近衛(wèi)上天大隊(duì)

? ? ? ?本文的閱讀需要高一水平的物理知識略微超過高中水平的的微積分知識,如果不想看繁瑣的過程，可以直接跳到后面的小結(jié)。

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? ? ? ?當(dāng)我們豎直懸掛一根在原長狀態(tài)下質(zhì)量分布均勻的彈簧時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)它的質(zhì)量分布不再均勻（如圖1），即上部的伸長量大于下部的伸長量，這會(huì)導(dǎo)致其質(zhì)量分布不再均勻。為什么呢？顯然，較為高的一部分需要抵消的重力更多，因此要伸得較長，來產(chǎn)生更大的力。定性分析到此為止。如果想知道更為詳細(xì)的情況，就不得不動(dòng)手算算。

? ? ? ?在這種情況下，彈簧的情況就比較復(fù)雜，因?yàn)槲覀儠簳r(shí)還不知道其質(zhì)量分布，其質(zhì)心未知，即重力勢能難以計(jì)算，因此用能量來計(jì)算顯得困難。但是我們依然可以從簡單的情況入手，即彈簧始終質(zhì)量分布均勻，來看看伸長量是多少，并與后面計(jì)算的結(jié)果相比較。設(shè)原長為L，其質(zhì)量為m，勁度系數(shù)為k，伸長量為ΔL，以其原來的質(zhì)心所在的平面為重力勢能的零勢面，則彈簧具有的總能量? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

E對ΔL求導(dǎo)，并根據(jù)“最小作用量[1]”原理，令導(dǎo)數(shù)為零，于是我們得到

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

解得

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3)? ?

? ? ? ?然而，由于實(shí)際情況中，彈簧的質(zhì)量分布是不均勻的，我們無法確保其質(zhì)心仍然位于其幾何中心，因此，上述方法缺乏一般性。我們需要更好的方法。雖然不情愿，但是為了定量解決這個(gè)問題，不得不使用牛頓創(chuàng)造的數(shù)學(xué)工具。為了使用微元法解決問題，先給出一個(gè)結(jié)論：當(dāng)我們把一根理想的彈簧的原長進(jìn)行n等分后，每一段的勁度系數(shù)都會(huì)變成原來的n倍[2]。。為了簡化問題，我們將彈簧抽象成一根一維的彈性棒，除了形狀之外，最主要的特性——彈力正比于形變量，以及原長狀態(tài)下質(zhì)量分布均勻——與彈簧都一樣。設(shè)其原長為l，其質(zhì)量為m，勁度系數(shù)為k，其中的點(diǎn)在伸長前到底端的距離為l1，并取l1處一段微小的長度dl1，則這一段極短的彈簧的彈性系數(shù)變?yōu)?/p>

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

這一小段的彈簧產(chǎn)生的彈力要抵消掉其下部的重力，設(shè)其伸長量為dΔl（如圖2），則

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5） ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

將（4）代入（5）中，經(jīng)過基本的代數(shù)運(yùn)算，可得

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??（6）

可見，每一段長度微元的伸長量與這一長度微元在伸長前到底端的距離成正比，這與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果——離底部越遠(yuǎn)其伸長量越大——相符合。為了求總的伸長量，需要把每一小段的伸長量加起來，數(shù)學(xué)上就是對（6）式兩邊同時(shí)積分，即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

考慮到位于最底端的一小段不用克服重力，所以積分的結(jié)果為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

Δl的意義為伸長前從底部到l1處這部分彈簧的伸長量。如果將l1=l代入上式，我們將得到整一段彈簧的伸長量

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（9）?

接下來討論質(zhì)量分布。我們知道，在三維空間中，描述質(zhì)量分布的物理量是密度。同樣的，為了準(zhǔn)確描述一維空間中（或者沿某個(gè)方向的）質(zhì)量分布情況，我們需要引入一個(gè)新的物理量——（質(zhì)量的）線密度，通常用希臘字母λ表示。密度為單位空間中的質(zhì)量，那么線密度就是單位長度上的質(zhì)量。為了求空間中某一點(diǎn)的密度，我們可以先取一部分包羅這一點(diǎn)的體積V，設(shè)這部分體積包含了質(zhì)量m，則這一部分的平均密度可以表示成

m/V

然后，我們讓這部分空間不斷地縮小，但是始終包含了之前選取的那一點(diǎn)，那么，上述比值變成一個(gè)兩個(gè)無窮小量的比值，這個(gè)比值將會(huì)趨于一個(gè)極限，這個(gè)極限就是該點(diǎn)處（質(zhì)量）的密度。所以，對于某一點(diǎn)上的密度，其表達(dá)式為

其中，dm為該點(diǎn)的質(zhì)量，dV是該點(diǎn)的體積。這里用到了極限的思想。實(shí)際上，在討論伸長的情況時(shí)，也用到了極限的思想（微積分）。由此類比得出某一點(diǎn)處的線密度

其中dx是長度的微分。有了這些概念的準(zhǔn)備，我們就可以開始計(jì)算了。

在這里，我們需要一個(gè)新的量，就是原來距離底端l1的那一小段在伸長后與底端的距離l2（如圖2）。顯然，二者間有關(guān)系

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

將（8）代入到（10）中，我們得到二者間具體的變換關(guān)系

（11）

以及

（12）

對于伸長前一段dl1，由于質(zhì)量分布均勻，所以，在這一段上的線密度等于整一段的線密度，即

（13）

同時(shí)，這一段的dl1所包含的質(zhì)量

（14）

在伸長后，這一小段的長度將會(huì)變?yōu)閐l1+dΔl，但是其質(zhì)量不變，所以其在原來l1處的線密度將會(huì)變小。所以……等等，為了檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果，我們應(yīng)當(dāng)先定性地給出一些顯而易見的結(jié)論。這這里，我想到兩個(gè)顯然的結(jié)論：

第一，對于最底端那一點(diǎn)的線密度，應(yīng)該和伸長前的線密度相等。因?yàn)樽畹投说哪且恍《尾挥贸惺苤亓Γ圆挥蒙扉L，其線密度自然就不變。用數(shù)學(xué)語言來講就是

（15）

第二，從下往上線密度應(yīng)當(dāng)是遞減的。轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言：

（16-1）

以及

? （16-2）

有了這兩個(gè)結(jié)論，那么接下來的計(jì)算就可以參考（15）和（16-1）（16-2），來判斷正誤。

回到（14）。在伸長后，原來的這一小段的長度將會(huì)變?yōu)閐l1+dΔl，根據(jù)線密度的定義，原來l1處的線密度將會(huì)變?yōu)?/p>

（17）

把（6）以及（14）代入到（17）中，得到原來l1處的線密度

（18）

把（18）與（15）、（16）比較，發(fā)現(xiàn)他們相符合，說明我們的計(jì)算結(jié)果經(jīng)得起考驗(yàn)。再把（12）代入到（18）中，得到λ與l2的關(guān)系式

（19）

式（19）也符合（15）（16）。

接下來就是設(shè)法進(jìn)一步檢驗(yàn)我們的結(jié)論。除了（15）、（16-1）和（16-2）以外，還有一個(gè)顯然的事實(shí)：在伸長前后彈簧的質(zhì)量不變。由于（19）是最終的表達(dá)式，從（10）開始的計(jì)算都是為它服務(wù)的，所以檢驗(yàn)（19）是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。伸長后，對于極短的一段dl2，其線密度幾乎不變，所以包含的質(zhì)量為

為了求整段的長度，應(yīng)該進(jìn)行積分。伸長后整一段的長度為l’，所以整一段的質(zhì)量

（20）

聯(lián)立（11）（13）（19）（20），我們可以發(fā)現(xiàn)（20）右邊的計(jì)算結(jié)果就是m（計(jì)算過程略），即彈簧的質(zhì)量，方程左右兩邊相等。所以，有理由相信（19）是正確的。

小結(jié)：

1、對于一根在原長時(shí)質(zhì)量分布均勻，質(zhì)量為m，原長為l，勁度系數(shù)為k的彈簧，在豎直放置自然伸長時(shí)，其伸長量

2、對于一根在原長時(shí)質(zhì)量分布均勻，質(zhì)量為m，原長為l，勁度系數(shù)為k的彈簧，在豎直放置自然伸長時(shí)，沿其伸長方向自底端而上的質(zhì)量分布的情況（設(shè)其上一點(diǎn)距離底端h），即線密度隨高度的變化滿足

其中λ0=m/l，是彈簧在伸長前質(zhì)量的線密度。

3、在進(jìn)行研究時(shí)，我們可以事先得出一些顯然的結(jié)論，這些結(jié)論可以作為研究過程中的“公理”。如果想檢查我們的結(jié)論是否正確，我們可以看看我們的結(jié)論與“公理”是否符合，如果相符，就說明我們的結(jié)論有一定的可靠性，反之就說明我們的研究出了問題，或者是“公理”有問題（相對論以及量子力學(xué)的發(fā)展過程，更遠(yuǎn)的，比如說伽利略的斜面實(shí)驗(yàn)），我們就要重新審查我們的理論體系以及推理過程。

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注：

[1] 簡單的來說，就是：如果一個(gè)物理量x與另一個(gè)物理量y之間有函數(shù)關(guān)系y=f（x），么能穩(wěn)定存在的狀態(tài)就是當(dāng)f（x）取極值時(shí)，即y=f（x）的圖像上那些比附近的點(diǎn)都要高（低）的點(diǎn)所對應(yīng)的狀態(tài)才能穩(wěn)定存在，比如說，一個(gè)小球，能自發(fā)地靜止在波浪線的波峰或波谷的位置。詳情請參閱相關(guān)資料，本人水平有限。

[2] 勁度系數(shù)跟有效匝數(shù)成反比，這里理想的含義是匝數(shù)跟有效匝數(shù)相等。關(guān)于勁度系數(shù)詳情見：

https://baike.baidu.com/item/%E5%8A%B2%E5%BA%A6%E7%B3%BB%E6%95%B0/9403617?fr=aladdin

[3]封面的圖片來源于B站up @隴上大成? 的視頻AV68885553，在此對其表示感謝

[4]本人水平不足，因?yàn)槲也皇窍嚓P(guān)方面的專業(yè)人員，如有錯(cuò)誤或不當(dāng)?shù)牡胤秸埗喽嘀附獭?/p>

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