電路中的Y-Δ變換是我們熟知的：

變換方式為：

這只是做題時候用于簡化電路的一個技巧，雖然Kirchhoff能解決一切問題，但是畢竟我們一般懶得解多元的方程組。但是它的意義僅此而已嗎？仔細一想，它其實可以刻畫三角形網(wǎng)格和六邊形網(wǎng)格之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。這使我們聯(lián)想到三角形或者六邊形網(wǎng)格上的percolation。

對于Z^2上的Bernoulli percolation，我們很容易通過duality看出p_c=1/2。這是因為Z^2的對偶還是它的本身。甚至，對于二維的FK percolation，也就是Ising模型或者更一般的Potts模型，也可以通過self-duality算出p_c：考慮把一個(p,q)的（free boundary）FK percolation的（wired boundary的）configuration做duality，會變成怎樣的FK percolation？單純嘗試性地看一下，我們其實是想要比較

c(\omega)和o(\omega^*)是對應的。那么兩個k呢？我們可以在Grimmett上找到這樣一條公式：

把它應用在(\omega^*)^1上，發(fā)現(xiàn)k((\omega^*)^1)相比左邊會少掉一個o(\omega^*)。這樣一來就剛剛好了，只要

就可以滿足duality。然后我們想，一個configuration critical的時候，它的duality應該也是剛剛好critical的。（subcritical和supercritical互相對應，critical和critical互相對應）。而且，Z^2的對偶還是Z^2。所以可以“看出”FK percolation的critical probability為：

所以Z^2上的Potts model的相變溫度就知道了：

這也就是Onsager當年做出來的解析解。這個exact result一看就相當炫。

當然，上面只是一個observation，進一步的嚴格證明需要用相變的sharpness，不細寫了。

上面都是題外話，只是想說明下邊的事情：當我們想用一樣的方法考察三角形網(wǎng)格的時候，發(fā)現(xiàn)出了問題：三角形網(wǎng)格的對偶是六邊形，不再是本身了。但是Y-Δ變換給我們一個hint：也許三角形網(wǎng)格和六邊形網(wǎng)格之間可以互相轉(zhuǎn)化。

通過簡單的概率計算我們發(fā)現(xiàn)，如果以下兩個條件得以滿足：

1.

這個值為1；

2.

那么對于“外部”的網(wǎng)格來說，這三個點之間連接關(guān)系的變化是“invisible”的。

因此，和前面Potts模型同理，我們可以看到，inhomogeneous triangular lattice的“critical surface”為：

等于1。因為有三個參數(shù)，所以不是critical point，而是critical surface。如果是homegeneous的話，那就是3p-p^3=1的解，也就是2sin(pi/18)。這也是難得可以求出的一個exact result。不過前面的結(jié)果更加一般，比如說對于兩邊p另一邊p/2的inhomogeneous percolation，也可以算出threshold滿足p^3-5p+2=0等等。另外注意，三角形的site percolation的threshold是1/2，這可以通過對稱性直接看出來。而square lattice的site percolation threshold倒是沒辦法用duality算了，而且目前也沒有精確表達，只有數(shù)值結(jié)果0.59274605079210(2)。