歐幾里得111、歷、史、歷史，歐幾里得證明√2是無理數(shù)的方法

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歷史上，人們對“證明根號2是無理數(shù)”很感興趣（“就像人們對證明勾股定理很感興趣一樣。”中學(xué)生說）。

…歷：這個“歷”字的上古形體很有意思。甲骨文①的上部是兩棵“禾”，表示一行一行的莊稼，下部是一只腳（止），腳趾朝上，腳后根朝下，表示腳步從一行一行的莊稼中走過。金文②的左上邊增加了個“廠”字，表明在山崖之前種有一行行整整齊齊的莊稼。小篆（zhuàn）③把甲骨文和金文合并，雖然字形復(fù)雜了，但是表意更為全面，表示人的腳步從山崖前的莊稼田中一步一步地走過?？瑫艿男误w是直接從小篆變來的。⑤是簡化字，這就變成了一個外形（廠）內(nèi)聲（力）的新形聲字了。

“歷”字的本義是“經(jīng)過”，如司馬遷在《報任安書》中說：“足歷王庭?！币簿褪钦f：從匈奴君主的住處走過。由這個本義又可以引申為“逐個地”、“一件一件地”，如《漢書·藝文志》：“歷記成敗存亡禍福古今之道?！贝笠馐牵阂患患赜涊d古今成敗存亡禍福的道理。從這個意義出發(fā)，后世就產(chǎn)生了新疊音詞“歷歷”了，如杜甫還曾以“歷歷”為題寫了一首《歷歷》詩，詩中說：“歷歷開元事，分明在眼前。”

時間的推移是一月月一年年地前進(jìn)的，所以表示歷法、歷書的“歷”字，古人想得很周到，把“歷”改為“暦”，以“日”代“止”，很有道理。

請注意：“歷”字異體字較多。如“暦”、“歴”、“厤”等。不管哪種寫法，現(xiàn)均寫作“歷”，便于記憶，書寫方便。

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字義：

1.經(jīng)歷；經(jīng)過：來～。～程。～時半年。身～其境。

2.統(tǒng)指過去的各個或各次：～年?！??！巍！珜?。

3.遍；一個一個地：～訪各校?！囍T方，均無成效。

4.推算年月日和節(jié)氣的方法；歷法：陽～。陰～。農(nóng)～。

5.記錄年月日和節(jié)氣的書、表等：日～。掛～。天文～…

[…形聲：一種造字法…是說字由“形”和“聲”兩部分合成，形旁和全字的意義有關(guān)，聲旁和全字的讀音有關(guān)。如由形旁“氵（水）”和聲旁“工、可”分別合成“江、河”…

…形聲字：用形聲造字法造出來的字…]

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…史：會意字。商代甲骨文從“又持中”，“又”為手之象形，“中”為獵具，手持獵具會治事意。

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“史”的本義是做事，又引申指史官。

引申指佐吏、歷史、史籍、文辭等。

字義：1.歷史：～學(xué)。近代～。世界～。有～以來。

2.古代掌管記載史實(shí)的官。

3.古代圖書四部分類法（經(jīng)史子集）中的第二類：～書?！俊?/p>

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[…會：理解；懂得：體～。誤～。心領(lǐng)神～。只可意～，不可言傳…

…意：意思：來～…

…會意：造字法之一。會意是說字的整體的意義由部分的意義合成，如“信”字?！叭搜詾樾拧保靶拧弊钟伞叭恕弊趾汀把浴弊趾铣?，表示人說的話有信用…

…會意字：用會意造字法造出的漢字就是會意字…]

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…歷史：歷史，簡稱“史”，指人類社會過去的事件和活動，以及對這些事件行為有系統(tǒng)的記錄、研究和詮（quán）釋。歷史是客觀存在的，無論文學(xué)家們?nèi)绾螘鴮憵v史，歷史都以自己的方式存在，不可改變。

其含義有三：1.記載和解釋作為一系列人類進(jìn)程歷史事件的一門學(xué)科；2.沿革，來歷；3.過去的事實(shí)。

歷史的問題在于不斷發(fā)現(xiàn)真的過去，用材料說話。

歷史是延伸的。歷史是文化的傳承，積累和擴(kuò)展，是人類文明的軌跡。

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歷史是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的，但是，歷史是人書寫的，既然是人書寫的，就會夾雜著人的情感，人的喜怒知哀樂，所以說，所看到的歷史文字，是夾雜著人的情感的歷史。

歷史隨時產(chǎn)生，是人們在過去自由活動的如實(shí)記錄。它存在的意義是，讓人們總結(jié)過去，充實(shí)未來的生活，以史為鑒，借古論今。

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詞義：1.自然界和人類社會的發(fā)展過程，也指某種事物的發(fā)展過程和個人的經(jīng)歷：地球的～。人類的～。

2.過去的事實(shí)：這件事早已成為～。

3.過去事實(shí)的記載。

4.指歷史學(xué)…

（…總、結(jié)、總結(jié)：見《歐幾里得86》…）

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…無、理、無理數(shù)：見《歐幾里得27》…

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根號2是無理數(shù)”的證明方法層不出窮…以下是常見的幾種：

歐幾里得《幾何原本》中的證明方法：

證明√2是無理數(shù)

設(shè)√2不是無理數(shù)

∴√2是有理數(shù)

…∴：數(shù)學(xué)符號“所以”…見《歐幾里得77》…

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令 √2=p/q（p、q互質(zhì)）

…互質(zhì)：公約數(shù)只有1的兩個整數(shù)，叫做互質(zhì)整數(shù)…

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互質(zhì)數(shù)可以是負(fù)數(shù)嗎？——網(wǎng)友提問

2019-06-23，天蝎小文魚：質(zhì)數(shù)定義：只有1和它本身兩個因數(shù)的自然數(shù)。負(fù)數(shù)不是自然數(shù)，因此互質(zhì)數(shù)一定是正數(shù)。

“負(fù)數(shù)連質(zhì)數(shù)都不是了，怎么可能是互質(zhì)數(shù)?！碧煨∥聂~追答。

…

√2=p/q兩邊平方得：2=（p/q）2（2=“p/q”的平方）

即：2=p2/q2（2=“p的平方”/“q的平方”）

通過移項(xiàng)，得：2q2=p2（2×q的平方=p的平方）

∴p2（p的平方）為偶數(shù)[p的平方是某整數(shù)平方的2倍，由偶數(shù)定義（能被2整除的數(shù)）知，p的平方是偶數(shù)]

∴p為偶數(shù)（奇數(shù)的平方為奇數(shù)，偶數(shù)的平方為偶數(shù)）

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不妨令p=2m，則有：2q2=（2m）2（2×q的平方=“2m”的平方）

2q2=（2m）2化簡一下得q2=2m2（q的平方=2×m的平方），于是q為偶數(shù)。

p為偶數(shù)，q也為偶數(shù)，p、q有公約數(shù)2，這與前提“p、q互質(zhì)”矛盾。

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∴√2不是有理數(shù)

∴√2是無理數(shù)

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（補(bǔ)充）“p為偶數(shù)，q也為偶數(shù)，p、q有公約數(shù)2，這與前提‘p、q互質(zhì)’矛盾”推導(dǎo)出“√2是無理數(shù)”的過程：

∵?“p、q有公約數(shù)2，p、q互質(zhì)”不符合數(shù)學(xué)事實(shí)

∴?“p、q有公約數(shù)2，p、q互質(zhì)”為假

…事、實(shí)、事實(shí)：見《歐幾里得6、7》…

…∵：數(shù)學(xué)符號“因?yàn)椤薄姟稓W幾里得77》…

…假：不符合事實(shí)…見《歐幾里得75》…

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“√2不是無理數(shù)”能推導(dǎo)出“p、q有公約數(shù)2，p、q互質(zhì)”的推論。

…推、導(dǎo)、推導(dǎo)：見《歐幾里得7》…

…論、推論：見《歐幾里得66》…

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∵?推導(dǎo)方法正確，推論假，推導(dǎo)出推論的命題必為假（邏輯關(guān)系）

∴?“√2不是無理數(shù)”為假

…命、題、命題：見《歐幾里得70》…

…邏、輯、邏輯：見《歐幾里得5》…

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∵?兩個互相矛盾的命題，不可能同時為真，必有一假（矛盾律）

…矛盾律：見《歐幾里得73》…

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∴?“√2不是無理數(shù)”“√2是無理數(shù)”必有一假

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∵?兩個互相矛盾的命題，不可能同時為假，必有一真（排中律）

…排中律：見《歐幾里得72~74》…

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∴?“√2不是無理數(shù)”為假時，“√2是無理數(shù)”為真

…真：符合事實(shí)…見《歐幾里得75》…

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∴?√2是無理數(shù)

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“√2?是一個非常著名的無理數(shù)，第一個發(fā)現(xiàn)并堅持這個結(jié)果的希帕索斯因此付出了生命的代價——后世的數(shù)學(xué)史家所說的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”蓋源于此。

請看下集《歐幾里得112、√2?是無理數(shù)，發(fā)現(xiàn)并堅持這個結(jié)果的希帕索斯付出生命代價》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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