數(shù)集拓展到實數(shù)范圍內(nèi)，仍有些運算無法進行(比如對負數(shù)開偶數(shù)次方)，為了使方程有解，我們將數(shù)集再次擴充。

在實數(shù)域上定義二元有序?qū)=(a,b)，并規(guī)定有序?qū)χg有運算"+"、"×" (記z1=(a,b),z2=(c,d))：

z1 + z2=(a+c,b+d)

z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)

容易驗證，這樣定義的有序?qū)θw在有序?qū)Φ募臃ê统朔ㄏ鲁梢粋€域，并且對任何復(fù)數(shù)z，我們有

z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)

令f是從實數(shù)域到復(fù)數(shù)域的映射，f(a)=(a,0)，則這個映射保持了實數(shù)域上的加法和乘法，因此實數(shù)域可以嵌入復(fù)數(shù)域中，可以視為復(fù)數(shù)域的子域。

記(0,1)=i,則根據(jù)我們定義的運算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1，這就只通過實數(shù)解決了虛數(shù)單位i的存在問題。本文由101教育整理發(fā)布。