4.3.1 解析解（精確解）與數(shù)值解（近似解）的概念

解析解是指通過嚴(yán)格的公式推導(dǎo)得出的解，解析解是一個(gè)封閉形式的表達(dá)式，所以也叫封閉解，它能夠給出未知函數(shù)在求解區(qū)域內(nèi)的連續(xù)解（如圖2- 19A）。

定義部分看著比較枯燥，我們用中學(xué)時(shí)代學(xué)過的一元二次方程來舉例說明，一元二次方程的一般形式為：

其解析解為：

即我們可以通過一個(gè)通式，得到我們想要的任意點(diǎn)的值。

?????? 但是，并不是對(duì)所有的方程都可以得到解析解。比如，我們?cè)?/span>2.4 節(jié)得到的控制流體運(yùn)動(dòng)的微分方程：

上式涉及到非線性偏微分方程，人類目前的數(shù)學(xué)知識(shí)還無(wú)法得到其精確的解析解。得不到精確解，工程界又想要一個(gè)解，那該怎么辦呢？

山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村。在純粹數(shù)學(xué)家一籌莫展之時(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)家出手了。應(yīng)用數(shù)學(xué)家發(fā)明了將微分方程轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程的方法。就如同第4.1和4.2節(jié)的內(nèi)容告訴我們的那樣，我們可以將上式中微分形式轉(zhuǎn)換成代數(shù)形式，從而得到代數(shù)方程。人類目前已經(jīng)有足夠的數(shù)學(xué)知識(shí)來求解代數(shù)方程，通過求解代數(shù)方程，可以得到一個(gè)近似的數(shù)值解（如圖2- 19B），通過觀察這個(gè)數(shù)值解，人類可以窺探流體世界的一些端倪。用一句話概括CFD的主要思想：把偏微分方程轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，通過求解代數(shù)方程，得到對(duì)應(yīng)問題的數(shù)值解（近似解）。

將微分方程轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程涉及到微分方程的離散化。而代數(shù)方程的求解需要一個(gè)個(gè)離散點(diǎn)上的值（如圖2- 19B），這又涉及到求解域的離散化。

即我們需要兩類離散：

一類是求解域的離散化，即CFD中的畫網(wǎng)格。

一類是微分方程的離散化，即各種離散方法。

所以，本章下面的內(nèi)容主要是研究怎么離散化求解域和離散化微分方程，研究怎么把離散后的求解域和代數(shù)方程聯(lián)系起來。

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