下面我們來闡述一些其它技巧跟網結構的關聯(lián)。

Part 1 魚直觀的原理

第一個我們需要講到的內容就是魚結構。實際上，魚結構的直觀我們已經在很前面的內容里說過了，但我們并沒有證明之?，F(xiàn)在我們嘗試把之前的理論進行證明，實際上，之前的理論我們都是通過網結構才能得到證明。

1-1?先來回顧一下

我們先回顧一下推導過程。

如下方左圖所示，我們嘗試在結構里找到m * n的矩形區(qū)域，需要滿足如下的要求：

• 矩形區(qū)域涉及的結構里不能含有我們需要找的魚所涉及的數(shù)字的確定值；

• 矩形區(qū)域所處的所有行列區(qū)域上都不允許含有我們需要找的魚所涉及的數(shù)字的確定值；

• 設矩形區(qū)域以外，魚涉及的數(shù)字的確定值總個數(shù)為k，而矩形涉及大小為m * n，需要滿足m + n + k = 9。

這個示例就滿足上述的三點要求：矩形區(qū)域里沒有5，矩形區(qū)域所在行列上的任何一點也都沒有5，而在區(qū)域外的其它部分含有一個5（k = 1），且滿足矩形區(qū)域大?。? * 4）代入的公式：4 + 4 + 1 = 9。所以這樣就有魚結構的存在了。而且實際上，我們確實能找到魚結構，如右圖所示。

下面我們來證明一下這個內容。

1-2 證明

我們認為下方圖上這樣的結構就有魚結構的存在了。

這是一則框架圖，并不是一個唯一解的題目。不過可以從結構上發(fā)現(xiàn)，它確實存在魚。那么我們想用直觀視角敘述的內容是什么呢？

這個圖上有一個關于數(shù)字4的三階的標準魚（也稱三鏈列和劍魚）。

我們需要記住如下的術語和公式。

術語：

• 域內：直觀標準魚結構需要有一個“陣列”的構造出現(xiàn)，例如圖上的r247c1468這樣12個單元格。這么12格我們稱為區(qū)域內，簡稱域內。

• 域內確定值（簡稱域內數(shù)）：在域內的該數(shù)的確定值集合，比如圖上的域內不包含任何該數(shù)字，所以圖上并沒有域內數(shù)。

• 架子：區(qū)域內單元格橫向或縱向涉及的所有區(qū)域，r2、r4、r7、c1、c4、c6、c8這7個區(qū)域的所有單元格直接稱為架子。

• 域外：盤面除了架子外的剩余單元格。

• 域外確定值（簡稱域外數(shù)）：在域外的該數(shù)確定值集合，比如圖上的r1c9(4)和r5c7(4)統(tǒng)稱為區(qū)域外提示數(shù)。

• 域外內凈次數(shù)（Net Extraterritorial and Intraterritorial Numbers，簡稱NAIN）：該數(shù)值等于區(qū)域外提示數(shù)個數(shù)減去區(qū)域內該數(shù)總個數(shù)得到。比如該圖里，區(qū)域外有2個4，區(qū)域內則沒有4（0個4），則域外內凈次數(shù)等于2 - 0 = 2。

公式：

• 如果設架子一共由n個區(qū)域構成，且域內包含k個要找的魚涉及的這個數(shù)，區(qū)域外提示數(shù)一共有m個，則當且僅當NAIN值等于“9 - 架子區(qū)域數(shù)”的時候，才有標準魚的出現(xiàn)（或帶魚鰭的標準魚、帶鏈的魚鰭標準魚等等），且魚的定義域產生于架子上，而刪除域產生于域外。

我們先把公式用數(shù)學語言描述一下，然后以便后面的理解和對照。

域外內凈次數(shù)（NAIN） = 9 - 架子區(qū)域數(shù)（n）

我們?yōu)榱俗C明簡單一些，使用移項和拆解后的公式：

域外數(shù)個數(shù)（m） - 域內數(shù)個數(shù)（k） + 架子區(qū)域數(shù)（n） = 9

由于n是架子區(qū)域總數(shù)，我們拆解為兩個分量a和b（分別表示橫向架子區(qū)域數(shù)和縱向架子區(qū)域數(shù)），這樣就可以表示和體現(xiàn)出架子是涉及a行b列的。那么一定有

橫向架子區(qū)域數(shù)（a） + 縱向架子區(qū)域數(shù)（b） = n

而

域內單元格總數(shù) = a * b

我們現(xiàn)在來數(shù)一下域外單元格總個數(shù)。因為架子區(qū)域是a行b列的，所以域外單元格總數(shù)應當是

域外單元格總數(shù) = (9 - a) * (9 - b)

而架子涉及的是a * b個單元格，所以可以從式子上得到，架子外單元格總數(shù)就比架子本身要多出來(9 - a) * (9 - b) - a * b個單元格。先把這個結論記下來，一會兒會用到，現(xiàn)在我們切換一下內容，來看結構。

如圖所示，可以從圖上看出，所有的橙色單元格就是所有的域外單元格了。

現(xiàn)在，橙色單元格加上淡綠色單元格，剛好湊齊c23579五列，因為是五列，所以填數(shù)一定是數(shù)字1到9各有5個的（每一列都有1到9各一個，所以五列就各5個）。

再橫著看。紫色單元格就是我們所有的域內單元格了。紫色單元格加上淡綠色的單元格，剛好湊齊三行，所以填數(shù)一定是1到9各有3個的，即：

橙色單元格 + 淡綠色單元格 = 5套1到9

紫色單元格 + 淡綠色單元格?=?3套1到9

我們針對于這兩個式子作減法運算：

橙色單元格 - 紫色單元格 = 2套1到9

再移項。

橙色單元格 = 2套1到9 + 紫色單元格

這樣就意味著，橙色包含所有紫色單元格的所有填數(shù)，還外帶兩套完整的1到9序列。

例如我們現(xiàn)在來看圖上的數(shù)字4。

域內（紫色）單元格是不存在數(shù)字4的（即此時k = 0），而從式子里可以看到，域外（橙色）單元格具有兩套1到9和紫色單元格的所有數(shù)字，而紫色里又沒有4，那么只能說明2套1到9里的2個4將是橙色單元格里所有的4了。換句話說，橙色就不應當再出現(xiàn)其余任何的4。

剛才只是舉例說明我想表達的意思，現(xiàn)在來推廣到一般化的情況。域外單元格（橙色）的總數(shù)就比域內（紫色）單元格的總數(shù)本身要多出來(9 - a) * (9 - b) - a * b個單元格，那么域外單元格的填數(shù)比域內的填數(shù)會多出來多少套完整的1到9呢？顯然就是用這個數(shù)除以9即可，則有：

并最終我們得到了一個公式：9 - n，即橙色比紫色多出(9 - n)套1到9，n還記得指代的是什么嗎？n就是架子區(qū)域數(shù)了（因為a和b分別代指的是橫向架子區(qū)域數(shù)和縱向架子區(qū)域數(shù)，所以加起來就是總的架子區(qū)域數(shù)）。這意味著什么呢？如果架子不包含我們尋找的標準魚結構所涉及的數(shù)字，而此時區(qū)域外單元格的部分（橙色）就包含(9 - n)套1到9，外加上架子內（紫色）的所有確定值。但如果紫色區(qū)域內不包含我們要找的數(shù)的話，那么數(shù)字就只可能出現(xiàn)在(9 - n)套1到9的這一項里。當(9 - n)恰好等于我們在區(qū)域外找到的這個數(shù)字的總個數(shù)時，區(qū)域外就不會再存在其余的這個數(shù)字了的填數(shù)位置了。

那么此時看下剛才“具象化”后的公式：

橙色單元格 + 淡綠色單元格 = 5套1到9

既然橙色（域外）里沒有這個尋找的數(shù)字的容身之地，那么這個數(shù)就只可能出現(xiàn)在淡綠色單元格里。如果域內里沒有我們費盡千辛萬苦尋找的數(shù)字，而必須又得需要5個這個數(shù)，現(xiàn)在域外是不能再填這個數(shù)了（域外有2個了），而為了保證數(shù)字不出現(xiàn)違背數(shù)獨規(guī)則的現(xiàn)象，還剩下3個這個數(shù)，它們就只可能出現(xiàn)在不會直接和提示數(shù)沖突的地方（即淡綠色格子里）。而又要保證行列上不要違背數(shù)獨規(guī)則“重復”，那么數(shù)字就只能允許填入到它們應當放到的位置上。于是，標準魚便形成了。

這一段如果不好理解，你可以對照圖上來看。淡綠色的區(qū)域是3 * 5的區(qū)域，而提示數(shù)4的擺放位置一定是會和淡綠色具有同列的單元格的，畢竟這些4一定都在橙色單元格里，而橙色單元格又是和淡綠色單元格“正交的”，這就使得它就會連續(xù)排除兩個在淡綠色填入4的位置。所以3 * 5的“5”就被壓縮為了5 - 2 = 3。這個式子的“2”，指的就是這個4在域外的提示數(shù)的個數(shù)了（兩個4）。那剩下來不就剛好3 * 3了嗎？剛好我們從計算就得到了，必須要填3個，那么3 * 3的區(qū)域要填3個數(shù)，這不就已經滿足了標準魚的規(guī)則了嗎？所以標準魚一定會形成的原因我們就說清楚了。

所以說，只要出現(xiàn)最開始提到的公式，滿足這個等式要求，那么就一定出現(xiàn)標準的魚結構（當然，帶魚鰭的我們稍后會詳細敘述其直觀層面的推理邏輯）。

請注意，上面的證明使用的是k = 0的情況，當k <> 0的時候，證明方式完全一樣，結論也成立，此處就不贅述了，但不代表公式的k可以被忽略。

另外，直觀魚的基本理論、術語詞匯和證明均由中國數(shù)獨玩家“輝煌背后的衰落”予以提出，部分術語有些晦澀，但作為證明也是必不可少的。

1-3 直觀標準魚視角的互補

在我們的推導和證明的過程之中，我們難免會遇到一些棘手但沒有必要糾結的問題，比如魚結構存在互補，但直觀視角如何是思考互補的內容。實際上，這個答案很簡單。我們來看一些示例。

如圖所示，這個示例在我們之前已經出現(xiàn)過了。我們來看這個結構對應的兩個互補的魚結構。

如圖所示，這個就是這個魚結構對應的兩個完全不同的候選數(shù)視角，不過一個是按列刪數(shù)，一個則是按行刪數(shù)。

我們再來看一則有關標準鰭魚的示例。

如圖所示，這也是之前的示例，我們可以發(fā)現(xiàn)，我們直接將整體的矩形對應的行換成列，就達到了互補的效果。當然，右圖呈現(xiàn)的看起來是一個孿生魚結構，似乎不完全是互補的。但實際上，我們針對于左圖的結構，右圖是它的互補的構型，這一點總是沒有問題的。

所以魚結構的直觀視角里，互補僅僅是把矩形對應的行列區(qū)域（即架子）換一下而已。

1-4 標準魚的觀察

實際上，在前面已經提到了很多有關觀察的內容了，不過沒有說原理之前，理解起來是不那么容易的，這里我們再次闡述一下如何以直觀視角觀察魚結構。

我們再次把提到的公式照搬過來（為了方便你看，所以我就復制一遍過來，就不用你往上翻了）：

NAIN = 9 - 架子區(qū)域數(shù)

為了湊公式，我們必須湊齊所有合適的數(shù)據(jù)才行。因為魚是同數(shù)技巧，所以我們觀察只需要從1到9挨個數(shù)一遍數(shù)字的位置即可。

如圖所示，比如我們現(xiàn)在找到所有數(shù)字4的位置。接著，我們開始找域內。域內是我們隨意找的，它可以包含提示數(shù)、填入數(shù)甚至是候選數(shù)單元格。只要我們保證這個數(shù)的相關信息帶入到剛才的公式了，滿足剛才的等式即可。

注意，即使候選數(shù)單元格包含該候選數(shù)，也不算作信息點帶入到公式中。因為公式本身并不包含候選數(shù)是否包含的這一點的。

公式要想NAIN值等于9減去架子區(qū)域數(shù)，那么最好找的情況就是，找一個架子，使得域內沒有這個數(shù)，且架子區(qū)域是7個的情況，這樣NAIN = 2 - 0 = 2，就滿足2 = 9 - 7的等式。所以我們需要找的架子規(guī)格必須是2 * 5、3 * 4等等情況（架子的架子區(qū)域數(shù)就是規(guī)格涉及的行和列個數(shù)的總和，即2 + 5 = 3 + 4 = 7，當然1 * 6也OK，不過，你可以思考下，如果真的存在1 * 6的，那會是個什么情況）。

現(xiàn)在我們找一個3 * 4的區(qū)域，如圖所示：

恰好，域內不包含數(shù)字4，且域內剛好是3×4的“矩陣”，所以此時在架子區(qū)域里含有一個涉及4的標準魚。實際上，魚在這里：

這和我們的預期是完全一樣的。

1-5 標準鰭魚的觀察

先來看這個例子。如圖所示。我們從直觀層面找到了這么一個東西。首先，數(shù)字7在域外有兩個，所以為了保證和為9，我們選擇找3 * 4的區(qū)域。

恰好，我們找到了該“矩陣”，NAIN = 2 - 0 = 2（注意，架子內是有一個候選數(shù)7的。這里是不是7我們是不確定的）。

此時討論它是否是7。如果r9c6 = 7，則直接通過它所在行列宮執(zhí)行排除刪數(shù)即可；如果r9c6 <> 7，由于所有7已經被我們找完了，而且域內和這些7不同行列，所以公式也滿足，標準魚成立。于是刪數(shù)存在于域外，故此時只需要去找到刪數(shù)的具體宮（b8）和刪除域的交集，即為刪數(shù)。

而實際上，我們能找到關于7的鰭三鏈列，如圖所示。

那么，鰭魚的直觀有什么特殊結論嗎？其實是有的。試想一點，我們在直觀層面是沒有標注候選數(shù)的，而此時我們標注的架子是不區(qū)分行列“方向”的，它不像魚會區(qū)分。所以，此時我們有一個結論是這樣的：

我們使用這個圖給大家解釋下。由于7的位置不能確定行還是列上存在標準魚，我們的結論是：以這個不知道7到底是否成立的單元格（即這里的r9c6）為“拐點”，所在宮內同行列的一共5個單元格（即r78c6、r9c45和r9c6五個單元格）里必有一個單元格是數(shù)字7。

當然，這個題上r78c6是被確定值占據(jù)了，因而沒有7。我剛才的結論是推廣到一般情況下的。而且，實際上這5個單元格叫做“關于r9c6的空矩形區(qū)域”，簡稱“空矩形”。

至于為什么會這樣，說起來也很簡單：因為直觀層面不區(qū)分魚的“方向”，所以既然刪數(shù)成立，那么結構必然產生于架子里，而架子里一定會有魚身的存在，所以不能保證具體在哪里，只能保證拐角的這個十字形狀下的5個單元格（空矩形區(qū)域）里的這個數(shù)字必須有一個是為真的，這就是當觀察直觀版本的鰭魚時，它所擁有的結論。

1-6?直觀魚的示例

下面闡述一些稍微難一些的直觀魚的示例。這些直觀魚的示例在之前都是沒有說到的，因為在之前的內容里，我們并沒有把技巧升華到這個難度。

以下的例子均和上面的邏輯完全一樣，所以這里不再細述其邏輯。如果需要介紹，下面還是會有注釋文字的。

示例1：標準魚

示例2：孿生魚

橫著看，前面兩個圖是鰭魚的第一種看法；后面兩個圖是鰭魚的第二種看法，因為它們共用大部分域內單元格，而且從題上可以看出，它們使用了相同的魚身，所以是孿生的魚結構。

示例3：魚和環(huán)的交織

這個需要解釋下為什么?？吹谝粋€圖，如果兩個4同假，則域內不存在4的任何確定值，算上域外的提示數(shù)4，NAIN = 3 - 0 = 3，且此時恰好滿足等式，即產生關于4的鰭魚結構（這里不能說是魚，因為r8c8的4是不知道是否存在的）。

剛才鰭魚最后得到一個結論：十字形狀的五個單元格里必須有一個4為真。但是觀察這樣的5個單元格（r789c8和r8c79），能填入4的位置僅剩下十字架的中間這一個單元格r8c8了，所以當r5c3 <> 4的時候，必須得有r8c8 = 4的結論。因而強關系成立。

而右圖的6的強關系則是另外一種情況。因為域外有4個6的確定值了，所以此時看這個結構已經不成立了。不過……此時因為r8c8 = 4的關系，r8c8 <> 6也是事實。如果此時r5c3 = 6的話，會怎么樣呢？

從原理上推進邏輯，如果域內有這個數(shù)，那么此時k = 1，根據(jù)公式要得到9，域外就必須有4個。確實盤面“履行了諾言”，出現(xiàn)了4個確定值6。那么此時魚是成立的，因而r5c3=6是應當成立的；否則如果r5c3沒有6，從原理上推進推理過程，6將放不滿架子該放的總個數(shù)，于是便產生了矛盾（此處就自己推一下，我就不再作圖說明了）。

總之，鏈寫法如下：

這個鏈構成了環(huán)，并且成立。

此時留下一個問題：這環(huán)除了能刪除基本的刪數(shù)外，還有一些刪數(shù)客觀存在，你知道在哪里嗎？

示例4：魚和直推UR

如圖所示，因為推導邏輯順序不好標注到圖上，所以沒有箭頭?，F(xiàn)在我們用文本進行敘述。

我們假設r1c3 = 1，此時應當有r26c3 <> 1，且r6c3 = 6的結論。針對于r26c3 <> 1，它是架子上的單元格，如果兩處都沒有1，所以架子沒有1，此時公式里的NAIN = 3 -0 = 3，于是恰好滿足公式，所以刪除域的1應當都可以被去掉，所以圖中標注青色的數(shù)字1都是此時可以刪除的數(shù)字。

接著，當這些1去掉后，結合剛才r6c3=6的結論，我們可以確定，b4里只有一處可以填1，即r6c1 = 1。然后根據(jù)直推UR的邏輯，r12c3由于r6c3 = 6的關系，這兩個單元格也都不能填6。所以b1里填6的位置只有一處可填：r1c2 = 6。

此時，結合剛才的所有步驟，我們得到r1c2 = 6、r1c3 = 1、r6c2 = 1、r6c3 = 6，此時形成UR的致命形式，所以矛盾。所以最初的假設（r1c3 = 1）為假，即r1c3 <> 1，為該題結論。

示例5：另外一個環(huán)

如圖所示，鏈表示如下：

首先我們來簡單說一下。假設r9c5 <> 6了，則鰭魚立馬就形成了，還記得我剛才的邏輯嗎？十字形狀的5個單元格里必須得有一個6，所以此時r46c5和r4c4里必須出一個6。所以，r9c5(6) = {r46c5, r4c4}(6)強關系成立。接著，由于三格有一個6，所以r5c46不能填6。注意到ALS區(qū)域r5c46，所以r5c46(6)=r5c4(4)成立。后面就是基本邏輯了。

形成環(huán)后，刪數(shù)邏輯就不用我一個一個說了。此時請注意ALS的刪數(shù)比較特殊，2也可以刪掉。

1-7 總結

本文介紹了直觀魚的基本公式，以及公式的證明。公式如下：

NAIN = 9 - 架子區(qū)域數(shù)

當滿足該公式的時候，題目必然存在標準魚結構。而這樣的觀察視角對于出題層面和解題層面都具有很大的幫助。

對于鰭魚，還存在一個結論：如果架子存在沒有確定的空單元格，且該單元格的候選數(shù)包含我們需要尋找的標準魚所涉及的數(shù)字，則鰭魚成立（前提是必須要滿足公式再來談這一點哈），以這個單元格為“拐角”，向該宮以行列方向延伸的十字形狀的5個單元格里，必須有一個格填入的是這個數(shù)。

1-8?宮內魚的直觀

下面我們拿出簡短的幾句話內容來闡述一下，宮內魚和交叉魚的直觀。

在我們之前直觀的視角里，我們只要能夠找到一個矩形區(qū)域的結構，便可得到存在魚結構的結論，但具體在哪里我們并不知道。不過我們在證明的時候，并沒有直接說明它的存在必須是什么形式出現(xiàn)。所以宮內魚和交叉魚也是可能在直觀的視角里找到的。

但是，實際上，我們在找這樣的結構的時候，肯定會遇到一定的問題，因為結構并不可能是以一種純直觀的構型出現(xiàn)展示在題目上，因為形狀的關系，我們不論如何去放置這些確定值，都不可能立馬可以形成一個宮內魚和交叉魚的構型。所以一般意義上，宮內魚和交叉魚依舊是需要借助于強制鏈的推導（或者說是通過直推的方式）才能得到刪數(shù)，但這還不如使用候選數(shù)視角尋找它們。所以，宮內魚和交叉魚的直觀用五個字形容就是“費力不討好”。

如圖所示，這是宮內三鏈列的直觀視角?？梢钥吹剑鼘嶋H上依然借助了候選數(shù)，加入了強制鏈的元素。首先我們通過直觀原理得到的是，r6c3(5)是直觀魚的魚鰭。我們?yōu)榱撕雎运挠绊?，必須視作毛刺處理?/p>

當這個候選數(shù)為真的時候，就會引出強制鏈，使得b7只有兩處可以填入5的地方，形成區(qū)塊，然后和其它位置的5形成一個普通的三鏈列；

當這個候選數(shù)為假的時候，我們就可以忽略它，并認為這個直觀魚成立，刪數(shù)顯然就是域外的所有候選數(shù)5了。

實際上可以看到，不論什么情況，紅色的5顯然都是可以刪除的。

同樣地，宮內四鏈列的直觀思路也是完全一樣的。

可以看到，我們套用之前的方式完全是一樣的操作。但實際上，我們從經驗上就可以看出，這種操作也只能針對于只有一個宮的宮內魚結構才可以奏效，而且它借助的是和這個唯一的宮元素旁邊無關的候選數(shù)引出的毛刺。

而實際上，兩個示例都可以看到，借助毛刺并沒有什么作用。因為借助的毛刺已經完成了大部分魚結構的觀察。如果你能找到兩個示例的毛刺為真的情況（即左圖這樣），顯然宮內魚結構的構型就差不太遠了。所以，宮內魚的直觀視角完全就是“費力不討好”；當然了，在一些極端情況下，它們還是有用處的，雖然用處不太大。

1-9?交叉魚的直觀

下面我們來看交叉魚結構的直觀視角。我們按照老規(guī)矩，先看交叉三鏈列。

如圖所示。如果r2c5(5)為假，則由于2 * 5的矩形內不含候選數(shù)5，而也滿足直觀鰭魚結構的要求，所以刪數(shù)應當為域外的候選數(shù)5。所以這個示例想要告訴我們的就是這一點。它依然引出了強制鏈的思維。我們再來看一下交叉四鏈列的例子。

可以從圖中看出，當引出強制鏈的時候，最終得到了一個二鏈列結構，并得到了刪數(shù)。而實際上你也可以看到，它已經包含了大部分原本交叉四鏈列結構的候選數(shù)了，這種觀察視角并沒有起到實質性的作用。

Part 2 飛魚導彈和網

實際上，飛魚導彈和網是有著密不可分的關系的，不過在飛魚導彈里我們只字未提，原因很簡單：因為講解飛魚導彈的時候還沒學到網。那么現(xiàn)在我們來看看，飛魚導彈到底和網有著什么關系。

首先我們拿出一則最標準飛魚導彈的示例給大家看。

這個示例實際上你在前文可以找到它。這則示例的大致邏輯是，如果我們假設右圖之中所有紅色的刪數(shù)里，任意一個是為真的，那么都會使得結構里的任意一個鏈接點消失，使得結構變?yōu)?網（秩為0的網），此時的所有網內的可能刪數(shù)就全部成立了；但此時如果讓這些刪數(shù)全部成立的話，必然會使得r89里所有1、2、7全部擠入到r89c359里，結構變?yōu)?、2、7的拓展矩形的致命形式，所以出現(xiàn)矛盾。

從經驗上來看，我們一般都會將JE原本涉及的數(shù)字作為一種鏈接點類型，而剩余的數(shù)字，則設為另外一種類型的鏈接點，并且一般而言，計算JE里涉及的數(shù)字的出現(xiàn)次數(shù)時，如果按照行來看，那么這些數(shù)字在轉為網的時候，也都將使用行鏈接點視角；同樣地，如果是列的話，就轉為列鏈接點的視角。

實際上很多時候，JE都可以通過這個方式轉為網的視角，而具體為什么可以這樣轉換，而且刪數(shù)是否和JE本身可以刪除的數(shù)字（含可推論帶來的刪數(shù)）一樣呢？很抱歉的是，JE的結構過于龐大，使得結構的變化形式非常多，所以不能輕易給出刪數(shù)原理和結論是否一致。比如，上圖給出的是一個+1網，而稍后我們就會介紹一個轉換為網視角后變?yōu)?2網的例子，它帶有16個單元格，卻是18個鏈接點。

不過，這個示例的JE視角里（左圖），我并沒有標注出潛在的推論刪數(shù)，那么到底最終右圖給出的這些刪數(shù)是否和JE的所有刪數(shù)是完全一樣的呢？實際上并不是。網的視角的刪數(shù)比JE的刪數(shù)要多一些，你可以嘗試推導一下。

如圖所示，這個示例帶有16個單元格，但擁有18個鏈接點。顯然此時我們就不能嘗試使用“預備刪數(shù)”的邏輯來推導了。不過，我們可以試著改變一下思路，或許你可以發(fā)現(xiàn)這個技巧實際上在轉換為網的時候，依然可以刪數(shù)。不過，我希望你能獨立思考它，雖然我也知道這一點思考和得到結果的過程很艱辛，也富有挑戰(zhàn)性。

Part 3 SK環(huán)和網

下面我們來看一個更奇特的技巧：SK環(huán)。這個技巧可以被看作一個網。

3-1 如何轉換呢？

如圖所示，這便是很好的說明?？梢钥吹?，我們把行、列、宮鏈接點分別使用綠色、橙色和紫色標注，可以發(fā)現(xiàn)，恰好可以實現(xiàn)全覆蓋，并滿足0網的規(guī)則：鏈接點總數(shù)和單元格總數(shù)一樣。所以，這個示例的刪數(shù)便是所有鏈接點對應區(qū)域的這些數(shù)字了。

不過，我們介紹SK環(huán)結構并沒有如此簡單。

3-2 SK環(huán)的直觀

事實上，由于結構過于特殊，我們甚至可以通過直觀層面去分析SK環(huán)結構。

首先，我們觀察候選數(shù)視角的SK環(huán)，可以看到候選數(shù)視角的SK環(huán)里涉及的行列鏈接點比較整齊，而宮鏈接點則顯得不是特別引人注目。不過我們依然可以發(fā)現(xiàn)到，行列鏈接點涉及的數(shù)字不總是一樣的，但大致的分布是兩個數(shù)字一組，且以宮鏈接點（紫色）作為行鏈接點和列鏈接點的橋梁。而且，宮鏈接點在對角分布的兩個宮里，數(shù)字是一樣的。比如b19里的宮鏈接點都是2和9，而b37里則都是1和5，這是必然嗎？

我們反過來，看看結構的直觀模式。為了不影響你繼續(xù)看候選視角，這一次我不打算把候選數(shù)全部都隱去?？梢钥吹降氖牵覀円詒28c28作為“軸心”，b1379四個宮的剩余提示數(shù)全部都作為結構的“支柱”。如果我們只要這些數(shù)字，那么SK環(huán)的框架就已經形成了。

此時我們僅嘗試觀察b1379里跟SK環(huán)有關的單元格，你就會發(fā)現(xiàn)，結構的鏈接點完全沒有發(fā)生變化，不過因為結構的干擾幾乎不存在了（因為是圖示，所以我們把所有其它位置的確定值都拿掉了），所以可能鏈接點會看似變多，但依舊是滿足0網的要求的。

比如這個示例里，我們把圖上的鏈接點都標注了出來。不過，細數(shù)一下鏈接點總數(shù)，就可以發(fā)現(xiàn)，此時結構涉及一共20個鏈接點，因為有四個鏈接點是我們變?yōu)榻Y構形式時補充上去的，此時是16\20網，所以無法直接得到SK環(huán)原本的刪數(shù)。

仔細看一下，這個結構多出來的四個鏈接點分別在哪里：一個是c8的7、一個是r2的7、一個是c2的4，一個是r8的8，而仔細觀察原本的題目里，這些數(shù)字在所在的區(qū)域下全部都有確定值，它們把這些數(shù)字的影響都排除掉了，所以SK環(huán)就直接成立了。

那么，SK環(huán)的直觀具有哪些特性呢？首先結構是分屬于四個宮的，并且這四個宮是類似于田字形分布的，并不是錯開分布的；而且四個宮里，每一個宮都只有三個確定值，且確定值里，對角分布的兩個宮里，拋開所謂的軸心不看，剩下的數(shù)字則是完全一樣的。這就是SK環(huán)在直觀的時候需要滿足的架構。

如圖所示，這便是SK環(huán)的一個基本的示例。

3-3 JE + SK = PLQ

可以從之前學習到的SK環(huán)和JE技巧來看，它們的直觀層面是比較相似的。不過JE我們沒有講述直觀視角（嚴謹?shù)卣f，是只講了JE里只有一個基準單元格的特殊JE構型，因為它比較容易直觀，可以使用代數(shù)法的視角），但實際上JE可以轉為網的視角，所以使得結構涉及的確定值分布也是近乎類似的。

要是我們把這兩個技巧放到一起呢？

如圖所示，這是同一個題目的兩個不同的技巧。一個是JE（左圖），一個是SK環(huán)（右圖）。顯然，它們的刪數(shù)不都一樣（當然了，JE如果使用“潛規(guī)則”，那么可能會有一樣的刪數(shù)效果，不過我們就不考慮了，這不是我們這里要說的重點）。

現(xiàn)在，我們嘗試把這些得到的刪數(shù)都去掉，看看還有沒有結論出現(xiàn)。首先，我們得到它們之后，r5會出現(xiàn)一個1、2、3、4的四數(shù)組，這是很容易發(fā)現(xiàn)的，我們就不用額外作圖說明了。

接著我們要看另外一處結論。

如圖所示，如果我們只討論這幾個單元格，依然擁有結論。首先我們通過基礎的JE邏輯，假設r5c46是a和b，那么r4c2 = a、r6c8 = b的話，顯然此時位于r5的1、2、3、4四數(shù)組就剩下兩個單元格了，而且只能放c和d，所以r5c2和r5c8只能一個c和一個d。這樣一來的話，r45c2和r56c8就是一個跨區(qū)的四數(shù)組，不過這樣看是沒有什么特殊的結論的，我們無法找到合適的刪數(shù)，因為我們目前不知道a、b、c、d具體指代的數(shù)字是多少。

像是圖上這樣，通過SK和JE結合，得到的跨區(qū)四數(shù)組，我們稱之為固定產生的構型四數(shù)組（Pattern Locked Quadruple，簡稱PLQ）。不過，不同的SK環(huán)的提示數(shù)分布具有不同的PLQ的結論，下面我們來試試看一個示例，這個示例就擁有另外一處PLQ。

如圖所示，這是同一個題目的兩個不同的技巧，一個是SK環(huán)，而另外一個則是JE。需要注意的是，JE沒有把其它刪數(shù)標注出來，我們僅僅表達意思即可。

那么，一個引起注意的刪數(shù)，就是r5上的四數(shù)組了。相信到了這里，我們都不用作出過多的說明。

現(xiàn)在我們要嘗試解決，這四個刪數(shù)到底是什么情況。我們先假設r4c2 = 7。如果r4c2 = 7，則意味著JE的基準單元格r5c46里必然會有數(shù)字7的出現(xiàn)，即形成7區(qū)塊。不過觀察b6就會發(fā)現(xiàn)，由于提示數(shù)的分布，這樣的填法導致b6無法放入7，出現(xiàn)矛盾。所以r4c2 <> 7；同理，我們假設r5c2 = 7，就會使得b6僅能讓r6c8 = 7，而它也是目標單元格的其一，所以依然可以得到基準單元格里含有7的結論。但這也是不可能的，因為r5c2 = 7使得r5上不允許再放入7了，所以出現(xiàn)矛盾。

同樣地，r56c8(2)的刪數(shù)也是完全一樣的假設模式，所以我們可以得到圖上的這四個刪數(shù)結論。

在得到了上述的刪數(shù)后，SK環(huán)的結構和盤面變?yōu)槿鐖D所示的這樣。

現(xiàn)在，我們需要打開腦洞，思考r28c46這四個單元格會有如何的結論。實際上，這四個單元格是一個關于1、2、6、7的跨區(qū)四數(shù)組，即是一組PLQ。這是為什么呢？

我們仔細觀察SK環(huán)里，提示數(shù)的分布情況，就會發(fā)現(xiàn)，1、2、6、7恰好是我們涉及的結構的數(shù)字，而且每一個宮的提示數(shù)列出來是1和2、6和7、2和6以及1和7。這樣四組分布情況有一個看得出但說不出的特性。

我們?yōu)榱私忉屵@種特性，我們就將視角精細化。仔細觀察SK環(huán)轉換為網視角后的宮鏈接點，就會發(fā)現(xiàn)一個神奇的地方，每一個宮的宮鏈接點，都只有兩個，而且有一個宮鏈接點必然占據(jù)了三個單元格，而還有一個則只占據(jù)兩個單元格。且兩個宮鏈接點必然會共用一個單元格。這些細節(jié)是我們稍后都會用到的。

思考一下。四個宮的宮鏈接點的分布如此“對稱”，這意味著結構本身是高度對稱的，這就是我們想說的特性：提示數(shù)的分布是高度對稱的。

如果分布是高度對稱的話，我們可以類比宇宙法的思路。由于高度對稱的結構形成，必然可以得到的是，我們不能夠去破壞這種對稱性，否則結構會立馬失去平衡，導致填數(shù)無法正確放入，出現(xiàn)矛盾。所以，我們?yōu)榱吮ＷC結構依舊是完整和正確的，我們只能使得r28c46這四個可能會影響到結構的單元格是一個四數(shù)組。如果這四個單元格只填入兩種候選數(shù)，顯然是矛盾的，因為形成了UR的致命形式；如果只填入三種候選數(shù)，顯然這樣的填數(shù)模式影響到了高度對稱的宮鏈接點，使得結構立刻變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，使得結構出現(xiàn)類似于宇宙法的矛盾，所以，四個單元格必須是四個完全不同的數(shù)字。

那么，這一點有什么用處呢？我們嘗試枚舉出所有填數(shù)情況。我們拿出r2c46進行枚舉，r2c46一共存在6種不同的填數(shù)情況：

• 1和2；

• 1和6；

• 1和7；

• 2和6；

• 2和7；

• 6和7。

我們首先從1和2這一對情況說起。

如圖所示，假設r2c46是1和2的數(shù)對，那么r8c46只能是6和7的數(shù)對，于是觀察b39，由于剛才說到的那種分布模式，最終我們可以根據(jù)這種模式直接確定此時1、2、6的位置，那么，r56c8同時只能填入7，顯然是違背數(shù)獨規(guī)則的。

下面我們來看1和6的組合。

如果假設好1和6的話，我們可以發(fā)現(xiàn)，此時并未產生任何的矛盾。我們不能認為這種情況是錯誤的。所以我們先暫時放一邊。

然后發(fā)現(xiàn)，1和7的組合依然是不行的。和上述邏輯類似，我們可以發(fā)現(xiàn)，r56c8都只能是7。

接下來我們發(fā)現(xiàn)，如果r2c46是2和6的數(shù)對的話，b17會出現(xiàn)矛盾，如圖所示，邏輯和上面完全一樣，這里就不作出說明了。

接下來是2和7的數(shù)對組合。顯然這種情況依舊沒有矛盾。

6和7的組合也是錯誤的。

這六個圖我沒有去掉本來刪掉了的r45c2(7)和r56c8(2)，是因為使用的枚舉完全沒有用到這個地方的刪數(shù)邏輯，所以為了示意更明確、更完整，就沒有在圖上去掉這些原本已經刪除掉的數(shù)字。

這樣我們通過枚舉，就把所有情況都走了一遍，最終發(fā)現(xiàn)，只有1和6的組合，或是2和7的組合是滿足要求的。當然，這也同時說明了一點，r5c46不能是1和6的數(shù)對，也不能是2和7的數(shù)對，否則將會和PLQ給出的其中兩個單元格形成UR的致命形式。

下面我們使用涂色。由于我們確定最終PLQ只有兩種填數(shù)模式，我們就分兩種情況進行涂色。第一種情況是左圖這樣，我們可以根據(jù)這種涂色模式，得到r19c28只有8和9，于是形成一個特殊的結構，看起來很像是X-Wing，而且是綁定的X-Wing。我們通過這個結構，可以直接斷定，r19不能再填入其它的8和9了，因此，此時的r1c37 <> 9，r9c37 <> 8。

同理，第二種情況是右圖這樣。我們此時可以得到，r37c28形成類似于剛才的綁定的X-Wing結構，不過此時需要借助b28的共軛對。由于關于8和9的結構成立，使得此時r3c4 <> 9，r7c6 <> 8。由于b2存在9的共軛對，而b8存在8的共軛對，所以r1c4 = 9、r9c6 = 8。這樣一來，我們依然可以得到r1和r9的其余位置不能放入9和8，所以此時r1c37 <> 9，而且r9c37 <> 8。

由此可見，我們通過費力的枚舉，最終得到了應有的“回報”，這四個刪數(shù)是我們預料不到的地方。

Part 4 JE的直觀

又是一個優(yōu)秀的標題。怎么，想讓我直觀JE這種破結構？當然是的。我們來看看JE是怎么轉換視角的。

我們依然拿出最最標準的示例給大家。因為JE的變體類型結構實在是太多了，所以很多時候，推論的刪數(shù)不一定在任意時刻都成立，所以為了闡述這里的直觀視角，我選擇了一個最基礎的示例。這則示例在前文里已經被提及了兩次，但我依舊喜歡拿出這個示例來解釋一些東西，因為它最基礎。

我們參照網的直觀視角，將JE用直觀的方式呈現(xiàn)出來。

如圖所示，具體形成這樣的形式我們就不再詳細描述了，這一步其實很簡單，直接畫線分配填數(shù)位置就可以了。而根據(jù)上述的圖上的分配形式，現(xiàn)在我們可以得到的是：

交叉格 + 紫色單元格 = 4套1到9

交叉格 + 橙色單元格 = 5套1到9

所以

橙色單元格 = 1套1到9 + 紫色單元格

如圖所示（上述三個公式配合這個圖一起理解）。注意，此時圖上已經沒有b9的涂色，因為b9恰好是一套1到9，我們完全可以拿來用于抵消公式里的“1套1到9”這部分。

然后，結構就成了這樣。顯然，此時橙色和紫色直接就是填數(shù)完全一樣的構型了。不過，光是得到這個結論還不夠，因為它并不足以得到刪數(shù)結果。因為我們細數(shù)確定值就可以發(fā)現(xiàn)，橙色單元格含有8個空格，但紫色的確定值只有6個，顯然會空出兩個單元格，依然我們是無法確定填什么的。不過別擔心，我們還有一些情況是可以立馬排除的。

細看結構，由于原本JE給出的基準單元格只有1、2、7，而如果讓r24c9都填入1、2、7的話，顯然是不允許的，因為四個單元格都只有1、2、7是顯然矛盾的。所以r24c9只能有一個單元格是1、2、7，而另外一個單元格則不允許是1、2、7。第二，基準單元格還不允許讓r78c35全都是1、2、7，否則四個單元格配合r78c9構成1、2、7的拓展矩形的致命形式。所以r78c35里至少有一個數(shù)也不是1、2、7。所以，我們就可以確定1、2、7的最終填入位置了。

如圖所示，我們不管r78c35里哪三個單元格是1、2、7，也不用管r24c9哪一個單元格是1、2、7，這都不重要，因為我們還有兩個單元格是完全可以確定下填入1、2、7的位置的，即r2c7和r3c8，這兩個單元格是一定只能是1、2、7的，否則1、2、7不夠填入到橙色單元格里，使得橙色還有的其余位置必然會出現(xiàn)矛盾，要么四個單元格填入1、2、7三種數(shù)字出錯，要么就是拓展矩形的致命形式導致的出錯。

這就是JE的直觀。雖說是直觀，但依舊需要一點點候選數(shù)的視角來輔助我們的邏輯推理，而它恰好借用了一個完整的宮，來抵消多余的1套1到9；但比較遺憾的是，顯然這種結構只能是分布呈現(xiàn)類似于同宮定理需要滿足的樣子。如果是四種數(shù)字的話，由于確定值的分布不再像這樣簡單，所以不便推理，很少出現(xiàn)這樣的構型；而其它的變種就更難說了。

下面我們來嘗試理解一些示例。如圖所示。另外，需要你自行判斷邏輯的結論，以及刪數(shù)到底是如何形成的，或是能否通過直觀視角刪除這些標注出來的候選數(shù)。如果可以刪除，請自行說明理由。不過標注的刪數(shù)都是通過基礎的JE的刪數(shù)模式得到的刪數(shù)，不代表直觀視角可以刪除。

至此，我們就把所有網的內容介紹完畢了。可以發(fā)現(xiàn)，很多技巧的直觀視角都是依賴于網結構的，而在之前的內容并沒有說明，把它放到最后一個技巧來進行介紹并不為過。