包括求最小值）。

????????如果問題涉及到括號，需要先解決運算符號的問題，并結(jié)合上述所說的原理進行分析，求最大值時，括號放在哪，能使括號內(nèi)的運算結(jié)果不斷增大，求最小值時，括號放在哪，能使括號內(nèi)的運算結(jié)果不斷減小。因為一個括號至少影響到兩步的運算。

????????例題：在0（）8（）2（）4（）9的括號內(nèi)填上不同的運算符號和一個括號（只能括3個數(shù)），使結(jié)果達到最值，并求出其最值。

????????解析：先考慮除號，只有8÷2能除開，所以除號放在8和2中間。接下來考慮乘號,4×9這一步的結(jié)果最大，所以乘號放在4和9中間。再看減號，0-8=-8，2-4=-2，-8＜-2，那么減號放在2和4的中間，余下的地方0和8中間放加號。最后看括號。2-4雖然是負數(shù)，但是如果我們把它放在括號里，就沒有負數(shù)的意義了，又只允許括3個數(shù)，最后面又是乘號，顯然不能與9括，那只能與0括了。即最小值為（0（-）8（÷）2（+）4）×9=0。最小值：還同樣道理，除號放8和2中間，再看乘號，由于2×4結(jié)果最小，所以乘號放在8和2中間。接下來看減號，0最小，所以減號放在0后面，然后余下的地方放加號，那就是4和9中間。最后看括號。因為要實現(xiàn)最小值，就要與減號括起來，況且第一步得0，即最小值為0（-）（8（÷）2（×）4（+）9）=-25。

算式巧用：

????????根據(jù)題目給定的條件和要求填運算符號和括號，沒有固定的法則。

????????解決這類問題，一般的方法有試驗法、湊整法、逆推法。如果題中的數(shù)字比較簡單，可以采用試驗的方法，找到答案。如果題中結(jié)果較大，可以先把數(shù)字先分組，然后每組再試驗。

????????湊整法常用于題中數(shù)字較多、結(jié)果較復(fù)雜的時候，這時需要先湊出一個與結(jié)果接近的數(shù)，然后再對算式中算式的數(shù)字作適當?shù)陌才?，即增加或減少，使等式成立。

????????我們解決巧填運算符號通常運用的方法是：湊整法和逆推法，有時也同時使用。

????????例題：在括號中填上數(shù)學(xué)符號，讓等式成立：0（）1（）2（）3（）4（）5（）6（）7（）8（）9（）10=100

????????解析：就所有數(shù)相加而言，總共也是[（1+10）×10]÷2=55。如果用增加的方法，有相加和相乘，經(jīng)過前面算式的驗證，55≠100，∴相加肯定是不行了，就只剩乘法。0相乘肯定是不行的。0加或0減都行，但減之后變成負數(shù)，那就是加了。我們試試后面放乘號：1,2,3,4,5一組，6,7,8,9,10一組，1+2+3+4=10，接下來放減號就是10-5=5。5和6中間填上乘號我們再往下看6+7+8+9-10=20,5×20=100，這樣一來剛好等于100了?！嗾f如果這些數(shù)字加起來還不等于這些數(shù)字，我們肯定要用到乘法，∵乘法擴大的速度要比加法擴大的速度要快。故最后的答案為0（+）（1（+）2（+）3（+）4（-）5）（×）（6（+）7（+）8（+）9（+）10）=100。

????????????????????????????第十六章：染色問題

基本概念：

????????染色問題是一種幾何題，它的問題中心就是“涂顏色”。你不需要思考涂的是什么顏色，而是要思考涂的數(shù)量。

立體圖形的染色：

????????立體圖形的染色方法分為涂在角上、涂在棱上、涂在面上，沒有涂的。每處涂在角上的均有3個面，每處涂在棱上的均有2個面，每處涂在面上的均有1個面，每處沒有涂的均有0個面。

????????求數(shù)量的方法：先數(shù)出有多少個正方體或長方體，再單獨求1個正方體的染色情況（位置關(guān)系無需考慮，除0個面外），最后求出乘積。單獨求的方法：3個面染色：18個。兩個面染色：（棱長-2）×12。一個面染色：（棱長×棱長）2×6。0個面染色：（棱長-2）**3

平面圖形的染色：

????????染色問題是奧數(shù)題中的難點，這類問題看起來好像無從著手，其實只要認真思考問題也很容易解決。

????????例題：對平面上一個點，任意染上紅、藍、黑三種顏色中的一種，證明：平面內(nèi)存在端點同色的單位線段。

????????證：作圖△ABD、△CBD、△AEF、△GEF都是邊長為1的等邊三角形，CG=1。不妨設(shè)A點是紅色，如果B、E、D、F中有紅色，問題顯然得證。當B、E、D、F都為藍點或黃點時，又如果B和D或E和F同色，問題也得證?，F(xiàn)設(shè)B和D異色E和F異色，在這種情況下，如果C或G為黃色或藍點，則CB、CD、GE、GF中有兩條是端點同色的單位線段，問題也得證。不然的話，C、G均為紅點，這時CG是端點同色的單位線段。

????????????????????????????????????第十七章：和差問題和差倍問題

問題講義：

????????已知兩數(shù)的和及它們的差（一般指：大數(shù)-小數(shù)），求這兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和差問題，簡稱和差問題。

????????差倍問題既已知兩數(shù)之差和兩數(shù)之和的倍數(shù)關(guān)系，求出兩數(shù)。

基本公式：

????????和差問題：方法1：先求大數(shù)：（和-差）÷2=小數(shù)，小數(shù)=和-大數(shù)，或者小數(shù)-大數(shù)=差。方法2：先求小數(shù)：小數(shù)=（和-差）÷2，大數(shù)=和-小數(shù)或者大數(shù)=小數(shù)+差。

????????差倍問題：1倍數(shù)=差÷（倍數(shù)-1）=小數(shù)，小數(shù)+差=小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)。

舉例：

????????例1：學(xué)校有排球、足球50個，排球比足球多4個，排球、足球各多少個？

????????解答：（50-4）÷2=23（個）23+4=27（個）答：足球有23個，排球有27個。

????????例2：已知X、Y，X-Y=8，且X是Y的3倍，求X、Y。

????????解答：Y=8÷（3-1）=4，X=4×3=12。

????????????????????????????????????????第十八章：雞兔同籠

雞兔同籠簡介：

????????雞兔同籠，是中國古代著名典型趣題之一，記載于《孫子算經(jīng)》之中。類別：算術(shù)題、數(shù)學(xué)應(yīng)用題。

????????大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？

????????這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳。問籠中各有多少只雞和兔？

????????后入被列入奧數(shù)當中。

假設(shè)法：

????????假設(shè)全是雞：2×35=70（條），雞腳比總腳數(shù)少：94-70=24（只），兔子比雞多的腳數(shù)：4-2=2（只），兔子的只數(shù)：24÷2=12（只），雞的只數(shù)：35-12=23（只）。

????????假設(shè)全是兔子：4×35=140（只），兔子腳比總數(shù)多140-94=46（只），兔子比雞多的腳數(shù)：4-2-2（只），雞的只數(shù)：46÷2=23（只）兔子的只數(shù)：35-23=12（只）

方程法：

一元一次方程（1）解：設(shè)兔有x只，則雞有（35-x）只。4x+2（35-x）=94，解得x=12，35-12=23（只）

（2）解：設(shè)雞有x只，兔有（35-x）只。2x+4（35-x）=94，解得x=23，35-23=12（只）

（注：在設(shè)方程的未知數(shù)時，通常選擇腿腳多的動物，這樣會使計算較簡便。對于（35-x）而言，你放到加號的左邊也可以，不過此時的2和4就要調(diào)換過來，因為每一項都是一個整體，你不能破壞了方程中的整體。）

二元一次方程組：解：設(shè)雞有x只，兔有y只，x+y=35，2x+4y=94，解得x=12，y=23。答：兔子有12只，雞有23只。

（注：前面的方程的等量關(guān)系是雞和兔的數(shù)量總和，后面的方程的等量關(guān)系是雞和兔腳的總和）。

????????例題：甲和乙共同打材料，甲每分鐘打了3個小時，乙打了2個小時，總共打了800份材料，總共2000字。問：甲、乙分別打了多少份材料？

????????解答（方法一）：解：設(shè)甲打了x份，乙打了（800-x）份，根據(jù)題意可得3x+2（800-x）=2000，解得x=400，800-400=400（份）。

????????方法二：解：設(shè)甲打x了份，乙打了y份。根據(jù)題意可得x+y=800，3x+2y=2000，解得x=400，y=400。答：甲打了400份材料，乙打了400份材料。

三個對象的雞兔同籠問題：

????????當問題涉及到三個對象（以上）時，用方程或方程組解就無法下手了。因為在方程中，加號一邊，是x的幾倍，代表雞的總和；加號另一邊是幾乘括號內(nèi)幾減x，求的是兔的數(shù)量，而且括號內(nèi)的數(shù)量是除雞外的所有數(shù)量。然后方程組，一個方程求的是雞和兔的總數(shù)，另一個方程求的是雞和兔的腳的總數(shù)。所以我們只好采用假設(shè)法來解決。

????????例題：某玩具店里有若干個單排輪滑鞋、雙排輪滑鞋、四排輪滑鞋，已知輪子共有1180個。問：單排輪滑鞋、雙排輪滑鞋、四排輪滑鞋各有多少只？

????????解答：假設(shè)全是單排輪滑鞋：1180÷2=590（只），那么雙排輪滑鞋和四排輪滑鞋共有1180-590=590（只），假設(shè)雙排輪滑鞋和四排輪滑鞋中只有雙排輪滑鞋，那么有590÷2=280（只），求得單排輪滑鞋的數(shù)量為1180-590=590（只），雙排輪滑鞋的數(shù)量為590-280=370（只），四排輪滑鞋的數(shù)量為1180-590-370=220（只）。答：單排輪滑鞋有590只，雙排輪滑鞋有370只，四排輪滑鞋有220只。

????????????????????????? ? 第十九章：角

角的定義：

????????角的靜態(tài)定義：具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做叫角。這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊。

????????角的動態(tài)定義：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形叫做角。所旋轉(zhuǎn)射線的端點叫做角的頂點，開始位置的射線叫角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。

相關(guān)符號：

????????角的符號：∠

角的種類：

????????角的大小與邊的長短沒有關(guān)系；角的大小決定于角的兩條邊張開的程度，張開的越大，角就越大；相反，張開的越小，角則越小。在動態(tài)定義中，取決于旋轉(zhuǎn)的方向與角度。角可以分為銳角、平角、直角、銳角、周角、鈍角、劣角、0角。以度（記為°）、分（記為′）、秒（記為″）為單位的角的度量制稱為角度制，數(shù)制為60進制。此外，還有密度制、弧度制等。

????????直角：等于90°的角叫直角。銳角：大于0°小于90°的角叫銳角。鈍角：大于90°小于180°的角叫鈍角。平角：等于180°的角叫平角。周角：等于360°的角叫周角。0角：等于0°的角叫0角。負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫負角。正角：按逆時針旋轉(zhuǎn)而成的角叫正角。優(yōu)角：大于180°小于360°的角叫優(yōu)角。劣角：大于0°小于180°的角叫劣角。

特殊角：

????????余角和補角：兩角之和為90°（前提是不能有一個角是0角），則兩角互為余角。兩角之和為180°（前提是不能兩個角都是直角），則兩角互為補角。等角的余角相等，等角的補角相等。

????????對頂角：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點且兩個角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫互為對頂角。兩條直線相交，構(gòu)成兩條對頂角，互為對頂角的兩個角相等。

????????鄰補角：兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角。

????????內(nèi)錯角：互相平行的兩條直線，被第三條直線所截，如果兩個腳都在兩條直線的內(nèi)側(cè)，并且在第三條直線的兩側(cè)，那么這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。

????????同位角：兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線的內(nèi)側(cè)，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫同位角。

????????外錯角：兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成了8個角，如果兩個角在被截線的外側(cè)，并且在截線的兩側(cè)，那么這樣的一對角叫做外錯角。

????????同旁外角：兩個角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之外，具有這樣位置關(guān)系的一對角叫做同旁外角。

????????終邊相同的角：具有共同始邊和終邊的角叫終邊相同的角。與角α終邊相同的角屬于集合：A{β|β=k×360+α，k∈Z}表示角度制；B{β|β=2kπ+α，k∈Z}表示弧度制。

角的特征：

????????同位角：F。內(nèi)錯角：Z。同旁內(nèi)角：U。上述特征不考慮傾斜方向。

角的性質(zhì)：

????????對稱性：角具有對稱性，對稱軸是角的平分線所在的直線。

????????傳遞性：解答相交線與平行線的判定時，需要用到輔助線。如果有兩條相交線與一對平行線所接，從中間的點畫一條與兩條線都平行的輔助線，得到新的條線與反向延長線平行，且這條線與反向延長線平行，推導(dǎo)出著兩條直線平行。如果輔助線在同一側(cè)。

????????例題：已知AB∥CD，被直線EF所截，∠EIH被∠EBI的角平分線IH所平分，∠IJK被∠IJD的角平分線JI所平分。判斷∠EIH與∠IJK是否互為同位角。

????????解答：∵AB∥CD，被直線EF所截，∴只有∠EIB和∠IJD才互為同位角。但由于∠EIH被∠EBI的角平分線IH所平分，∠IJK被∠IJD的角平分線JI所平分，因此IH∥JI也成立，但IH與JI之間沒有第三條直線所截，∴∠EIK與∠IJK不互為同位角。

角的定理：

????????相等：角平分線上的一點到角兩邊的距離相等。

????????角平分線反響延長線上的點到角兩邊反向延長線的距離相等。

角的運算：

????????數(shù)角：當以個角內(nèi)有多條射線時，要數(shù)角的個數(shù)，我們先要數(shù)出小角的個數(shù)，再列算式：1+2+……+n（n為小角的個數(shù)），求出的就是角的總個數(shù)。

????????角的加法：度數(shù)加度數(shù)，分數(shù)加分數(shù)，秒數(shù)加秒數(shù)。先算秒數(shù)，再算分數(shù)，最后算度數(shù)。如果遇到進位要進位。

????????角的減法：度數(shù)減度數(shù)，分數(shù)減分數(shù)，秒數(shù)減秒數(shù)。如果遇到不夠減的情況要向前面借位。最后做正式的減法。

????????角的乘法：度數(shù)乘數(shù)字，分數(shù)乘數(shù)字，秒數(shù)乘數(shù)字。先算度數(shù)，再算分數(shù)，最后算秒數(shù)。如果遇到進位要進位。

????????角的加、減、乘法都是得到準確的數(shù)值的，其中加減法靠角度與角度計算，乘法靠角度和倍數(shù)計算。如果列豎式，一定要保證各等級的角度對齊，包括角的符號，乘法的數(shù)字寫在最右邊。處理進位時一定要把前面的那位數(shù)字給退位掉，反之退位時一定要把該位數(shù)字進位去。

????????角的除法：角的除法多數(shù)無法得到準確值，只能用來估算，除非度數(shù)、分數(shù)、秒數(shù)和數(shù)字都有某種倍數(shù)關(guān)系，可以按照角的乘法的逆運算來計算。以無法得到準確值為例，仍然度數(shù)除度數(shù)，分數(shù)秒數(shù)除分數(shù)，秒數(shù)除秒數(shù)。不過必須分步計算，先處理度數(shù)，再處理分數(shù)，最后除以秒數(shù)。求度數(shù)時，直接用度數(shù)除數(shù)字就可以了。接下來觀察該步結(jié)果是否需要進位，如果不需要，到計算分數(shù)時被除數(shù)的整數(shù)位就是0，小數(shù)位從上一步算出的小數(shù)位落下來除以60，該步結(jié)果要用整數(shù)表示幾分，如果要用小數(shù)表示，就要繼續(xù)往下算秒數(shù)，秒數(shù)的結(jié)果必須用整數(shù)表示了，即便除不開轉(zhuǎn)化為秒數(shù)。至于最后的結(jié)果，度數(shù)、分數(shù)、秒數(shù)的結(jié)果合在一起，小數(shù)位全刪去。

????????例題：計算20°48′33″×4+160°33′17″-88°52′32″÷8。

????????解答：20°48′33″×4=80°112′132″=81°52′12″；84°÷8=10.5°，0.5′×60=30′，0.5″=30′，88°52′32″÷8=10°30′30″；81°52′12″+160°33′17″=241°85′29″=242°25′29″；242°25′29″-10°30′30″=231°55′59″；20°48′33″×4+160°33′17″-88°52′32″÷8=231°55′59″。

????????????????????????????????第二十章：體育比賽中的數(shù)學(xué)

幾局幾勝制：

????????有些體育比賽中，既有小分，也有大分。小分即一場的得分，大分即贏的場數(shù)的得分。由于賽制有限，而雙方通過幾比幾確定哪方勝不止一種可能，這時就引入到了幾局幾勝制的話題。

????????那幾局幾勝制是怎么來的呢？這里就涉及到局數(shù)與勝制數(shù)之間的關(guān)系，也就是我給你提供有幾句，讓你求勝制數(shù)，反過來就是給你勝制數(shù)，讓你求局數(shù)?？赡艽蠹铱大w育比賽光是看熱鬧，或者是分析如何實踐，從而沒思考過幾局幾勝制的求法了吧？下面就跟著小編一起往下讀吧。

????????無論是用局數(shù)求勝制數(shù)，還是用勝制數(shù)求局數(shù)，掌握了下面的公式解題就輕松了。假設(shè)局數(shù)為N，勝制數(shù)為n，那么n=（N+1）÷2，N=n+（n-1）（不能直接去括號）（注：上面2個公式中，括號內(nèi)的N和n必須是奇數(shù)，括號外的n必須是偶數(shù)。）！就拿個例子來說，如果至多比賽5局，那么任意一放到3分時就可以贏。因為根據(jù)上述的問題（5+1）÷2=3，3+（3-1）=5，得證。

????????例題：（1）已知一場臺球比賽至多37場，主隊和客隊比賽，主隊要想贏得比賽，需要贏得多少大分？（2）已知一個冰球比賽在總決賽中，要從甲隊中贏得19分，甲隊才能獲得總決賽的獎杯，那么這個比賽至少要比多少場？

????????解答：（1）（37+1）÷2=16（分）。（2）19+（19-1）=31（場）。答：（1）主隊要想贏得比賽，需要贏16大分。（2）這個比賽至少要比31場。

淘汰賽：

????????淘汰賽分為單淘汰賽和雙淘汰賽。單淘汰賽的定義：每經(jīng)1場淘汰1個人，直至決出勝者。雙淘汰賽的定義：每經(jīng)2場淘汰1個人，直至決出勝者。

????????根據(jù)兩種淘汰賽的定義，我們可以得出以下的公式：決出勝負場數(shù)=淘汰人數(shù)，單淘汰賽：隊數(shù)-1，雙淘汰賽：最少：（隊數(shù)-1）×2，最多：（隊數(shù)-1）×2+1

循環(huán)賽：? ??

????????每方交替進行常規(guī)賽，兩隊一場，被定義為循環(huán)賽。公式：隊數(shù)×（隊數(shù)-1）÷2。

積分的類型：

????????無平局：勝1負0。有平局：勝平負勝=負。210賽制平局為偶數(shù)，總分不變，總分=2K，勝平負2K總分=3K。310賽制每多一場平局總分減少1分。

結(jié)果的特點：

????????所有人總勝場=總負場，所有人平局總數(shù)為偶數(shù)。

淘汰賽的其他講義：

????????體育比賽中的數(shù)學(xué)還有淘汰賽的推理，我們將在后面的推理判斷會講到。

????????例題：有16位選手參加象棋晉級賽，每兩人都只賽1盤。每盤勝者積1分，敗者積0分，如果和棋，每人各積0.5分。比賽結(jié)束后，幾分不少于10分者晉級。那么，比賽后全部選手總得分為多少？

????????解答：16個人比賽，總的比賽場數(shù)為16×15÷2=120（場），每場比賽，不管結(jié)果如何，總的分數(shù)都為1，所以共120分。

????????????????????????????????第二十一章：盈虧問題

基本內(nèi)容：

????????把若干物體平均分給一定數(shù)量的對象，并不是每次都能正好分完。如果還有剩余，就叫盈；如果物體不夠分，就叫虧。凡是研究盈和虧這一類的算法的應(yīng)用題就叫盈虧問題。

????????已知兩個分配方案，，一次分配有余，一次分配不足（也有兩次分配都有余和兩次分配都有不足），求參加分配的人數(shù)及被分配的數(shù)量。這樣的問題通常叫做盈虧問題。

????????但是沒有“虧盈問題”的說法，也有且僅有兩個對象的分配方案。

基本公式：

????????盈盈問題：（大盈-小盈）÷兩人每次分配的差=參加分配的份數(shù)。虧虧問題：（大虧-小虧）÷兩人每次分配的差=參加分配的份數(shù)。盈虧問題：（盈+虧）÷兩人兩次分配的差=參加分配的份數(shù)。

????????例1：小朋友分桃子，每人8個多7個，每人10個少9個。問：有多少個小朋友和多少個桃子？

????????解答：（7+9）÷（10-8）=8（人），10×8-9=71（個）。答：有8個小朋友和71個桃子。

????????例2：學(xué)生們分書，全分給男生共40本卻多12本，全分給女生共10本卻多10本。問：有多少本書和多少名學(xué)生？

????????解答：（40-10）÷（12-10）=15（本），15×（40+10）=750（名）。答：有15本書和750名學(xué)生。

????????例3：一次考試中，選考22道題則少選5道必考題，選考30道則少選1道必考題。問：選考題數(shù)比必考題數(shù)差多少道？

????????解答：（30-22）÷（5-1）=2（道）。答：選考題數(shù)比必考題數(shù)差2道。

股票交易中的盈虧：

????????盈虧臨界點——交易所股票交易數(shù)量的基數(shù)點，超過這一點就會盈利，反之則虧損。盈虧臨界點的計算模型設(shè)以P代表利潤，V代表銷量，SP代表單價，VC代表變動成本，F(xiàn)C代表固定成本，BE代表盈虧臨界點，根據(jù)利潤計算公式可求得盈虧臨界點的基本模型為：盈虧臨界點的計算，可以采用實物和金額兩種形式計算：1、按實物單位計算：固定成本÷（售價-變動成本）=實物件數(shù)。2、按金額綜合計算：盈虧臨界點的銷售量（用金額表現(xiàn)）=固定成本÷貢獻毛利率。其中，貢獻毛利率=貢獻毛益÷銷售收入。

????????????????????????????????第二十二章：年齡問題

基本特征：

????????1、兩個人的年齡差是不變的。2、兩個人的年齡是同時增加或減少的。3、兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的。

解體口訣：

????????歲差不會變，同時相加減。歲數(shù)一改變，倍數(shù)也改變。抓住這三點，一切都簡單。

相關(guān)公式：

????? ? 1、幾年前的年數(shù)=小年齡-（大年齡-小年齡）÷（倍數(shù)-1）。2、幾年后的年齡=（大年齡-小年齡）÷（倍數(shù)-1）-小年齡。3、大年齡：（兩人年齡和+兩人年齡差）÷2。4、小年齡=（兩人年齡和-兩人年齡差）÷2。5、和差問題：小年齡=（和-差）÷2。6、和倍問題：小年齡=和÷（倍數(shù)+1）。7、差倍問題：小年齡=差÷（倍數(shù)-1）

????????例1：今年小強7歲，爸爸35歲，當兩人年齡和是58歲時，兩人年齡各多少歲？

????????解答：爸爸的年齡：[58+（37-7）]÷2=43（歲）。小強的年齡：58-43=15（歲）。答：當兩人年齡和是58歲時，爸爸43歲，小強15歲。

????????例2：果園里有桃樹和杏樹共248顆，桃樹的棵樹是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各有多少顆？

??????? 杏樹248÷（3+1）=62（顆）。桃樹：62×3=186（顆）。答：杏樹有62顆，桃樹有186顆。

????????????????????????????第二十三章：時鐘問題

鐘面常識：

1、時針一天轉(zhuǎn)2圈，分針一天轉(zhuǎn)24圈，分針與時針的轉(zhuǎn)速比為12:1。

2、時針與分針一天重合22次，垂直44次，呈108°夾角也是44次。

3、時針與分針呈某個角度往往需要考慮到對稱的兩種情況。

4、無論是標準鐘還是壞鐘，都是勻速轉(zhuǎn)動，只不過是速度不同而已。

5、鐘面上一分鐘的間隔視作1小格，5分鐘視作一大格。

6、整個鐘面有360°，上面有12個大格，每個大格為30°；有60個小格，每個小格為6°。

7、分針速度為：每分鐘1小格、走6°時針速度為每分鐘走1/12小格，每分鐘走0.5°。

時鐘問題的描述：

????????時鐘問題屬于行程問題，在奧數(shù)的考試中經(jīng)常遇到，今天讓我們一起來學(xué)習(xí)有趣的事中問題。

????????始終問題可以看作是在一個特殊的圓形軌道上，兩個人發(fā)生的追及問題或相遇問題，不過這里的兩個“人”分別是時鐘的分針和時針。時鐘問題的速度的衡量方式不再是常規(guī)的米/秒或千米/小時，而是2個指針每分鐘走的角度。

時鐘問題常考的模型：

1、追及問題：這類題我們一般會找相鄰且較小的整點時間（較小的原因是利用順時針來做題），利用路程差=速度差時間來解題，這類題目往往是已知時間求角度。

2、相遇問題：這類題一般會出現(xiàn)某個時間點角度相等或者是出現(xiàn)1小時后時針與分針交換位置兩種情況。

3、快慢鐘問題：設(shè)想有一個標準鐘，根據(jù)已知條件計算與壞鐘的時間差。

????????例1：從時針指向4點開始，再經(jīng)過多長時間，時針正好與分針重合？

????????解答：4點整時針、分針相距4個大格，那么追及的路程的距離=4×30=120。追及問題，時針速度0.5°/分鐘，分針速度6°/分鐘。那么追及速度差=6-0.5=5.5°。120÷5.5=21又9/11分鐘。答：再經(jīng)過21又9/11分鐘，時針正好與分針重合。

????????例2：5點過多少分鐘，時針與分針離“5”的距離相等，并在“5”的兩邊？

????????解答：假設(shè)m分鐘后，時針偏離“5”的度數(shù)：m×0.5°。于是m分鐘后，分針追回的度數(shù)：m×6°。等量關(guān)系：m×0.5=150-6m，解得m=23又1/13。答：5點過23又1/13分鐘，時針與分針離“5”的距離相等，并在“5”的兩邊。

????????????????????????????????第二十四章：濃度問題

知識點簡要：

????????濃度問題是行測問題中的一個考點，同時也是數(shù)學(xué)運算中較為簡單的一類題目，理論簡單，都是初高中的基礎(chǔ)章節(jié)。

????????學(xué)習(xí)濃度問題，首先要弄清楚幾個概念：溶質(zhì)、溶劑、濃度。溶質(zhì)，就是溶解在溶劑里的物質(zhì)；溶劑，就是溶解溶質(zhì)的液體或氣體，比如水就是溶劑；濃度，就是溶液里所占質(zhì)量的比例。

公式和解題思路：

????????溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量。濃度=溶質(zhì)質(zhì)量÷溶質(zhì)質(zhì)量×100%。溶液質(zhì)量：溶質(zhì)質(zhì)量÷濃度。溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量×濃度。

????????只要理解清楚關(guān)于濃度問題的基本關(guān)系就能解決濃度問題。在解決濃度問題中，我們較常用的方法可能是方程法。較比例法，十字交叉法而言，方法顯得比較笨拙，但是在應(yīng)始終是最容易瞬間想到和操作的辦法。較比例法和十字交叉法是混合溶液時用到的，所以萬物歸根的思想來看，方程法不得不重新引起大家重視。

????????例題：在濃度10%、重量為80克的鹽水中，再加入多少克水就能得到濃度為8%的鹽水？

????????解答：80×10%=8（克），8÷8%=100（克），100-80=20（克）。答：再加入20克水就能得到濃度為8%的鹽水。????

????????????????????????????? ? 第二十五章：推理判斷

邏輯思維：

????????什么是邏輯思維？邏輯思維是有邏輯性的思維推導(dǎo)。邏輯和思維都包括數(shù)理邏輯和文字邏輯。數(shù)理邏輯是根據(jù)數(shù)學(xué)思維進行邏輯推理的，文字邏輯是根據(jù)語言文字進行邏輯推理的。為了得到正確的答案，有邏輯思維就要有推理判斷。

數(shù)字謎問題：

????????數(shù)字謎問題類似于方程。只不過要解的不是每個未知數(shù)代表一個數(shù)字，而是用字母或文字代替。每個相同的字母或文字代表相同的數(shù)字，每個不同的字母代表不同的數(shù)字，一個字母或文字只能代表一位數(shù)而已了（如果是除法豎式謎，可能會遇到多個、多行的空格，每個空格誰與誰相同、不同都沒有確定性）。

????????例1：已知在a4b+3c9=501中，a，b，c各是多少？

????????解析：先考慮個位，一個數(shù)加9得1，不夠加，那一定是說明十位進1了。幾加9得11呢？應(yīng)該是2，于是b=2。再考慮十位，十位已經(jīng)向前進1位了，此時4就變成了5，5加幾得0還是不夠加，又要向前進一位，此時0就變成了10，5加幾得10呢？應(yīng)該是5，于是c=5。最后考慮百位，百位已經(jīng)向前進1位了，此時3就變成了4。4加幾得5？應(yīng)該是1，于是a=1。

????????例2：下面是三位數(shù)相減的算式：冬奧會-開幕式=894。每一個漢字代表一個數(shù)字。問：這6個數(shù)字的乘積等于多少？

????????解析：∵差的首位是8，∴冬=9，開=1。第二位的兩數(shù)的差是9，∴奧=9，幕=0，于是這6個數(shù)字的乘積等于0。答：這6個數(shù)字的乘積等于0。

????????例3：在一次數(shù)學(xué)課上，老師給大家出了一道這樣一道有趣的題：已知“學(xué)前教育專業(yè)×4=業(yè)專育教前學(xué)（提示：‘學(xué)’=‘業(yè)’）”？，問：這幾個漢字分別代表什么數(shù)字？親愛的讀者，你想出來了嗎？

????????解析：∵“學(xué)前教育專業(yè)”和“業(yè)專育教前學(xué)”都是6位數(shù)，且順序相反為了保證“業(yè)”＞4且位數(shù)不變，只能是1×4=4，∴“業(yè)”=1，“學(xué)”=1，提示得證。1和4已經(jīng)取完了，那么“前”也想實現(xiàn)不進位，那么就2×4=8，于是“前”=2，“專”=8，百位進3，算式進而得到“12教育81×4=48育教24”?，F(xiàn)在已知百位進3，且“教”只有取0才不會與其他數(shù)重復(fù)，則“育”=0，結(jié)合百位進3和多位數(shù)乘一位數(shù)的法則，“教”必然是3。算是的結(jié)果是123081×4=480324。故“學(xué)”=1，“前”=2，“教”=3，“育”=0，“?！?8，“業(yè)”=1。

空瓶子換飲料：

????????我們在生活中經(jīng)常會碰到一些有趣的數(shù)學(xué)問題，例如商家為了搞促銷活動。會有空啤酒瓶換啤酒或者空汽水瓶換汽水的活動，看似非常簡單的事情，卻引出了許多數(shù)學(xué)問題哦!

????????我們知道，可換的汽水瓶數(shù)量是除以換一瓶，汽水空的瓶還可以再換哦。

????????如果做題不夠嚴謹，我相信很多孩子都不會得到最后借的一罐的，所以我們除了想到所有罐喝完再換完后仍然是可以再借一罐的。因此：一共喝到的汽水數(shù)量等于最初買的瓶數(shù)加上后來換的瓶數(shù)。注意換的汽水喝完后的空瓶還可以再換，一直換到剩下的空瓶不夠換為止。

????????當有空飲料瓶在第一次沒有兌換的話，就可以先留著，等到和第一次換到的飲料喝完后再一起兌換，所以在考慮這些問題的時候，做到最后一定問下自己，是否還有兌換的可能，不要漏掉一些可能性。

????????例題：一家冷飲店規(guī)定，喝完汽水后，用3個空汽水瓶換1瓶汽水，15個同學(xué)在這家冷飲店買了10瓶飲料，他們能夠每人都喝到一瓶嗎？

????????解答：10÷3=3（瓶）……1（個），3+1=4（個），4÷3=1（瓶）……1（個），此時還有2個空瓶，可以向冷飲店借1瓶飲料，然后在給他3個瓶子，10+3+1+1=15（瓶）。答：他們能夠每人喝到一瓶。

邏輯推理簡介：

????????什么是邏輯推理？邏輯推理即根據(jù)周圍的環(huán)境和活動，找出內(nèi)在的邏輯關(guān)系，從而找出符合其內(nèi)在邏輯關(guān)系的結(jié)論。簡單的說成大白話就是：說出的話、得出的結(jié)論都得有理有據(jù)，并符合邏輯。

常見的推理形式：

????????奧數(shù)中有列表推理、畫圖推理、假設(shè)推理、矛盾推理。高中數(shù)學(xué)有歸納推理、演繹推理。邏輯學(xué)中有三段論、假言推理、選言推理、關(guān)系推理。幼小教育有觀察、類比、聯(lián)想? ?? ??

畫圖推理：

????????畫一個二維的表格，其中一行（或一列代表對象），另一行（或另一列代表類型）。根據(jù)有序數(shù)對來推理出所對應(yīng)的元素。如果推理出的元素符合題意，那么該行、該列的所有剩余元素都不合題意。然年后再看下一個已知條件，根據(jù)已知條件繼續(xù)推理所對應(yīng)的元素，根據(jù)有序數(shù)對來判斷它的位置。剩下的就可以直接從行和列中繼續(xù)排除，從而確定答案。這也說明了畫圖推理具有“唯一性”。做題時符合題意的元素記為“√”，不合題意的元素記為“×”。

假設(shè)推理：

????????畫出一條線段。根據(jù)每兩個對象中的大小關(guān)系確定位置（越大數(shù)量的元素的位置越往后，越小數(shù)量的元素的位置越往前），往后依次推理，把每個推理的對象畫在該條直線內(nèi)并做上標記。依次推理的基本形式是同小取小，同大取大，大小取中間，再往后依次推理的形式同理上一步。

假設(shè)推理：

????????先假設(shè)一個錯誤的結(jié)論，再根據(jù)題意對每句話進行推理判斷，觀察哪一句話與假設(shè)有內(nèi)在關(guān)系，當你找到了那句話，就意味著假設(shè)已經(jīng)不成立了。

矛盾推理：

????????矛盾推理是在假設(shè)的基礎(chǔ)上，當說明假設(shè)不成立后，利用排除法把不能推出結(jié)論的條件依次排除，得到最終的結(jié)論，同時也是最終的答案。

歸納推理：

????????由部分到整體、個別到一般的推理是歸納推理。

演繹推理：

????????演繹推理屬于必然性推理。就是前提真，推理形式正確，結(jié)論必然為真。

三段論：

????????是由兩個含有共同項的性質(zhì)判斷作為前提，得出一個新的性質(zhì)判斷為結(jié)論的演繹推理。三段論是演繹推理的一般模式，包含三個部分：大前提——已知一般的原理，小前提——所研究的特殊情況，結(jié)論——根據(jù)一般的特殊原理，對特殊情況作出判斷。

????????其中，結(jié)論的主項叫做小項，用“S”表示；結(jié)論中的謂項叫做大項，用“P”表示；兩個前提中共有的項叫做中項，用“M”表示。三段論推理是根據(jù)兩個前提所表明的中項M與大項P和小項S之間的關(guān)系。通過中項M的媒介作用，從而推導(dǎo)出確定小項S與大項P之間的結(jié)論。

假言推理：

????????是以假言判斷為前提的推理。假言推理分為充分條件假言推理和必要條件假言推理。

????????充分條件假言推理的基本原則是：小前提肯定大前提的前件，結(jié)論就肯定大前提的后件；小前提否定大前提的前件，結(jié)論就否定大前提的后件。如下面的兩個例子：（1）如果一個數(shù)字的末尾是0，那么這個數(shù)能被5整除；這個數(shù)的末尾是0，∴這個數(shù)能被5整除。（2）如果一個圖形是正方形，那么它的四邊相等；這個圖形的四邊不相等，∴它不是正方形。

????????兩個例子中的大前提都是一個假言判斷，∴這種推理盡管與三段論有相似的地方，但它不是三段論。

????????必要條件假言推理的基本原則是：小前提肯定大前提的后件，結(jié)論就要肯定大前提的前件；小前提否定大前提的后件，結(jié)論就要否定大前提的后件。如下面的兩個例子：（1）只要肥料足，菜才長得好。這塊菜地長得好，∴這塊菜地肥料足。（2）育種時，只有達到一定的溫度，種子才能發(fā)芽。這次育種沒有達到一定的溫度，∴種子沒發(fā)芽。

選言推理：

????????選言推理分為相容的宣言推理和不相容的選言推理。

????????相容的選言推理的基本原則是：大前提是一個相容的選言判斷，小前提否定了其中一個或一部分選言支，結(jié)論就要肯定剩下的一個選言支。例如：這個三段論的錯誤，或者是前提不正確，或者是推理不符合規(guī)則；這個三段論的前提是正確的，∴這個三段論的錯誤是推理不符合規(guī)則。

????????不相容的選言推理的基本原則是：大前提是不相容的選言判斷，小前提肯定其中的一個選言支，結(jié)論則否定其他的選言支；小前提否定其中的除其中一個以外的選言支；結(jié)論則肯定剩下那個選言支。例如下面兩個例子：（1）一個詞，要么是褒義的，要么是貶義的，要么是中性的?！敖Y(jié)果”是個中性詞，∴“結(jié)果”不是褒義詞也不是貶義詞。（2）一個△，要么是銳角△，要么是鈍角△，要么是Rt△。這個△不是銳角△和Rt△，∴它是個鈍角△。

關(guān)系推理：

????????關(guān)系推理是前提中至少有一個是關(guān)系命題的推理。

觀察推理、想象推理和類比推理

????????如果命題屬于圖片，以平面圖片代替為關(guān)系命題，通過觀察平面圖片的特點和區(qū)別進行分析，這就是觀察推理。想象推理也是觀察推理的一種，只不過圖片是立體圖形而已了。另外，想象推理的命題與事物有關(guān)是事物，通過題目中提供的條件，綜合性地找出事物背后的本質(zhì)，從而推斷最后的結(jié)論。類比推理可以是圖形推理，也可以是文字推理，如果是圖形推理，就要找出每個圖形之間的特征關(guān)系，利用圖形的特征關(guān)系推理出相似的圖形（注：這里說的相似不是相似三角形里的相似）來選擇最終要推理出的圖形，從而得到結(jié)論，如果是文字推理，那么首先先要思考語句所表達的的含義，根據(jù)所表達的含義判斷哪句話的含義與原句的含義最相似（有時也會考到其他術(shù)語，比如最好的證明、削弱論斷）。比如：問：為什么你在照鏡子時，你離鏡子越近，照出來的你越大，反之你離鏡子越遠，找出來的你越小，如果你貼上了鏡子，鏡子就照不到你了？回答：因為你的眼睛屬于一個透鏡，透鏡成像的焦距有變化。你自己是實物，鏡子中的你是虛像。焦距與相距成正比，于是焦距會隨著物距的變化而變化。而一旦貼上了鏡子，此時焦距就是0，0是個空數(shù)，鏡子當然照不到你。

????????例1：為了熟悉各個部門的工作，某部門實施輪崗制度，人事部門的張三，后勤部門的李四，綜合班的王五三人進行轉(zhuǎn)崗，其中李四不去人事部。那么輪崗的結(jié)果是：

????????A、張三去后勤部，李四去綜合辦，王五去人事部。

????????B、張三去綜合辦，李四去后勤部，王五去人事部。

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