? ? ??大概在幾百年前，遠(yuǎn)在歐洲的牛頓和萊布尼茲先后發(fā)明了“微積分”這一解決問題的利器。今天我們就談?wù)勎⒎e分中的一個(gè)重要概念---導(dǎo)數(shù)? ? ? ? ? ? ? ?1.直線和直線的斜率

?? ? ?? 在中學(xué)，相信大家都學(xué)過“一次函數(shù)”吧，當(dāng)時(shí)的定義是：形如f（x）=kx+b的函數(shù)就叫做一次函數(shù)，它的圖像是一條直線

? ? ? ? ?不少人應(yīng)該聽說過，系數(shù)k的絕對值大小決定圖像的傾斜程度，k的正負(fù)則決定了函數(shù)的單調(diào)性，那么有沒有人真正從幾何意義的角度去理解這個(gè)“k”的根本含義呢？

? ? ? ?我們先在一個(gè)函數(shù)f（x）=kx+b的圖像上取兩點(diǎn)（x0，y0）和（x，y），如圖

? ? ? ?我們還是先現(xiàn)在按照初中的方法推演一遍k，首先，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入f（x），就可以輕松得到兩個(gè)式子：kx0+b=y0和kx+b=y，由于我們要求的是k，所以常數(shù)b就顯得“礙手礙腳”了，于是乎，我用第二個(gè)式子左右分別與第一個(gè)式子相減，最后得到k（x-x0）=y-y0。到了這里，我們很容易寫出k的表達(dá)式

? ? ? 其中的Δy和Δx分別表示從A到B兩點(diǎn)函數(shù)值y和自變量x的增量，所以“k”實(shí)際上表示一種“增量的比值”，學(xué)過簡單三角學(xué)知識的同學(xué)可能還知，這個(gè)值的大小正好等于f（x）與x軸夾角的正切值tanθ的大小，我們還給它一個(gè)名字：直線的斜率。這個(gè)名字還是很形象的：好比你去爬一座山，山的坡度越大，這個(gè)地方的“斜率”就應(yīng)該越大，而函數(shù)圖像的斜率則體現(xiàn)了函數(shù)值增減的劇烈程度，即函數(shù)的“坡度”。

? ? ? ? ? 2.切線與割線

? ? ? 看到這個(gè)小標(biāo)題的兩個(gè)名詞，學(xué)過有關(guān)圓的知識的小伙伴應(yīng)該很熟悉了吧？然而有的朋友可能不知道，很多函數(shù)圖像也有它們的“切割線”，而函數(shù)圖像的“切線”恰恰是引出導(dǎo)數(shù)所需要的一個(gè)極其重要的概念。那么我們先來看看什么是割線

? ? ?像這樣，我們先在坐標(biāo)系中任意畫一個(gè)函數(shù)f（x）的圖像，確定一點(diǎn)A，再在圖像任意畫一點(diǎn)B（不與A重合），此時(shí)直線AB看起來像把圖像“割”成了兩部分，我們將其稱為“割線”，這個(gè)名字也是十分形象的。

? ? ? 現(xiàn)在，我開始讓B點(diǎn)開始靠近A點(diǎn)，當(dāng)AB之間的距離無窮小時(shí)，此時(shí)的直線AB稱之為A點(diǎn)的切線

? ? ? ?但是我們知道，切線與圖像只能有一個(gè)交點(diǎn)，而根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”，AB又不可能重合，還是一條割線，這樣不就出現(xiàn)自我矛盾了么？

? ? ? ? 所以，我們運(yùn)用了極限的思想定義切線：讓AB間距離無窮小，但又不讓兩點(diǎn)完全重合，與一般的割線又能區(qū)別開來，perfect！

? ? ? ???3.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

? ?? ?上文中，我們已經(jīng)用極限的思想定義了切線，那么不只是A點(diǎn)，在函數(shù)圖像上的其它點(diǎn)上，我們一樣能作出它們的切線。而一個(gè)點(diǎn)處，肯定只對應(yīng)著一個(gè)切線的斜率值。于是我們可以知道，這個(gè)切線的k值與x肯定成某種具體的函數(shù)關(guān)系，這個(gè)函數(shù)關(guān)系我們稱之為導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，把上面的定義的切線拿來康康，很容易知道無窮靠近的AB的坐標(biāo)差之比的極限就能表示導(dǎo)數(shù)的大小，此時(shí)我們給Δy、Δx一個(gè)新名字，叫做微分，而導(dǎo)數(shù)又可表示為dy/dx的形式，所以導(dǎo)數(shù)又稱為微商

? ? ?上面給出的即為導(dǎo)數(shù)的極限定義，其中l(wèi)im是英文limit的縮寫，表示求極限，下面的Δx→0形象地表示了令Δx趨于零。光說不做有什么用？我們來舉個(gè)例子先

e.g.求f（x）=3x^2的導(dǎo)數(shù)

? ? ?在這里，沒接觸過極限的同學(xué)可以直觀地把Δx當(dāng)作零處理就行了

? ? ?而不同函數(shù)對應(yīng)著不同的求導(dǎo)方法，人們?yōu)榱吮苊饴闊┑闹貜?fù)計(jì)算，便將它們一勞永逸的做成了“導(dǎo)數(shù)表”，如下圖：

? ? ?順便附上導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：

? ? ? ??4.導(dǎo)數(shù)與積分

? ? ?在初中，各位的老師應(yīng)該經(jīng)常分析運(yùn)動學(xué)中的v-t圖像，只不過它們基本上都是勻速運(yùn)動的圖像，相對比較好分析

? ? ? ?然而大家見過這種圖像么？

? ? ? 遇到這樣的情況，位移x難道就沒存辦法求了嗎？當(dāng)然不是。

? ? ? ?我們試著把（0，0）到（t0，0）之間像這樣分成許多矩形

? ? ?當(dāng)矩形的個(gè)數(shù)n趨于無窮時(shí)，我們便可以認(rèn)為在每個(gè)Δt內(nèi)，物體做勻速運(yùn)動，此時(shí)，我們將所有的矩形面積累加起來，便得到了物體的總位移x，其實(shí)也就是圖像與坐標(biāo)軸圍成曲邊梯形的面積，而這個(gè)面積是一個(gè)定值，稱之為該函數(shù)在0~t0區(qū)間的定積分，記做

? ? ? ?我們知道，物理學(xué)上的速度定義為位移對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)dx/dt，我們既然對位移x求一次導(dǎo)數(shù)能得到速度v，對速度v做一次積分能得到位移x，這說明了什么？這說明了積分和求導(dǎo)是一對互逆的運(yùn)算啊！

? ? ? ?我們這樣便抓住了某種規(guī)律：能不能將定積分的值表示成某種函數(shù)的差值呢？答案是：能，這不才有了牛頓---萊布尼茨公式嘛！

? ? 我們將被積函數(shù)f（x）視為另一個(gè)函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)，f（x）在b~a區(qū)間的定積分值即為F（a）-F（b）的值，這個(gè)F（x）被我們稱之為原函數(shù)，這樣，微分和積分間的互逆關(guān)系便完美展現(xiàn)出來了！

e.g.

? ? ?這樣，我們就成功get新技能求導(dǎo)與積分，你學(xué)廢會了嗎？

p.s.

（1）利用積分，我們可以解決我們的小學(xué)疑惑：圓錐體的體積

（2）最近有人問了我一個(gè)這樣的問題

? ?這位同學(xué)已經(jīng)知道要求與AB平行的切線的表達(dá)式，求出切點(diǎn)D的坐標(biāo)即可，初中推薦的解法為：設(shè)出直線的表達(dá)式，已知通過判別式Δ=0解出直線表達(dá)式，聯(lián)立方程組求解。其實(shí)在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)知識后，求出二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)值為AB斜率，求出該點(diǎn)x值即可，這樣我們就簡單直觀的得到了答案。