?函數(shù)本身當(dāng)然不僅僅是一個抽象的概念,它還有一系列的要素和性質(zhì)需要我們一一去把握.

??首先我們要明白,函數(shù)有許多的表示方法:列表法;解析法;圖像法等,為什么說等呢?因為還有許多的函數(shù)關(guān)系并不能用以上三種方法表示.許多的統(tǒng)計報表,數(shù)學(xué)用表,其實就是用列表法來表示的函數(shù)關(guān)系,解析法就是用等式y(tǒng)=f(x)來表示的函數(shù)關(guān)系,這是我們現(xiàn)階段研究最多的一類函數(shù),像分別用等式y(tǒng)=kx(k≠0),y=k/x(k≠0),y=kx+b(k≠0),y=ax^2+bx+c(a≠0)來表示正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)．而圖像法就更多了，證券公司的顯示屏上的升降趨勢曲線，用來表示各年人口出生率的變化曲線，等等．

　　函數(shù)有三要素：定義域，值域和對應(yīng)法則，通?？杀硎緸椋妫海痢?，Ａ代表定義域，Ｃ代表值域，ｆ指的是對應(yīng)法則，函數(shù)就是建立在兩個非空數(shù)集A,C上的一種對應(yīng)關(guān)系,對于一個具體的函數(shù)關(guān)系,首先應(yīng)考慮它的定義域,也就是我們要把握一個重要的原則:定義域優(yōu)先.為了讓大家掌握函數(shù)的三要素,就有判別兩個等式是否表示同一函數(shù)的問題:如y=x與y=a^logax;y=x+1與y=(x^2-1)/(x-1).解決這類問題關(guān)鍵是從定義域和對應(yīng)法則及值域入手,準(zhǔn)確區(qū)分,要特別注意一些細(xì)節(jié),如自變量能否等于0等等.

???函數(shù)的定義域有以下幾個常見要求:

???1,分式的分母不等于0;

???2,偶次根式的被開方式非負(fù);

???3,0不能做0次冪的底數(shù);

???4,對數(shù)的真數(shù)大于0,其底數(shù)大于0且不等于1;

???5,對于由實際問題得到的函數(shù),還要使其自變量有實際意義,如距離要大于0等.

???考試中題目常常不會單一考查,而是將以上幾種情形結(jié)合在一起來考查,所以一定要注意分清各種情形,才能全面把握,防止出錯.如讓偶次根式來做分母,或把分母含有自變量的分式放進(jìn)偶次根號中,等等.由上述情形也可以看出,求函數(shù)的定義域其實就是解不等式組,這大概就是為什么在第一章就要學(xué)習(xí)解簡單不等式的原因了.這里的問題的關(guān)鍵變成了如何保證找出應(yīng)該考慮的所有不等式,然后才涉及準(zhǔn)確求解不等式的集合這樣的細(xì)節(jié)問題.這也許就是為何一進(jìn)入高中首先就要學(xué)習(xí)集合理論的原因所在了.這也可以看出數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性了,一環(huán)套一環(huán),層層推進(jìn),少一個環(huán)節(jié)也不行,為什么數(shù)學(xué)課使許多人感到頭大,這可能是緣由之一,老師教得費勁,學(xué)生學(xué)得吃力,成績往往不如人意.

???另外就是有一類關(guān)于復(fù)合函數(shù)定義域的問題:

???設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是[-2,9),則函數(shù)f(x+2)的定義域是＿＿.這類問題考查的是函數(shù)的定義域,解決它要利用整體代換的思想,這里的x+2代替了前面的x,因此它的范圍就是x的范圍,即-2≤x+2＜9,解之得-4≤x＜7,所以這里應(yīng)填[-4,7).但從學(xué)生解答的情況來看,出錯的幾率相當(dāng)大.有的人分不清所求的定義域究竟是x的范圍還是x+2的范圍,關(guān)鍵的原因還是對函數(shù)的概念理解不到位.如果把這道題改為:設(shè)函數(shù)f(x+2)的定義域是[-2,9),則函數(shù)f(x)的定義域是＿＿.這里看來,似乎與上面的題目區(qū)別不大,但實質(zhì)卻大相徑庭,因為后者的x代替的是前面的x+2這個整體,所以我們必須搞清楚前者x+2的范圍,才能知道x的范圍.于是可以這樣來解答:由題知-2≤x＜9則0≤x+2＜11即0≤x＜11,可見應(yīng)填[0,11).

???再來說求函數(shù)值域的問題.這一直是高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識的難點所在,許多人到了高三還是沒有完全搞明白求值域的問題.雖然各種具體函數(shù)的值域記得很清楚.如:

???正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的值域為(-∞,+∞);

???反比例函數(shù)y=k/x(k≠0)的值域為(-∞,0)∪(0,+∞);

???一次函數(shù)值域為(-∞,+∞);

???對二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0),當(dāng)a>0時,值域為((4ac-b^2)/4a,+∞);當(dāng)a<0時,值域為(-∞,(4ac-b^2)/4a).

這里對二次項系數(shù)a的符號的判斷成為許多問題解決中的重要前提.也常常成為命題者設(shè)置陷阱的地方,如

???不等式(m^2-2m-3)x^2-(m-3)x-1<0的解集為R,求m的取值范圍.

???很容易想到m^2-2m-3<0且△<0,但這卻不是命題者的唯一目的,因為題目并未告訴說這是二次不等式,也即有可能m^2-2m-3=0,再加上m-3=0,原不等式變成了-1<0,的確對任意的x∈R都成立.可見,這里的二次項系數(shù)是否等于0成了我們對問題理解的關(guān)鍵.

????我們后來學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)y=a^x(a>0且a≠1)的值域為(0,+∞);對數(shù)函數(shù)y=loga^x(a>0且a≠1)的值域為(-∞,+∞).前者的函數(shù)值恒大于0,經(jīng)常成為許多復(fù)合函數(shù)問題中的隱含條件,如

???求函數(shù)y=4^x+2^(x+1)-1的值域.

???經(jīng)過變形可得y=(2^x+1)^2-2,是關(guān)于2^x的二次函數(shù),容易誤認(rèn)為答案是[-2,+∞),實際上,因為2^x>0,這個關(guān)于2^x的二次函數(shù)根本取不到自身的最小值-2,只要令t=2^x,注意到t∈(0,+∞),y=(t+1)^2-2,問題變成了在給定區(qū)間(0,+∞)上求二次函數(shù)的值域,是常規(guī)問題.分析區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系知,函數(shù)在此區(qū)間上遞增,故值域為(-1,+∞).

???關(guān)于求函數(shù)的值域有這樣的幾種方法:

???1,分離常數(shù)法,如y=(x-1)/(x+1),可變形為y=1-2/(x+1),易知函數(shù)值域為(-∞,1)∪(1+∞).

???2,判別式法,如y=(x^2+2x-1)/(x^2+x+1),注意到分母x^2+x+1恒不為0,函數(shù)式可變形為(y-1)x^2+(y-2)x+(y+1)=0,當(dāng)y=1時對應(yīng)的x=1/2;當(dāng)y≠1時,關(guān)于x的二次方程有實數(shù)根(為什么?請讀者自己思考),于是△≥0,即(y-2)^2-4(y-1)(y+1)≥0,整理得3y^2+4y-8≤0,解之即得此時的范圍,將y=1和y≠1兩種情形的y的范圍求并集可得所求值域.注意到這類題目雖然是分式形式,但定義域常常是R,否則問題就更復(fù)雜了,這里不再贅述.

???3,反函數(shù)法,如y=(2^x-1)/(2^x+1),可將其變形為2^x=(1+y)/(1-y),因為2^x>0,所以(1+y)/(1-y)>0,得到y(tǒng)∈(0,1)為所求.

???4,單調(diào)性法,如y=2x-√2-x,注意到2x和-√2-x同為區(qū)間(-∞,2]上的增函數(shù),易知函數(shù)值域為(-∞,4].這種方法對于不同類函數(shù)組合成的函數(shù)尤其有效,大家應(yīng)準(zhǔn)確把握.

???5,換元法,如上面的例題,令t=√2-x,則t∈[0,+∞),而y=2t^2-t+4,配方得y=-2(t+1/4)^2+33/8,問題轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上求二次函數(shù)值域.

(2006-12-08 12:25:28)