? ? ? ? 有一道有名的求和問題:

? ? ? ?? ?1+2+3+…+99+100=?

? ? ???題目本身并無難度,而且許多人甚至早已記住了它的結(jié)果:5050.關鍵是這個結(jié)果如何得來的,這是我們最關心也最有價值的東西.還由于這道題與一個著名的數(shù)學家高斯有關,據(jù)說是高斯在十歲時就很快就得到了正確的結(jié)果,而其他同學甚至還沒有算完一半,老師很驚奇他那么快,就問他怎么來的.他說了下面的解法:

????1+100=101,

????2+99=101,

????3+98=101,

????…,

????50+51=101.

? ? ? ?這樣就有了50個101,所以這個式子的結(jié)果就是5050.

? ? ? ?從理論上講,這道題的解決是肯定的,但只是時間問題,在現(xiàn)在這個飛速發(fā)展日新月異的時代,高效率就是取勝的關鍵,因此我們就會考慮如何才能解決的迅速而準確.所以高斯解決這個問題的方法是最有用的,我們有必要來深入研究.

? ? ???其實,大家也能看出來,這只不過是等差數(shù)列求和的問題,而且是一個最基本的等差數(shù)列,對于一般的等差數(shù)列有沒有這樣的性質(zhì)呢?

? ? ? ?等差數(shù)列{a(n)},能否有

? ? ? ?a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…,

? ? ? 事實上,

? ? ? 因為a(1)+a(n)=a(1)+a(1)+(n-1)d=2a(1)+(n-1)d,

? ? ? a(2)+a(n-1)=a(1)+d+a(1)+(n-2)d=2a(1)+(n-1)d,

? ? ? ?同理有a(3)+a(n-2)=2a(1)+(n-1)d,…所以有

? ? ? ? a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…成立,

? ? ? ? 在這個推導過程中,我們注意到,因為1+n=2+(n-1)=3+9n-2)=…,看來有這樣的結(jié)論:兩項序號和相等,則兩項和相等,即:

??若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則a(m)+a(n)=a(p)+a(q).

??證明:∵a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)d+a(1)+(n-1)d

=2a(1)+(m+n-2)d,

a(p)+a(q)=a(1)+(p-1)d+a(1)+(q-1)d

=2a(1)+(m+n-2)d,

∵m+n=p+q,

∴a(m)+a(n)=a(p)+a(q).

??這樣我們就容易推導等差數(shù)列的前n項和公式,如

S(n)=a(1)+a(2)+a(3)+…+a(n),

S(n)=a(n)+a(n-1)+a(n-2)+…+a(1),

??兩式相加,得

2S(n)=[a(1)+a(n)]+[a(2)+a(n-1)]+…+[a(n)+a(1)],根據(jù)上面的等差數(shù)列的性質(zhì)就有

???2S(n)=n[a(1)+a(n)],即

???S(n)={n[a(1)+a(n)]}/2,

???這個公式可以與梯形的面積公式s=h(a+b)/2類比.這里推導等差數(shù)列前n項和公式的方法稱為倒序相加法,是很重要的一種方法.

???如果我們將等差數(shù)列的通項公式a(n)=a(1)+(n-1)d代入上式,則有S(n)=na(1)+n(n-1)d/2,將此式變形可得

S(n)=(d/2)n^2+(a(1)-d)n,當d≠0時,上式右邊是關于n的二次函數(shù)式,并且常數(shù)項為0,可見點(n,S(n))在拋物線y=ax^2+bx(a≠0)上,因此涉及S(n)的最值問題就可以利用二次函數(shù)的思想來解決.如:

???等差數(shù)列{a(n)},a(1)>0,d<0,s(25)=s(45),當s(n)最大時,n=(?).

??A.15???B.25????C.35?????D.45

??解析:注意到d<0,S(n)是關于n二次函數(shù),開口向下,由于

s(25)=s(45),因此當n=35時,S(n)取得最大值.選(C).

又如:

? ? ? ?設S(n)是等差數(shù)列{a(n)}的前n項和,且S(16)>0,S(17)=0,若S(n)中值最大的為S(k),則k的值是(?? ).

??A.8???B.9????C.8或9????D.7或8

??解析:利用二次函數(shù)觀點,由于S(n)是關于n的且過原點的拋物線,現(xiàn)在S(17)=0,可見二次函數(shù)的對稱軸是17/2,故k=8或9.

??現(xiàn)在來看這樣的問題:

??已知數(shù)列{a(n)}的前n項和S(n)=n^2+3n,

??求證:{a(n)}為等差數(shù)列.

??證明:∵a(1)=S(1)=4,

當n≥2時,a(n)=S(n)-S(n-1)

=n^2+3n-(n-1)^2-3(n-1)=2n+2,

∵n=1時,2×1+2=4=a(1),

∴a(n)=2n+2(n∈N*)

于是a(n+1)-a(n)=2(n+1)+2-2n-2=2,

∴{a(n)}是公差為2的等差數(shù)列.

這里運用了數(shù)列中一個重要的公式:

a(n)=s(n)(n=1)或a(n)=s(n)-s(n-1)(n≥2),這個公式對任何數(shù)列都是成立的,涉及了分類討論的數(shù)學思想,因而是命題者比較青睞的公式之一,我們在解題過程中要全面考慮,以防出錯.

???再來思考下列問題:

???(1)已知等差數(shù)列{a(n)}的通項a(n)=24-3n,則前多少項和最大?

????等差數(shù)列{b(n)}的通項b(n)=2n-17,則前多少項和最小?

???(2)已知等差數(shù)列{a(n)}中,S(m)=30,S(2m)=90,

則S(3m)=＿＿＿.

???(3)已知等差數(shù)列{a(n)}和{b(n)}的前n項和分別為

S(n),T(n),且S(n)/T(n)=(7n+1)/(4n+27),則a(11)/b(11)=＿＿＿.

???(4)已知等差數(shù)列{a(n)}中,a(7)=2,則S(13)=＿＿＿.

???(5)在項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列{a(n)}中,奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和的比是＿＿＿.

???在項數(shù)為2n的等差數(shù)列{a(n)}中,奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和的比是＿＿＿.

解析:(1)由a(n)=24-3n知道數(shù)列前8項非負,即n≤8時,a(n)≥0,可見前7項或前8項和最大.

由b(n)=2n-17,知當n≤8時,b(n)<0,當n≥9時,b(n)>0,∴前8項的和取得最小值.

[歸納]等差數(shù)列性質(zhì):

???當a(1)>0,d<0時,由a(m)≥0且a(m+1)≤0,得S(m)為最大值.

???當a(1)<0,d>0時,由a(m)≤0且a(m+1)≥0,得S(m)為最小值.

(2)先看這樣的解法:

∵{a(n)}為等差數(shù)列,∴S(m),S(2m),S(3m)也是等差數(shù)列,

∵2S(2m)=S(m)+S(3m),則2×90=30+S(3m)∴S(3m)=150.

這種解法不對.

(2006-12-18 09:34:06)