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一般的 zadoff 碼, 其數(shù)學(xué)表達(dá)式可以寫成: ?

這個(gè)函數(shù)是以 L 為周期的
證明: ?

zadoff 碼長一般為質(zhì)數(shù)，L>2 時(shí) L 一定為奇數(shù), 所以, L+1 一定為偶數(shù) ?
所以 ?

證畢. ?

對 ZC 序列做 DFT：??

把? 的表達(dá)式代入上式：

找一個(gè)自然數(shù) v, 使得 uv mod L = 1, 構(gòu)造一個(gè)表達(dá)式：

把公式 (1) 中提取出上式: ?

因?yàn)?uv 模 L 余 1, 所以，可以把 uv 乘在分子的任何一項(xiàng)上，容易證明，乘完之后不改變原等式. ?

其中 ?

所以 ?

上式中的求和項(xiàng), 也是一個(gè) zadoff 碼, 因?yàn)?zadoff 碼是以 L 為周期的周期函數(shù), 所以，第二個(gè)求和項(xiàng)可以等價(jià)替換: ?

當(dāng) k=0 時(shí):

當(dāng) k = 1 時(shí),

其中? 表示 的共軛 ?
可以看到，Y[k] 可以用 Y[0] 和 某一個(gè) 的共軛相乘即可得到, 這要比 DFT 的計(jì)算量要少很多，即使與 FFT 比較也計(jì)算量要少不少

依次類推，

當(dāng) k = 2 時(shí),

一般化：