我們已經(jīng)知道函數(shù)有三要素:定義域,值域,對(duì)應(yīng)法則.針對(duì)定義域和值域的題型前面我們已經(jīng)說(shuō)過(guò),現(xiàn)在來(lái)談?wù)勱P(guān)于對(duì)應(yīng)法則的題型:怎樣求函數(shù)的解析式.

來(lái)看這樣一道題:

例1,若f[g(x)]=6x+3,且g(x)=2x+1,則f(x)=(?)

A,3?????B,3x?????C,6x+3?????D,6x+1

解析:這里知道了復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式和內(nèi)函數(shù)的表達(dá)式,欲求外函數(shù)的解析式,注意到復(fù)合函數(shù)為一次函數(shù),故可考慮利用待定系數(shù)法來(lái)解決,設(shè)f(x)=ax+b,則

f[g(x)]=f(2x+1)=a(2x+1)+b=2ax+a+b=6x+3,

∴2a=6,a+b=3,∴a=3,b=0,即f(x)=3x.選(B).

上述過(guò)程顯然是將題目作為一道小型解答題來(lái)解決的.

倘若從選擇題本身的特點(diǎn)入手,則可以利用驗(yàn)證法來(lái)做,很快就能找到答案(B).由此可見(jiàn),對(duì)于不同類型的題目,應(yīng)注意分析題型特點(diǎn),而不要急于動(dòng)手,小題有小題的做法,不應(yīng)該小題大做,這樣在考試中就會(huì)"隱性失分".

例2,設(shè)f(x)=x/(x^2+1),則f(1/x)是(?)

A,f(x)??B,-f(x)??C,1/f(x)???D,1/f(-x)

解析:這道題是知道了外函數(shù)的解析式,來(lái)求復(fù)合函數(shù)的解析式.準(zhǔn)確理解函數(shù)定義的話,只要利用整體代換的思想,用1/x代替已知式子中的x,并加以變形整理即可.但這樣問(wèn)的話,此題未免太過(guò)平常,從四個(gè)選項(xiàng)可見(jiàn),不僅要求出f(1/x)的解析式,而且要發(fā)現(xiàn)此式與已知式之間的關(guān)系,因此,變形的方向就是已知式,只有這樣才能保證萬(wàn)無(wú)一失.此題答案為(A),詳細(xì)過(guò)程請(qǐng)讀者自己整理.說(shuō)這道題的目的不僅僅是題目本身,而在于對(duì)常規(guī)選擇題也應(yīng)謹(jǐn)慎對(duì)待,弄清題意,找準(zhǔn)方向,確保迅速正確.

例3,求函數(shù)的解析式

(1)已知f(√x+1)=x+2√x,求f(x),f(x+1),f(x^2).

(2)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,

求f(x).

(3)已知f(x)+2f(1/x)=2x+1求f(x).

解析:(1)這里知道復(fù)合函數(shù)的解析式,求外函數(shù)的解析式以及相關(guān)函數(shù)的解析式,常規(guī)的方法是換元法,

令u=√x+1(x≥0),則√x=u-1,即x=(u-1)^2(u≥1),

∴f(u)=(u-1)^2+2(u-1)=u^2-1(u≥1),

即f(x)=x^2-1(x≥1).

∴f(x+1)=(x+1)^2-1=x^2+2x(x≥0),

f(x^2)=x^4-1(x≤-1或x≥1).

后面兩個(gè)式子的求解只是整體代換,但要特別小心函數(shù)定義域的相應(yīng)變化,這雖然是一個(gè)細(xì)節(jié),卻是不容忽視的,細(xì)節(jié)決定成敗,這道題目能否圓滿完成,關(guān)鍵可能就在此處.

(2)題目已經(jīng)告訴說(shuō)f(x)是二次函數(shù),因此可以運(yùn)用待定系數(shù)法來(lái)解決.設(shè)fx)=ax^2+bx+c(a≠0),f(0)=c=1,

∴f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+1

=(ax^2+bx+1)+(2ax+a+b),

∴f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x.

∴2a=2,a+b=0,即a=1,b=-1.

∴f(x)=x^2-x+1.

(3)注意到這個(gè)式子f(x)+2f(1/x)=2x+1①的特點(diǎn),它是關(guān)于x和1/x的恒等式,欲求f(x),應(yīng)設(shè)法得到類似的等式,利用方程思想來(lái)求解,于是以1/x來(lái)代換已知式中的x得到等式:

f(1/x)+2f(x)=2/x+1②,

則由①②聯(lián)立,消去f(1/x)即得

f(x)=(4+x-2x^2)/(3x).

(2006-12-12 12:36:03)