這就是實(shí)境的終極，強(qiáng)者的終極，世界的終極.---Fatal!Chaos

無限大的宇宙

在終極時代前，有限宇宙和無限大的宇宙之間的差距依然并沒有終極時期那般巨大，這個時期的符合有限宇宙定義的宇宙的差距依然存在，但這個時期的與??等勢的有限宇宙依舊明確小于且不等于無限大的宇宙，單個無限大的宇宙是大于無限多的能量和且不可被明確定義，無限大的宇宙是不存在明確形狀和構(gòu)造，它本身的尺度是無窮大的，無限大的多維空間(以有限大的三維空間舉例，它的長，寬，高這三條軸可以是100^69光年，789^1123光年，999^999^999...Googol(10^100)光年...,而無限大的三維空間的長，寬，高三條軸必須大于或等于??光年或更高，其它多維空間的軸都以此類推")，無限大的質(zhì)量(10^69t(1000㎏)，10^896t，10^9999t...，n(無限)t)，無限多的基本粒子(10^76，10^869，10^9999...，n(無限))在其中隨機(jī)劃分任何一個單一區(qū)域(單個粒子，恒星系，超星系團(tuán)...)，或者完全隨機(jī)的以光年為尺度的任意天體，粒子運(yùn)動完全相同的超星系團(tuán)以及其他更大宇宙結(jié)構(gòu)(包括其中所有的粒子)，在一個無限大的宇宙中這種產(chǎn)物一概都是無限多的

序數(shù)前時代

序數(shù)前時代的力量都可以以重數(shù)計算，由于序數(shù)前時代未正式進(jìn)入無限這1量級，重數(shù)體系幾乎只能應(yīng)用于序數(shù)前時代，并不適用于所有宇宙內(nèi)的體系

序數(shù)時代

ω級宇宙

對于ω級宇宙來說，一個無限大的宇宙可以作為0，也就是空集，0={}，1 ={0}，2 = {0，1}，3={0，1，2}，4={0，1，2，3}，5={0，1，2，3，4}，6={1，2，3，4，5}，7={1，2，3，4，5，6}...

每個序數(shù)宇宙的合集都包含之前的宇宙，它包含的元素多于先前的宇宙，每個序數(shù)宇宙都包含且大于大于先前的宇宙

這些都是序數(shù)，有限序數(shù)，而在此有一個合集ω，它包含所有的有限序數(shù)，它在所有有限序數(shù)之后，畢竟它包含了所有的有限序數(shù)

ω = {0, 1, 2，3，4，5，6，7 ...}

而ω集宇宙，指的就是包含所有有限序數(shù)宇宙的宇宙合集

在序數(shù)時代，ω可以說是理論上限，畢竟 ??＝card(ω…ω^ω…ω^ω^ω…ε…ζ…)，但在序數(shù)時代，ω之后的序數(shù)只作為一種計量單位，而非明確量級

ω2宇宙

ω，ω+1={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω}，ω+2={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1}，ω+3={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2}，ω+4={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3}，ω+5={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4}，ω+6={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4，ω+5}，ω+7={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4，ω+5，ω+6}...ω+ω={0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3，ω+4，ω+5，ω+6，ω+7...}，ω+ω宇宙也就是這所有序數(shù)所指代宇宙的集合

ω^ω宇宙

這一階段發(fā)生了質(zhì)變，與先前有所不同的是，ω^ω宇宙不再是純粹的序數(shù)堆疊，ω^ω宇宙除了包含0 ... ω，ω+1，ω+2，ω+3...，ω2，ω^3，ω^4，ω^5，ω^6，ω^7...，ω^ω宇宙以外，在當(dāng)前宇宙維持不變的情況下，每個單個序數(shù)都可以拆分出它們所擁有的子集，比如3可以拆分出0，1，2，而0，1，2可以單獨(dú)拆分出單獨(dú)的子集，比如2可以拆出0，1，以此類推，先前所有的序數(shù)都可以如此拆分，所有單獨(dú)的序數(shù)都代表全新且完全獨(dú)立的宇宙，在把所有序數(shù)單獨(dú)拆分的子集再分別組合出全新的宇宙0+1，0+2，0+3，0+1+2，0+1+2+3...，ω+1+2，ω+1+2+3...ω+ω+ω...所有單獨(dú)的子集與不同的子集相互合并產(chǎn)生出新且包含兩者元素的更大合集，這些都是與先前獨(dú)立的合集，當(dāng)然ω^ω宇宙還包含了更多合集，拿ω來說，一個ω所包含的所有有限序數(shù)可以被單獨(dú)列出，ω={0, 1, 2，3，4，5，6，7，8，9?...}

而被單獨(dú)列出的序數(shù)則包含{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，2，4，5，6，7，8，9...}...，這些單獨(dú)的合集可以繼續(xù)單獨(dú)合并產(chǎn)生更大合集，以此類推，ω+1可以列出的宇宙包含{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，2，4，5，6，7，8，9...}...，{0，1，2，3，4，5，6，7，89...，ω}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...，ω}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...ω}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...ω}，{0，1，3，4，5，6，7，8，9...ω}...，這所有列出的子集和ω列出的子集獨(dú)立，這些單獨(dú)的子集可以全部單獨(dú)相互合并產(chǎn)生新合集ω+ω宇宙除了可以提取先前的序數(shù)以外，它還可以{0，1，2，3，4，5，6，7...，ω，ω+1，ω+2，ω+3...}，它所包含的每一個0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...，ω，ω+1，ω+2，ω+3...，ω+ω，ω+ω+1，ω+ω+2，ω+ω+3...，ω^3，ω^4，ω^5，ω^6，ω^7，ω^8，ω^9...都可以單獨(dú)以先前的方式列出單獨(dú)的合集，這里所有的合集都可以和先前的所有單獨(dú)子集和已合并后產(chǎn)生的新的合集，以及合并前的合集，沒有合并過的合集相互合并產(chǎn)生新合集，它們所包含的子集依舊繼續(xù)與新產(chǎn)生的獨(dú)立合集繼續(xù)合并，所有合并前合集和合并后合集一概共存，這些所有合集的合集，就是ω^ω宇宙

ω^ω^ω宇宙

以此類推，繼續(xù)無限堆疊，就是ω^ω^ω宇宙

...

在此后續(xù)的宇宙都將按ω^ω宇宙的子集合并方式堆疊

ε1宇宙

ε0=ω^ω^ω^?..... ^ω=ω↑↑ω

ε0+1，ε0+2，ε0+3...，ε0^2，ε0^3...，ε0^ε0，ε0^ε0^ε0...

ε1=ω^ω^ω^ω^ω^ω^...^(ε0+1)

ε2，ε3，ε4，ε5，ε6，εε0

序數(shù)宇宙堆疊

_在此代指下角標(biāo)

ζ_0=ε(ε(...ε(ε_0)...))

φ_0(0)=ω=φ(0,0)

φ_1(0)=ε_0=φ(1,0)

φ_2(0)=ζ_0=φ(2,0)

φ_3(0)=η_0=φ(3,0)

φ(4,0)

φ(ω,0)

φ(φ(4,0),0)

φ(φ(φ(ζ_0,0),0)

Γ_0=φ（φ（...φ（0)...),0），Γ_0是二元φ函數(shù)的不動點(diǎn)，即φ（Γ_0,0）=Γ_0本身

繼續(xù)往上需要用到φ函數(shù)的拓展.Γ_0也表示為φ（1,0,0）

Γ_1=φ（1,0,1），Γ_ω=φ（1,0,ω）

x→Γ_x 不動點(diǎn)是 φ（1,1,0）

φ（2,0,0）是 x→φ（1,x,0）的不動點(diǎn)

阿克曼序數(shù)φ(1,0,0,0)，其已超越Γ表示的極限

序數(shù)元φ函數(shù) φ(1@ω)=φ(1,0,0,0,...) 增長率為SVO

Small Veblen ordinal

定義 Madore's ?函數(shù)：

令ω為第一個超限序數(shù)，Ω為第一個不可數(shù)序數(shù)。接著定義:

C0(α)={0,1,ω,Ω}

Cn+1(α)={γ+δ,γδ,γδ,ψ(η)|γ,δ,η∈Cn(α);η<α}

C(α)=?n<ωCn(α)

ψ(α)=min{β<Ω|β?C(α)}

ψ(0)=ε0

ψ(1)=ε1

ψ(2)=ε2

ψ(n)=εn

ψ(ζ0)=ζ0

ψ(ζ0+1)=ζ0

...

ψ(Ω)=ζ0

ψ(Ω+1)=εζ0+1

ψ(Ω+n)=εζ0+n

ψ(Ω+ζ1)=εζ0+ζ1=ζ1

ψ(Ω+ζ1+1)=ζ1

...

ψ(Ω2)=ζ1

ψ(Ω2+1)=εζ1+1

ψ(Ω2+n)=εζ1+n

ψ(Ω2+ζ2)=εζ1+ζ2=ζ2

ψ(Ω2+ζ2+1)=ζ2

ψ(Ω3)=ζ2?

ψ(Ωn)=ζn?1

ψ(Ωη0)=η0

ψ(Ωη0+1)=η0

...

ψ(Ω^2)=η0

ψ(Ω^2+1)=εη0+1

ψ(Ω^2+n)=εη0+n

ψ(Ω^2+Ω)=ζη0+1

ψ(Ω^2+Ω2)=ζη0+2

ψ(Ω^2+Ωn)=ζη0+n

ψ(Ω^2+Ωη1)=η1

ψ(Ω^2·2)=η1

ψ(Ω^2·n)=ηn-1

ψ(Ω^2φ4(0))=φ4(0)

ψ(Ω^3)=φ4(0)

...

ψ(Ω^3φ5(0))=φ5(0)

...

ψ(Ω^n)=φ1+n(0)

ψ(Ω^Γ0)=Γ0

ψ(Ω^Ω)=Γ0

...

ψ(Ω^Ω+Ω^Γ1)=Γ1

ψ(Ω^Ω2)=Γ1

ψ(Ω^Ωn)=Γn?1

...

ψ(Ω^Ω+1)=φ(1,1,0)

...

ψ(Ω^Ω^n)=φ(n，0，0)

ψ(Ω^Ω^2)=φ(1，0，0，0)

ψ(Ω^Ω^3)=φ(1，0，0，0，0)

...

ψ(Ω^Ω^ω)=φ(1,0,?,0)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??ω

large veblen ordinal?

ψ(Ω^Ω^Ω)=ψ(Ω^Ω^ψ^(Ω^Ω^ψ(...)))

=φ(1,0,...,0)

? ? ? ? ? ?

? ?φ(1,0,...,0)

? ? ? ? ???

?? ?φ(1,0,...,0)

? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ??φ(...)

Bachmann-Howard ordinal

ψ(εΩ+1)=ψ(Ω^Ω^...^Ω)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??ω

Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal

定義Buchholz'sψ函數(shù)：

C^0ν(α)=Ων

C^nν+1(α)=C^nν(α)∪{γ|P(γ)?C^nν(α)}

∪{ψμ(ξ)|ξ∈α∩C^nν(α)∧ξ∈Cμ(ξ)∧μ≤ω}

Cν(α)=?n<ωCνn(α)

ψν(α)=min{γ|γ∈Cν(α)}

Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal出現(xiàn)：一個序數(shù)是Takeuti-Feferman-Buchholz則等價于使用 Buchholz ?記法下的ψ0(ε_Ω_ω_+1)

CK是Church-Kleene的縮寫，兩位數(shù)學(xué)家Alonzo·Church和Stephen·Cole·Kleene共同定義了可計算序數(shù)：一個序數(shù)α是可計算的，當(dāng)且僅當(dāng)集合α存在一個位于Ν上的可計算關(guān)系

ωck1，ωck2，ωck3...

Admissible ordinal

在此之后，遇到Admissible ordinal?

一個序數(shù)γ是 Admissible ordinal 若集合論的 Kripke-Platek 公理滿足可構(gòu)造宇宙層級?

特別的：上面的 CK 是最小的 admissible ordinal?

Relativized Church-Kleene ordinal

給 Church-Kleene ordinal 配一個諭示（oracle）：它包含實(shí)數(shù)

于是相對化邱奇 - 克林序數(shù)ωx1出現(xiàn)了：滿足對于任何 ?- 可計算實(shí)數(shù)的上確界。

這也是相對于x的最小Admissible ordinal

無限時間圖靈機(jī)上的序數(shù)

無限時間圖靈機(jī)（Infinite Time Turing Machine）作為超計算（Hypercomputation）

模型中的一員，可以在超限時間內(nèi)進(jìn)行計算，具有遠(yuǎn)超圖靈機(jī)的計算能力：

任意算術(shù)集是無限時間圖靈機(jī)可判定的；Π11∪Σ11同樣是無限時間圖靈機(jī)可判定的。

首先，無限時間圖靈機(jī)在運(yùn)行時會產(chǎn)生兩個序數(shù)：

writable ordinal 和 eventually writable ordinal 。

可寫序數(shù)（writable ordinal）表示一個實(shí)數(shù)滿足機(jī)器的一個程序，它可以借助簡單的輸入

把這樣一個數(shù)寫在輸出帶子上，然后停機(jī)。

終可寫序數(shù)（eventually writable ordinal）表示一個實(shí)數(shù)滿足機(jī)器的一個程序，通過簡單的輸入就可以在輸出帶上寫入一個實(shí)數(shù)，從某一點(diǎn)開始，輸出帶將這個實(shí)數(shù)作為最終的穩(wěn)定值，即使機(jī)器沒有停機(jī)。

現(xiàn)在，它們終于出現(xiàn)了：

一個序數(shù)λ：writable ordinals 的上確界；

一個序數(shù)ζ：eventually writable ordinals 的上確界；

一個序數(shù)Σ：accidentally writable ordinals 的上確界，而且是可計算不可達(dá)序數(shù)

它們的大?。?

λ<ζ<Σ

Stable ordinals

推廣 Admissible ordinal 的 Admissible 性質(zhì)的不同強(qiáng)化變體，Stability 被發(fā)展成一個大的可數(shù)序數(shù)性質(zhì)。

Stable ordinals 利用反射原理來定義。

最小的 stable ordinal ?會有以下特征：

最小的 stable ordinal β 會有以下特征：若一個 α<β 的序數(shù) α 會滿足 Lα?ZFC。一個可數(shù)序數(shù)α是一個stable ordinal當(dāng)且僅當(dāng) Lα?Σ1L等價于Lα?Σ1Lω1

基數(shù)時代

在基數(shù)時代, ??是最基礎(chǔ)的單位，在這個時期的力量與序數(shù)時代沒有明確轉(zhuǎn)化關(guān)系，這兩者的部分量級等勢

無限大的宇宙

基數(shù)時代的無限大的宇宙包括有限大的宇宙，有限大但無限增長的宇宙，有限大但有限增長的宇宙，無限大但增長有限的宇宙，無限大且無限增長的宇宙...，在無限大的宇宙中，這些能在某種程度上可被確定種類的宇宙的基數(shù)是 ??. 所有被無限大的宇宙包含的宇宙的總數(shù)也是???.

??級宇宙

???＝card(ω…ω^ω…ω^ω^ω…ε…ζ…)

???是所有自然數(shù)的總數(shù)

???宇宙就是包含 ??個無限大的宇宙的合集，它作為包含??個無限大的宇宙合集在此與 ??等勢

?a+1:=card(Z(?a))

??1級宇宙

以{1，2，3?}舉例，{1，2，3}的冪集包含{}，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，{1，2，3}

在??中，以 {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9...}為單個合集 ??的子集可以是{1，3，5，7，9...}，{2，4，6，8...}?，{1，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，2，3，4，5，6，7，8，9...}，{0，1，3，4，56，7，8，9...}...這樣不斷列出 ??子集，而通過這樣取冪，我們可以構(gòu)造出一個比 ??更大的無限

2^?a=?a+1

??的冪集大于等于 ?1

??^ ??=?1

?1級宇宙與 ??的冪集等勢

阿列夫宇宙

???宇宙與 ??等勢

而利用替代公理和冪集，可以不斷構(gòu)造出越來越大的阿列夫數(shù)

??，?1，?2，?3...，?ω，?ω+1，?ω+2，?ω+3...，?ω+ω，?ω+ω+1，?ω+ω+2，?ω+ω+3...，?ω+ω+ω，?ω×2+1，?ω×2+2，?ω×2+3...，?ω×3，?ω×4，?ω×5，? ?ω×6...，?ω×ω，?ω2+1，?ω2+2，?ω2+3...，?ω2+ω，?ω2+2ω，?ω2+3ω...，?ω^3，?ω^4，?ω^5，?ω^6...，?ω^ω，?ω^ω^ω，?ω^ω^ω^ω...，?ε0，?ε0+1， ?ε0+2， ?ε0+3...， ?ε0+ω...，?ε0×2，?ε0×3...，?ω^(ε0+1)，?ω^ω^(ε0+1)，?ω^ω^ω^(ε0+1)...， ?ε1， ?ε2，?ε3...，?εω...，?εε0，?εεε0...，?ζ0，?ζ1，?ζ2,?ζ3...，?φ(3，0)，?φ(4，0)，?φ(5，0)，?φ(6，0)，?φ(7，0)...，?φ(ω，0)，?φ(ω+1，0)...，?φ(ε0，0)...，?φ(ζ0，0)...，?φ(φ(3，0)，0)...，?φ(φ(ω，0))，?φ(φ(φ(ω，0)，0)，0)...，?φ(1，0，0)，?φ(1，0，1)...，?φ(1，1，0)...，?φ(1，0，0，0)...，?φ(1@4)，?φ(1@5)...，?φ(1@ω)，?φ(1@ω+1)...，?φ(1@ε0)，?φ(1@ζ0)...?LVO，?BHO，?TFB...，?ψ(ωΩ)，?ψ(I(0))...，?ψ(I(I(0)))...，?ψ(εI+1)，?ψ(εM+1)...，?ω1ck，?ω2ck，?ω3ck...

_在此代指下角標(biāo)

?ω1，?ω2，?ω3，?ω4，?ω5，?ω6，?ω7

...

?ω_ω，?ω_ω_ω，?ω_ω_ω_ω，?ω_ω_ω_ω_ω，?ω_ω_ω_ω_ω_ω

...

?ω_ω_ω_ω_ω……ω(??個ω)

?_φ0=?ω_ω_ω_ω_ω……ω(??個ω)

φ0=阿列夫不動點(diǎn)

φ0，φ1，φ2，φ3...，φω，φω+1，φω+2，φω+3...，φω2，φω3 ，ω^4...，φω^ω，φω^ω^ω，φω^ω^ω^ω...，φε0，φε1，φε2，φε3，φε4，φε5，φε6，φεε0...，φζ0，φζ1，φζ2...，φη0,φη1，φη2...，φΓ0，φΓ1，φΓ2...，φSVO，φLVO，φBHO，φTFB...，φω1ck，φω2ck，φω3ck...

φ?1，φ?2，φ?3...，φ?ω1，φ?ω2，φ?ω3，φ?ω4，φ?ω5，φ?ω6，φ?ω7

...

φ?ω_ω，φ?ω_ω_ω，φ?ω_ω_ω_ω，φ?ω_ω_ω_ω_ω，φ?ω_ω_ω_ω_ω_ω

...

φ?ω_ω_ω_ω_ω……ω(??個ω)

φ?_φ0=φ?ω_ω_ω_ω_ω……ω(??個ω)

φ?_φ0=φ(φ0)

φ(φ(φ0))，φ(φ(φ(φ0))))，φ(φ(φ(φ(φ(φ0)))))...

φ(φ(φ(...φ0)...)))=φ(0，0)

? ? ? ??

? ?(??個φ)

φ(0，k+1)=φ(φ(φ...(φ(0,k)+1)...))))

φ(0，0)，φ(0，1)，φ(0，2)...

φ(0，?1)，φ(0，?2)，φ(0，?3)...

φ(0，φ(0))，φ(0，φ(0，0))，φ(0，φ(0，φ(0，0)))...

φ(α+1，β+1)={x∈ω|f(x)，f(0)=φ(a+1，β)+1，f(x+1)=φ(α，f(x))}

φ(α+1，0)={x∈ω|f(x)，f(0)=φ(α,0)，f(x+1)=φ(α，f(x))}

φ(1，0)，φ(1，1)，φ(1，2)...

φ(1，ω)...，φ(1，ω^ω)...，φ(1，ε0)...

φ(1，?1)，φ(1，?2)，φ(1，?3)...

φ(1，φ0)，φ(1，φ1)，φ(1，φ2)...

φ(1，φ(1，0))，φ(1，φ(1，φ(1，0)))，φ(1，φ(1，φ(1，φ(1，0))))...φ(2，0)，φ(3，0)，φ(4，0)，φ(5，0)，φ(6，0)，φ(7，0)...

φ(ω，0)，φ(ω，ω)...，φ(ω+1，0)...，φ(ε0，0)...，φ(ζ0，0)...，φ(SVO，0)，φ(LVO，0)，φ(TFB，0)...，φ(ω1CK，0)...，φ(?1，0)，φ(?2，0)，φ(?3，0)

...

φ(?ω1，0)，φ(?ω2，0)，φ(?ω3，0)...

φ(φ(ω，0)，0)，φ(φ(ω^ω，0))，φ(φ(ε0，0))...，φ(φ(?1，0))，φ(φ(?2，0))，φ(φ(?3，0))...

φ(φ(?ω1，0))，φ(φ(?ω2，0))，φ(φ(?ω3，0))

...

φ(φ(φ0，0)，φ(φ(φ1，0))，φ(φ(φ2，0))

...

φ(φ(φ(φ0，0)))，φ(φ(φ(φ1，0)))，φ(φ(φ(φ2，0)))...

φ(φ(φ(φ0...，0)))...，φ(φ(φ(φ(φ0，0))))...，φ(φ(φ(φ(φ(φ0，0)))))...，φ(φ(φ(φ(φ(φ(φ0，0))))))...

φ(1，0，0)...

ψ(Ω^Ω^2)=φ(1，0，0，0)

ψ(Ω^Ω^3)=φ(1，0，0，0，0)

...

ψ(Ω^Ω^ω)=φ(1,0,?,0)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ω

...

ψ(Ω^Ω^Ω)=ψ(Ω^Ω^ψ^(Ω^Ω^ψ(...)))

=φ(1,0,...,0)

? ? ? ? ? ?

? ?φ(1,0,...,0)

? ? ? ? ? ?

? ? φ(1,0,...,0)

? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? φ(...)

...

ψ(εΩ+1)=ψ(Ω^Ω^...^Ω)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ω

...

ψ(ε_(Ω+1))=BHO

...

ωck1，ωck2，ωck3

...

不可達(dá)基數(shù)

假設(shè) κ 是最小的不可達(dá)基數(shù)，那么 {α<κ:cf(α)=α} 不是 κ 的平穩(wěn)子集，因為 {α<κ:cf(α)<α} 作為 κ 的無界閉子集與其相交為空。 若 κ 是第 α<κ 個不可達(dá)基數(shù)，{α<κ:cf(α)=α} 依舊不是 κ 的平穩(wěn)子集，取 κ 中最大的不可達(dá)基數(shù) λ ，{α<κ:λ<α} 作為 κ 的無界閉子集與其相交為空。

因此，倘若 {α<κ:cf(α)=α} 是 κ 的平穩(wěn)子集，那么 κ 會是第 κ 個不可達(dá)基數(shù)。

假設(shè) V?ZFC ，對任意公式 Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,定義函數(shù) fφi:Vn→V

若 Q1x1 為 ?x1 ，并且 V?Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,則 fφi(xm+1,…,xn) 為秩最小的使得 ?x∈VαQ2x2,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn)成立的 Vα ，倘若這樣的 x 不存在，則為 0

若 Q1x1 為 ?x1 ，并且 V?Q1x1,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn) ,則 fφi(xm+1,…,xn) 為秩最小的使得 ?x∈Vα?Q2x2,…,Qmxmφi(xm+1,…,xn)成立的 Vα ，倘若這樣的 x 不存在，則為 0

令 F={φn:n∈ω} 是對所有公式的枚舉，定義

fF(x1,…,xn)=?{fφn(x1,…,xn):φn∈F} ，即為某個 Vγ ，其包含了最底限的使得形如 ?xφ(x,…,xn) 類命題成立的 x ，若不包含使得形如 ?x?φ(x,…,xn)類命題成立的 x ，即意味著 ??x?φ(x,…,xn)??xφ(x,…,xn) 成立。既然 ?xφ(x,…,xn) 在 V 中成立自然也不可能存在這樣的 x 。

任取 Vγ 遞歸定義： Vγ0=Vγ ；

Vγn+1=Vγn∪?{fF(x1,…,xn):x1,…,xn∈Vγn} ；

?Vλ=?n∈ωVγn?

則 V?φ(x1,…,xn)?Vλ?φ(x1,…,xn) ，若 V 中不存在世界基數(shù)，則 V=Vλ ，λ 是最小的世界基數(shù)（world cardinal），亦即最小的使得 Vλ?ZFC 的 λ

若 κ 為不可達(dá)基數(shù)，同樣有 Vκ?ZFC 。對任意形如 ?xφi(x,x1,…,xn) 的公式，定義函數(shù) gφi:κ→κ 為對任意 x1,…,xn∈Vα，?x∈Vgφi(α)φi(x,x1,…,xn)Vκ ， Vgφn(α) 即秩最小的 {x:φi(x,x1,…,xn)Vκ}∩Vλ≠? 的 λ 。而對任意形如 ?xφi(x) 的公式，定義函數(shù) gφi:κ→κ ，Vgφi(α) 即秩最小的包含 Vα 且 {x:φi(x)Vκ}∩Vλ≠? 的 λ 。

令 F={φi:i∈ω} 是對所有公式的枚舉，定義 gF(α)=?{gφi(α):φi∈F} ，則每一個滿足 gF(α)=α 的 α 都是世界基數(shù)。

定義 Ψ(0,S)=Ψ(S) , S 為任意長序數(shù)串。如 Ψ(0,α)=Ψ(α) ，Ψ(0,α,β)=Ψ(α,β) ，特別的，Ψ(α)=gF(α)

Ψ(S,α,Z,β)=min{γ|?δ<α(Ψ(S,δ,γ,Z)=γ)∧?δ<β(Ψ(S,α,Z,δ)<γ)} ，其中 0<α ，S 為任意長（可以為 0）序數(shù)串， Z 為任意長（可以為 0）的 0 字符串

如 Ψ(α,β) ，這里 S 和 Z 的長度均為 0，從而對于所有 δ<α ，Ψ(δ,Ψ(α,β))=Ψ(α,β) ，并且對所有 δ<β ，Ψ(α,δ)<Ψ(α,β)

后半段的情況是平凡，這里需要注意的是前半段， Z 發(fā)生了移位，這表明了 α 的遞減會使得右邊第一個數(shù) β 變?yōu)?0 ，并且需要看往左數(shù)第一個非 0 序數(shù)，也正是發(fā)生的另一個改變的數(shù)—— α 右邊第一個0 代替了 β 成為了 δ 管束下的變元，就如 Ψ(α,β) 中 β 受 α 管束。

以 Ψ(1,0,0) 為例，由于要求 0<α ，所以這里 α 只能是 1 ， S 再次長度為 0 ，β 倒是固定最右。由于小于 1 的數(shù)只有 0，所以這里發(fā)生的改變是 0 右邊的 0 變成變元，而 β歸零，Ψ(1,0,0) 將成為 Ψ(0,x,0) 的不動點(diǎn)。而開始已經(jīng)說了，首位為 0 的情況直接去除，也就是 Ψ(0,x,0)=Ψ(x,0) 。

而這里，之所以 β 要?dú)w零只留一個變元是在于 α≤Ψα(0)<Ψα(β+1) ，因此不存在 Ψα(α)=α 。

進(jìn)一步推廣到任意序數(shù)元的情形，令 α?β 表示從右往左數(shù)位置為 β 的參數(shù) α ，其余為零。如 Ψ(1?3)=Ψ(1,0,0,0) ，而在 α?0 的情況則表示最右邊的位置為 α

定義 Ψ(S,0?β,T)=Ψ(S,T) ，其中 S 、T 表示任意長（可以為 0 長）的序數(shù)串，Ψ(αn?βn,?,α2?β2,α1?β1,γ?0)=min{δ|?ξ<α1?η<β1(Ψ(S,ξ?β1,δ?η)=δ)∧?ξ<γ(Ψ(S,α1?β1,ξ?0)<δ)} 其中S=αn?βn,?,α2?β2 ，也就是說你依舊只需要看 Ψ(α1?β1,γ?0) 這兩段而已，但要注意的是，βn>?>β2>β1>0 ，因為同一位置不能即參數(shù)為 α 又參數(shù)為 β ，盡管它是描述 Ψ 在超限多參數(shù)的情況，但這里更多的是表示哪些位置有哪些參數(shù)。

以 Ψ(1?ω,γ?0) 為例，小于 1 的只有 0，0?ω 就直接被去掉了，但對于所有小于 ω 的 η ，Ψ(1?ω,γ?0) 則會成為 Ψ(x?η) 的不動點(diǎn)。并且對于所有小于 γ 的 ξ ，鑒于 γ?0 其實(shí)就是表示最右邊的數(shù)為 γ ，這其實(shí)就是表示第 γ 個 Ψ(x?η) 的不動點(diǎn)，自然平凡的有

Ψ(1?ω,ξ?0)<Ψ(1?ω,γ?0) ，或者說 Ψ(1,…,0,ξ)<Ψ(1,…,0,γ)

再以 Ψ(2?ω+ω) 為例，這里 γ?0=0 ，但它并不是首個 Ψ(1?ω+ω,x) 的不動點(diǎn)，而是對于所有小于 ω+ω 的 α ，都是 Ψ(1?ω+ω,x?α) 的不動點(diǎn)。對任意 κ ，Ψ(λ?κ)=λ 都是存在的，但對于 1<λ ，Ψ(λ?κ)=κ 是不存在的，畢竟 λ≤Ψ(1?λ)<Ψ(2?λ) ，而 Ψ(1?λ) 的情況會對于所有 α<λ ，成為 Ψ(x?α) 的不動點(diǎn)。

而所有這樣得到的世界基數(shù)，都仍是小于最小不可達(dá)基數(shù)的世界基數(shù)。特別的，令定義中的 Ψ(α)=gF(α) 更改為 Ψ(α)=W(α) ，W(α) 即第 1+α 個世界基數(shù)，則都小于之前的 Ψ(1,1) 具有的一個性質(zhì)——

VΨ(1,1)?φ?VΨ(1,0)?φ

假設(shè) Ψ(1,1) 是第 α<λ 個世界基數(shù)，VΨ(1,1) 滿足存在 <α 個世界基數(shù)，則有 VΨ(1,0) 滿足存在 <α 個世界基數(shù)，而 Ψ(1,0) 本身亦是一個世界基數(shù)，與 Ψ(1,1) 是第 α 個世界基數(shù)的假設(shè)矛盾。

假設(shè) Ψ(1,1) 是 W(2,0) ,即最小的滿足 λ 是第 λ 個世界基數(shù)，則 VΨ(1,1) 滿足世界基數(shù)在其中無界，同樣有 VΨ(1,0) 滿足世界基數(shù)在其中無界，與 Ψ(1,1) 是 W(2,0) 的假設(shè)矛盾。

若對兩個世界基數(shù) α,β 有 Vβ?φ?Vα?φ 則稱 α 為大世界基數(shù)，將 W(α) 改寫為 1+α 個大世界基數(shù)，則 Ψ(1,2) 具有的一個性質(zhì)—— VΨ(1,2)?φ?VΨ(1,1)?φ 同樣超越這些。但需要注意的是，即使是 Ψ(1,0) 都有 VΨ(1,0)?φ?Vκ?φ 的初等子模型，因而遠(yuǎn)大于此。

令 FX={φn(X):n∈ω} 是對所有以 X={α:Vα?Vκ} 為參數(shù)的公式的枚舉，定義函數(shù) gφn(X):κ→κ 為對任意 x1,…,xn∈Vα，?x∈Vgφn(X)(α)φn(x,x1,…,xn,X)Vκ ， Vgφn(X)(α) 即秩最小的 {x:φn(x,x1,…,xn,X)Vκ}∩Vλ≠? 的 λ ，再定義 gFX(α)=?{gφn(X)(α):φn(X)∈FX} ，則對 gFX(α)=α 均有 (Vα,Vα∩X,∈)?(Vκ,X,∈)

稱 κ 是不可達(dá)基數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對任意 X1,…,…Xn?Vκ ，均存在 α<κ ，使得 Vκ?φ(X1,…,…Xn)?Vα?φ(X1∩Vα,…Xn∩Vα) 。

假設(shè) κ 是奇異極限基數(shù)，考慮到共尾映射 f:α→κ ,取 {α} 與 f 和相應(yīng)的符號 U1,U2 來定義模型 (Vκ,{α},f,∈)??x(U1(x)∧U2:x→Ond) ,但對于任意 β<κ ， (Vβ,{α}∩Vβ,f∩Vβ,∈) 并不滿足?x(U1(x)∧U2:x→Ond) ，因為 dom(f∩Lβ)≠α?

假設(shè) κ 是正則后繼基數(shù)，考慮到雙射 f:α+→κ ,取 {α} 與 f 和相應(yīng)的符號 U1,U2 來定義模型 (Vκ,{α},f,∈)??x(U1(x)∧U2:x+→Ond) ,但對于任意 β<κ ， (Vβ,{α}∩Vβ,f∩Vβ,∈) 并不滿足 ?x(U1(x)∧U2:x+→Ond) ，因為 κ=α+ 而 κ 之下不存在一個 β=α+=κ

假設(shè) κ=ω ，則顯然 (Vω,∈)??x?y(x∈y) ，而 (Vn,∈)???x?y(x∈y)

取 S?P(κ) 滿足 ??S 且 X={α:Vα?Vκ}∈S 以及 X∈S→H(X)={α<κ:(Vα,Vα∩X,∈)?(Vκ,X,∈)} 和對任意 γ<κ 都有 ?a<γXα∈S 且有?{Xα:α<κ}?S

→{α＜κ:α∈?β<αXβ}∈S ，則稱 S 是對 {α:Vα?Vκ}的 0-閉包，記為 G({α:Vα?Vκ})

定義 S 上的選擇函數(shù) f(X) 為 X 在 ∈ 關(guān)系下的最小元，

取 S′?P(P(κ)) 滿足 ??S′ 且 S=G({α:Vα?Vκ})∈S′ 以及 S∈S′→H′(S)=G({α<κ:(Vα,Vα∩f[(Vα∩S],∈)?(Vκ,f[S],∈)})?

和對任意

γ<κ 都有 G({α<κ:(Vα,Vα∩?β<γf[Sβ],∈)?(Vκ,?β<γf[Sβ],∈)})∈S′

且有

{Sα:α<κ}?S′

→G({α<κ

:(Vα,Vα∩{α＜κ:α∈?β<αf[Sβ]},∈)

?(Vκ,{α＜κ:α∈?β<αf[Sβ]},∈)})∈S′?

，則稱 S′ 為對 {α:Vα?Vκ} 的 1-閉包，記為 G′({α:Vα?Vκ})

由于 S 上的選擇函數(shù) f 是 S 到 κ 的單射，故 |S|=κ 。又由于 ? 是 S′ 上的良序關(guān)系，且 G({α:Vα?Vκ}) 是其中的最小元，故 |S′|=κ 。定義 S′ 上的選擇函數(shù) f′(S) 為 S 在 ? 關(guān)系下的最小元，則 f(f′(S)) 為 f′(S) 在 ∈ 關(guān)系下的最小元。

若 α 滿足(Vα,Vα∩f[f′[S′]],∈)?(Vκ,f[f′[S′]],∈)，則稱 α 為Nanachi?

Vκ??α?β(β=?α) 即可知 κ 為極限基數(shù)，但 κ 為正則基數(shù)則取決于不存在以 κ 為值域的共尾映射的定義域非 κ ，是一則相對于 κ 的 Π11 命題。

不可描述基數(shù)

基數(shù)K稱為∏n

m-indescribable如果對于每個∏m命題(φ，并且設(shè)置A?∨κ與(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一個α<κ與(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。這里看一下具有m-1個量詞交替的公式，最外層的量詞是通用的?！莕

m-indescribable的基數(shù)以類似的方式定義。這個想法是，即使具有額外的一元謂詞符號（對于A）的優(yōu)勢，也無法通過具有m-1次量詞交替的n+1 階邏輯的任何公式將κ與較小的基數(shù)區(qū)分開來（從下面看）。這意味著它很大，因為這意味著必須有許多具有相似屬性的較小基數(shù)。

如果基數(shù)κ是∏nm，則稱它是完全不可描述的——對于所有正整數(shù)m和n都難以描述。

強(qiáng)可展開基數(shù)

形式上，基數(shù)κ是λ不可折疊的，當(dāng)且僅當(dāng)對于ZFC負(fù)冪集的每個基數(shù)κ的傳遞模型 M，使得κ在M中并且M包含其所有長度小于κ的序列，有一個將M的非平凡初等嵌入 j 到傳遞模型中，其中 j 的臨界點(diǎn)為κ且j(κ)≥λ。

一個基數(shù)是可展開的當(dāng)且僅當(dāng)它對于所有序數(shù)λ都是λ可展開的。

基數(shù)κ是強(qiáng)λ不可折疊的，當(dāng)且僅當(dāng)對于ZFC負(fù)冪集的每個基數(shù) κ 的傳遞模型 M使得κ在M中并且M包含其所有長度小于κ的序列，有一個非-將M的j簡單基本嵌入到傳遞模

型“N”中，其中j的臨界點(diǎn)為κ，j(κ)≥λ，并且V(λ)是N的子集。不失一般性，我們也可以要求N包含其所有長度為λ的序列。

可迭代基數(shù)

將基數(shù)κ定義為可迭代的，前提是κ的每個子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一個M-超濾器，允許通過任意長度的超冪進(jìn)行有根據(jù)的迭代。Gitman給出了一個更好的概念，其中一個基數(shù)κ被定義為α-iterable 如果僅需要長度為α的超冪迭代才能有充分根據(jù)。

拉姆齊基數(shù)

讓[ κ ]<ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 對于每個函數(shù)， 基數(shù) κ稱為 Ramsey

f : [ κ ]<ω→{0,1}

存在基數(shù)為κ的集合A對于f是齊次的。也就是說，對于每個n，函數(shù)f在A的基數(shù)n的子集上是常數(shù)。如果A可以被選為κ的固定子集，則基數(shù)κ被稱為不可言說的Ramsey。如果

對于每個函數(shù)， 基數(shù)κ實(shí)際上被稱為

Ramsey

f : [ κ ]<ω→{0,1}

存在C，它是κ的一個閉無界子集，因此對于C中具有不可數(shù)共尾性的每個λ，都存在一個與 f 齊次的入的無界子集；稍微弱一點(diǎn)的是lamost Ramsey的概念，其中對于每個λ<κ，需要有序類型λ的f的同質(zhì)集。

可測基數(shù)

為了定義這個概念，人們在基數(shù)κ上或更一般地在任何集合上引入了一個二值度量。對于基數(shù)κ，它可以描述為將其所有子集細(xì)分為大集和小集，使得κ本身很大，?并且所有單例{ α }，α ∈ κ很小，小集的

補(bǔ)集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。

事實(shí)證明，具有二值測度的不可數(shù)基數(shù)是無法從ZFC證明其存在的大基數(shù)。

形式上，可測基數(shù)是不可數(shù)基數(shù)κ，使得在κ的冪集上存在κ加性、非平凡、0-1值測度。（這里術(shù)語k-additive意味著，對于任何序列A α，α<λ的基數(shù)λ<κ，A α是成對相交的小于κ的序數(shù)集，A α的并集的度量等于個人A α的措施。)

強(qiáng)基數(shù)

如果λ是任何序數(shù)，κ是λ-strong意味著κ是基數(shù)并且存在從宇宙V到具有臨界點(diǎn)κ和Vλ?M

也就是說，M在初始段上與V一致。那么κ是強(qiáng)的意味著它對所有序數(shù)λ都是λ-強(qiáng)的。

伍丁基數(shù)

f : λ→λ

存在一個基數(shù)κ<λ和{f(β)|β<κ}和基本嵌入j : V→M

來自馮諾依曼宇宙V進(jìn)入可傳遞的內(nèi)部模型M和臨界點(diǎn)κ和V_j(f）(κ)?M

一個等效的定義是這樣的：

λ是伍丁當(dāng)且僅當(dāng)λ對所有λ來說都是非常難以接近的

A?V_λ存在一個λ_A<λ這是<λ-A-strong的

超強(qiáng)基數(shù)

當(dāng)且僅當(dāng)存在基本嵌入 j ：V→M從V到具有臨界點(diǎn)κ和V_j(κ)?M

類似地，基數(shù)κ是n-超強(qiáng)當(dāng)且僅當(dāng)存在基本嵌入j : V→M從V到具有臨界點(diǎn)κ和V_jn(κ)?M 。Akihiro Kanamori已經(jīng)表明，對于每個n>0，n+1-超強(qiáng)基數(shù)的一致性強(qiáng)度超過n-huge 基數(shù)的一致性強(qiáng)度。

強(qiáng)緊致基數(shù)

當(dāng)且僅當(dāng)每個κ-完全濾波器都可以擴(kuò)展為κ-完全超濾器時，基數(shù)κ是強(qiáng)緊湊的。

強(qiáng)緊基數(shù)最初是根據(jù)無限邏輯定義的，其中允許邏輯運(yùn)算符采用無限多的操作數(shù)。常規(guī)基數(shù)κ的邏輯是通過要求每個運(yùn)算符的操作數(shù)數(shù)量小于κ來定義的；那么κ是強(qiáng)緊致的，如果它的邏輯滿足有限邏輯緊致性的模擬。具體來說，從其他一些陳述集合中得出的陳述也應(yīng)該從基數(shù)小于κ的某個子集合中得出。

強(qiáng)緊性意味著可測性，并被超緊性所暗示。鑒于相關(guān)基數(shù)存在，與ZFC一致的是第一個可測基數(shù)是強(qiáng)緊基數(shù)，或者第一個強(qiáng)緊基數(shù)是超緊基數(shù)；然而，這些不可能都是真的。強(qiáng)緊基數(shù)的可測極限是強(qiáng)緊的，但至少這樣的極限不是超緊的。

強(qiáng)緊性的一致性強(qiáng)度嚴(yán)格高于伍丁基數(shù)。一些集合論學(xué)家推測強(qiáng)緊基數(shù)的存在與超緊基數(shù)的存在是等一致的。然而，在開發(fā)出超緊基數(shù)的規(guī)范內(nèi)模型理論之前，不太可能提供證明。

可擴(kuò)展性是強(qiáng)緊湊性的二階類比。

終極時代(標(biāo)準(zhǔn)亞現(xiàn)實(shí))

無限大的宇宙

在終極時代，任何有限大的宇宙都小于無限大的宇宙，無論是無限大且增長率無限的宇宙，無限大但增長率有限的宇宙，有限大且增長率無限的宇宙，有限大但增長率有限的宇宙，無限大且不斷增長的宇宙，無限大但有限增長的宇宙，有限大且無限增長的宇宙，有限大但有限增長的宇宙，無限大且無限膨脹的宇宙，無限大但有限膨脹的宇宙，有限大但無限膨脹的宇宙，有限大且有限膨脹的宇宙...無論與這些宇宙等勢的基數(shù)有多大，這些與阿列夫數(shù)，世界基數(shù)，不可達(dá)基數(shù)，馬洛基數(shù)，弱緊致基數(shù)，不可描述基數(shù)，強(qiáng)可展開基數(shù)，0^#exists0^# 存在，可代迭基數(shù)拉姆齊基數(shù)，強(qiáng)拉姆齊基數(shù)，強(qiáng)基數(shù)，伍丁基數(shù)，超強(qiáng)基數(shù)，強(qiáng)緊致基數(shù)，超緊致基數(shù)，可擴(kuò)展基數(shù)，沃彭卡原理，殆巨大基數(shù)，巨大基數(shù)，超巨大基數(shù)，1-巨大基數(shù)，2-巨大基數(shù)，3-巨大基數(shù)...n-巨大基數(shù)，公理I0-I3，0=1...宇宙都一概小于無限大的宇宙，它們都被無限大的宇宙包含和容納

終極世界

哥德爾的可構(gòu)造宇宙

L的構(gòu)造：Lo=?

L1=Def(Lo)=Def(?)={?}

...

Ln+1=Def(Ln)

...

Lω=Lo∪L1U...ULnU...=ULk

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?K<ω

...

Lλ={Def(La)? ? 若λ=α+1

? ? ? {U LK 若λ是極限序數(shù)? ??

? ? ?K<λ

L=ULK，K跑遍所有序數(shù)

? ? K

終極l

內(nèi)模型計劃(Inner Model program)

簡單地說,設(shè)V是真實(shí)的集合論宇宙,但由于哥德爾提出的集合論內(nèi)模型L無法容納大基數(shù)的存在。

在此之后的集合論學(xué)家們所做的就是:構(gòu)造類似于L的內(nèi)模型,同時能夠容納大基數(shù)。

Woodin證明了:如果存在一個類似于L的模型M,它能容納一個超緊致基數(shù)(supercompact) ,那就存在一個模型UU可以容納已知的所有大基數(shù); U非常接近集合論宇宙V。Woodin將這個模型U稱為終極L(Ultimate L)

摘自知乎作者Ember Edison

V=終極-L的直接推論?

(Axiom Icarus set) 見證最大基數(shù)Icarus的存在性。 (Woodin) 見證真類多的Woodin基數(shù)。?

(L-like) 是最大的內(nèi)模型。(ADR-like) 見證能夠和選擇公理兼容的最大的類- ADR 公理，并且θ是正則的。

(Ordinal Analysis) 擁有最大的證明論序數(shù)。（即使序數(shù)分析目前遠(yuǎn)未到ZFC的水平）

(Regularity property) 見證能夠和選擇公理兼容的最強(qiáng)的實(shí)數(shù)正則性質(zhì)斷言（雖然具體的值我未曾找到）

(Ω?logic) 見證 Ω 猜想成立。

(V=HOD) 見證每一個集合都是遺傳序數(shù)可定義的，HOD猜想成立。

(Reinhardt) 見證ZF+Reinhardt不一致。 ( H(λ+) ) 存在非平凡初等嵌入 j:Lλ(H(λ+))→Lλ(H(λ+)) .

(Generic-Multiverse) V是最小的脫殊復(fù)宇宙。 (GCH) 見證廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立，并且 ω1 上有一個均勻預(yù)飽和理想。

(PFA) 見證正常力迫公理(Proper Forcing Axiom)成立。

PFA+存在一個Woodin基數(shù)可以見證，存在見證一個Woodin基數(shù)是Woodin基數(shù)的極限的內(nèi)模型。PFA本身可以推出開放涂色公理OCA(Open coloring axiom)。是一個比較有用的力迫公理。

(?MP) 見證必要最大化原則(Necessary Maximality Principle)成立。

如果在一個弱緊致基數(shù)的模型內(nèi)見證 ?MP 成立可以見證，存在見證一個Woodin基數(shù)的內(nèi)模型并且投影決定性公理PD成立。另一個比較有用的力迫公理。

(UA) 見證超冪公理(Ultrapower Axiom)成立。

(UBH, CBH) 唯一分支假設(shè)UBH以及共尾分支假設(shè)CBH不成立。

V=終極-L的前置需求

(Supercompact) 一個內(nèi)模型是終極-L至少要見證一個超緊致基數(shù)。

(Ultrapower Axiom) 一個內(nèi)模型是終極-L也可以至少見證超冪公理UA+地面公理GA+存在一個最小強(qiáng)緊致基數(shù)成立。

(SBH) 一個內(nèi)模型是終極-L必須是基于策略分支假設(shè)SBH。

導(dǎo)讀：目前最強(qiáng)的見證存在武丁基數(shù)的武丁強(qiáng)極限的內(nèi)模型中見證cUBH(弱唯一分支假設(shè))成立，并見證 ?α 對一切基數(shù) α 成立。

如果某個內(nèi)模型見證一個基數(shù) α 是 Π12 - 亞緊致基數(shù)存在則UBH(唯一分支假設(shè))，CBH(共尾分支假設(shè))，SBH(策略分支假設(shè))，PFA都可以成立，并破壞 ?α 。

V=終極-L的可能推論

(First-Order) V=終極-L是一個多元一階算術(shù)(Many-Sorted First-Order Logic)集合論。

(finitely axiomatizable) 存在V=終極-L的有限公理化。

導(dǎo)讀：終極-L本身當(dāng)然不可能是有限公理化的。但是我們可以這樣做：宣告ZF，宣告V=終極-L，宣告存在以上所有條款的最大序數(shù)真謂詞。（可數(shù)傳遞模型/ α -傳遞模型是不需要的，因為終極-L見證 Ω 猜想成立）然后尋找這一套東西的保守擴(kuò)張是有窮公理化的，將這個最終的東西命名為“V=終極-L的理論”。只要V=終極-L確實(shí)是多元一階算術(shù)，就可以這樣做。

(Limit of supercompact) 存在真類多的Eη基數(shù)并且每一個Eη基數(shù)都是超緊致基數(shù)的極限。

(AD-Conjecture) 對于每一個超緊致基數(shù)的極限基數(shù) λ , ADλ 成立。

導(dǎo)讀：I0和Icarus都是極其強(qiáng)大的內(nèi)模型。第一個 ADL(R) 的證明使用I0基數(shù)的存在性而得以完成，而反過來說，這也證明了I0基數(shù)是和 ADL(R) 相似的類-AD公理。然而，繼續(xù)向上推廣I0會遇到一些疑難：I0本身已經(jīng)并不是非常像決定性公理，或許繼續(xù)往上會越來越不像決定性公理。所以在I0和Icarus之間發(fā)展出了三種不同的推廣方式，也就是U(j)表示，Suslin表示，E層級。而如果AD-Conjecture成立可以終極地避免類似問題：我們在V和Icarus之間建立了絕對性。

(The Perfect Theory 2.b.) Icarus基數(shù)之下的每一個 ≥I0 基數(shù)的真類初等嵌入具有三歧性。

(V[G]) 如果V[G]是V的脫殊集合擴(kuò)張并且V在V[G]的 ω? 序列下不封閉那么V[G]≠終極-L并且V[G]中普遍分區(qū)公理不成立。

(Universal Partition) 見證普遍分區(qū)公理成立。

(Strong Universal Partition) 見證強(qiáng)普遍分區(qū)公理成立。

(Canonical inner model) 終極L是一個典范內(nèi)模型，并見證地面公理Ground Axiom成立。

V=終極L自身的疑難問題

( LΩ,LSΩ,L(?)Ω ) 終極L是否是唯一的。

(Ultrafilter Axiom at λ) 如果只有一個終極-L，那么對于每一個超緊致基數(shù)的極限基數(shù) λ , 超濾公理成立，反之不成立。

即使真的存在一個典范的內(nèi)模型是終極L并且滿足“Woodin的完美理論”的所有條款，也不一定只有一個這樣的典范內(nèi)模型。雖然Woodin與Peter Koellner等人認(rèn)為終極-L幾乎沒有可能不是唯一的，然而如果內(nèi)模型計劃最終得到了這樣的結(jié)果的話，終極-L也不會是柏拉圖主義所完全滿意的那個終極理論而變成了形式主義的又一次偉大勝利。

以下戲仿內(nèi)模型計劃的其中一個挑戰(zhàn)理論，內(nèi)模型假設(shè)的形式的猜想，假定了終極L至少具有 ω1CK 個這種宏偉意義上的唯一性失敗。

(IMH for Ultimate-L) 對于每一個一階語句 ψ 若位于一些 V 的外模型內(nèi)那么存在一個終極內(nèi)模型 LψΩ 滿足 ψ。

(StrongIMH for Ultimate-L) 對于每一個帶有參數(shù) (ω1,ω2) 的一階語句 ψ 若位于一些 V 的外模型內(nèi)并且 ω1 -preserving和 ω2 -preserving 那么存在一個終極內(nèi)模型 LψΩ 滿足 ψ。

原版的 IMH 是一個具有最大寬度（通過將所有力迫外模型所增強(qiáng)的語句指認(rèn)為宇宙內(nèi)的適當(dāng)內(nèi)模型）但是極低的高度（不存在不可達(dá)基數(shù)）的“矮而最胖”的集合論公理。而相對的終極-L則是一個“最高而瘦”（最大的大基數(shù)和CH成立）的集合論公理。雖然不太可能成功，但是這樣的一個縫合怪或許是某種意義的最優(yōu)集合論理論。

(M-Max) ZFC+V=終極L 是否能比 ZFC+≤Icarus+MM++ 更為M-最大？

馬丁最大化MM作為一個早年Woodin信奉后來又拋棄的概念，一直都有將MM的弱化（ MM++(c),PFA,OCA 等）和集合論局部結(jié)構(gòu)的內(nèi)模型相互比較強(qiáng)度的論文推出。誠然，終極-L會是一個S-最大(Steel-Maximization)理論，然而有人質(zhì)疑V=終極L作為是否能在M-最大(Maddy-Maximization)意義上比MM更強(qiáng)，因為他們認(rèn)為似乎終極L并不是那么的典范的內(nèi)模型，并且最終提出了以下猜想。

(INEC) 解釋不存在猜想Interpretation Non-Existence Conjecture:

ZFC+V=終極L中不存在關(guān)于 ZFC+≤Icarus+MM++ 的M-等價解釋。因此，ZFC+≤Icarus+MM++嚴(yán)格意義地比 ZFC+V=終極L 更為M-最大。

馮諾伊曼宇宙

V0=?

V1={?}

V2={?,{?}}

...

Vn+1= P(Vn)P表示冪集

...

Vω=V1∪V2∪...∪Vn∪...∪=∪Vk

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??k＜ω?

...

Vλ={P(Vα) ?若λ=α+1

? ? ? ?{∪Vk ? ?若λ是極限序數(shù)

? ? ? ?k＜λ

V=∪Vk ? k跑遍所有序數(shù)

? ? ? k

魔神

在序數(shù)前時代，重數(shù)小于無限但超越正常數(shù)的實(shí)境強(qiáng)者都被稱為魔神

在序數(shù)時代，能有ω1ck以上構(gòu)造的個體都被稱為實(shí)境魔神

在基數(shù)時代，大于阿列夫阿列夫阿列夫...不動點(diǎn)堆疊被稱為臨界強(qiáng)者，超過不可達(dá)基數(shù)不可達(dá)基數(shù)的被稱為終極強(qiáng)者