? ? ? ? 有這樣一道題：

? ? ? ? 已知集合A={(x,y)|y^2=2x},B={(x,y)|(x-a)^2+y^2=9},求使A∩B≠Φ的充要條件.

? ? ? ? 初讀此題,感覺不過如此,只要集合中的兩個(gè)二元二次方程組成的方程組有解即可.于是提筆寫下這樣的解答過程:

??解:要A∩B≠Φ只要y^2=2x和(x-a)^2+y^2=9組成的方程組有解,消去y^2整理得關(guān)于x的一元二次方程x^2+(2-2a)x+a^2-9=0,此方程有解.于是Δ≥0,即(2-2a)^2-4(a^2-9)=4(1-2a+a^2-a^2+9)=4(10-2a)≥0,解得a≤5.

? ? ? ? 然而,事情往往不象想像的那么簡(jiǎn)單.當(dāng)我拿著這樣的自以為不會(huì)有啥意外的答案站在講臺(tái)上給學(xué)生講解時(shí),卻真的出現(xiàn)了意外.因?yàn)楫?dāng)我寫完了上面的答案,繼續(xù)向?qū)W生解釋說,等我們將來學(xué)習(xí)了解析幾何中的圓錐曲線之后,我們會(huì)知道這道題其實(shí)是要我們來求出開口向右的拋物線y^2=2x和圓心在x軸上運(yùn)動(dòng)的半徑等于3的圓(x-a)^2+y^2=9有公共點(diǎn)的充要條件,我甚至還向?qū)W習(xí)努力地解釋方程y^2=2x為啥表示開口向右的拋物線,而且方程(x-a)^2+y^2=9為啥表示的是圓,但同時(shí)我自己的心里卻忽然感覺剛剛給出的答案是不完整的,因?yàn)楫?dāng)這個(gè)運(yùn)動(dòng)的圓從x軸的右邊向左邊移動(dòng)時(shí),開始和拋物線沒有公共點(diǎn),在a=5時(shí)有了兩個(gè)公共點(diǎn),上下各一個(gè),在關(guān)于x軸的對(duì)稱位置上,接著會(huì)有四個(gè),當(dāng)圓剛好過原點(diǎn)時(shí)是三個(gè),繼續(xù)向右時(shí),會(huì)變成一個(gè),就在原點(diǎn),再向右運(yùn)動(dòng)則會(huì)沒有公共點(diǎn),也就是說,a的值不可能是小于5的所有值,在左邊一定還有界限,它會(huì)是誰呢?為什么我們的答案卻不是這樣?

? ? ? ?于是我只好告訴學(xué)生,剛才的解答還不完整!我們有重新來讀題,想看看問題出在哪里.果然,方程y^2=2x既然表示的是開口向右的拋物線,而且頂點(diǎn)是在坐標(biāo)原點(diǎn),那就是說,x軸的負(fù)半軸上下沒有圖像,即x≥0,這就是說,上面是關(guān)于x的一元二次方程

? ? ? ? x^2+(2-2a)x+a^2-9=0不僅有解,而且必須有非負(fù)解.僅有Δ≥0是不夠的,還要加上對(duì)稱軸-(2-2a)/2≥0,f(0)≥0,但是解出答案以后卻是1≤a≤5,依然和剛才利用圖像作出的解釋有出入!到底哪里又出了意外?

? ? ? ?回頭再看畫在旁邊的圖形,當(dāng)動(dòng)圓從右向左離開原點(diǎn)那一刻,圓心應(yīng)該在(-3,0)點(diǎn),為啥計(jì)算出來的結(jié)果會(huì)是a≥1呢?再次仔細(xì)閱讀寫在黑板上的解答過程,我終于看到了一句話:有非負(fù)解!問題就出在這里!有非負(fù)解并不是說都是非負(fù)的,而上面的解答是要求所有解都非負(fù),要求過嚴(yán)了,還可能有其中的一個(gè)非負(fù).于是還要加上一負(fù)一正,一負(fù)一零兩種情形,即f(0)<0和Δ>0且f(0)=0且對(duì)稱軸-(2-2a)/2<0,這樣得到的范圍就是-3≤a≤5.跟前面利用兩個(gè)方程的曲線分析的結(jié)果是一致的.

? ? ? ?這個(gè)題目的解答過程是漫長(zhǎng)的,用了將近兩節(jié)輔導(dǎo)課的時(shí)間才終于有了比較完整的結(jié)局.真的可以說是"一波三折".先是沒有注意到題中的隱含條件"x≥0",導(dǎo)致在轉(zhuǎn)化時(shí)認(rèn)為一元二次方程x^2+(2-2a)x+a^2-9=0有解,從而使a的取值范圍擴(kuò)大;接著在利用方程的曲線分析時(shí)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)失誤,于是按照一元二次方程x^2+(2-2a)x+a^2-9=0有非負(fù)解來解答,卻狹隘的認(rèn)為上面的一元二次方程只有非負(fù)解,主觀的縮小了a的取值范圍,還是和利用圖象分析的結(jié)果不一樣;回過頭來再次對(duì)解答過程仔細(xì)斟酌,才發(fā)覺對(duì)一元二次方程有非負(fù)解這句話理解的太極端了,有非負(fù)解不僅指的是全部是非負(fù)解的情形,還包括了部分解非負(fù)的情況,于是再次補(bǔ)充了一負(fù)一正,一負(fù)一零兩種情形.最終才有了完整的結(jié)果.

? ? ? ?從這里可以看出,許多題目的解答,首先要注意對(duì)條件的把握,不僅是明顯的已知條件,還有隱含條件,而且后者往往對(duì)題目的準(zhǔn)確解答起著關(guān)鍵作用;再者,對(duì)于題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)一定要保證等價(jià)轉(zhuǎn)化,否則同樣會(huì)前功盡棄.

? ? ? ?還有一點(diǎn),這道題在上述的解答過程中涉及到了高中數(shù)學(xué)的四種基本思想方法:先是化歸與轉(zhuǎn)化的思想,把集合的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化為方程組有解的問題,接著有轉(zhuǎn)化為一元二次方程有非負(fù)解的問題,再次轉(zhuǎn)化為解不等式組的問題;其次用到了函數(shù)與方程的思想,無論是解方程組還是解一元二次方程都屬于這種思想方法的運(yùn)用;在利用方程的曲線分析題目和轉(zhuǎn)化一元二次方程有非負(fù)解時(shí)都利用了數(shù)形結(jié)合的思想;在求使一元二次方程有非負(fù)解時(shí)又用到了分類討論的思想.盡管這道題的解答有些煩瑣冗長(zhǎng),但這個(gè)過程是真實(shí)存在的,我在這里分析這個(gè)"一波三折"的過程也是有其意義的.希望以后遇到類似的題目會(huì)少走一些彎路.

?(2006-10-15 14:24:51)