P9 集合之間的關(guān)系

1. 集合的定義

• 子集

A中的元素B全有 我們就稱之為 A是B的子集

這是集合屬于集合

證明集合相等的辦法：

若A包含于B 且B包含于A 則A=B

• 真子集

如果A包含于B 但存在元素x∈B 且x?A 就稱集合A是集合B的真子集

→A不僅包含于B 且B中含有A中沒有的元素

• 空集 ?

規(guī)定：空集是任何集合的子集

解釋：①空集的所有元素 其它的非空集合都有 因為空集本身什么都沒有 那么另外的集合一定不會比他小

②更加具象 空集不是無 它是內(nèi)部沒有元素的集合 可以將集合想象成 一個裝有元素的袋子 而空集的袋子是空的 但袋子本身確實是存在的 而每個集合都有這個袋子 因此就是 空集是任何集合的子集

2.集合之間的關(guān)系

• 交集 ∩ （符號像 且） A∩B=C （注意是集合）
• 并集 ∪ A∪B=C

交并關(guān)系 可以通過在數(shù)軸上畫圖 直觀地表示

• 補集 （互補的概念）

CuA：A在全集U中的補集

→全集U中除了集合A的集合

3.集合中元素的個數(shù)

知道集合有幾個元素 card（A）=n

• 子集有2?個
• 非空子集 2?-1
• 真子集 2?-1
• 非空真子集 2?-1

P10 集合習(xí)題（從1到無窮大）

1.考點一：集合的表示

2.考點二：子集個數(shù)+拓展

• 子集個數(shù)：

將x∈R→x∈Z

∴B={-2，-1，0}

∴card（B）=3

∴B有23=8個子集

• 非空子集

B有23-1=7個非空子集

• 真子集

B有23-1=7個真子集

• 非空真子集

B有23-2=6個非空真子集

3.考點三：交并關(guān)系

• 并集 將兩個圖畫在一起

∵B是A的子集

∴A∪B=[-3，+∞）

• 交集

∵B是A的子集

∴A∩B=（-3，1）

• 補集 B在A中的補集

CAB={-3}∪[1，+∞）

P11 集合互異性相關(guān)問題

1. 第一題

A={1,3，a} B={1，a2-a+1} 求A∪B

AUB={1，3，a，a2-a+1}（以這個為基礎(chǔ) 進行分類討論）

• 一切之前

∵a≠1，3 a2-a+1≠1→a≠0，1

∴a≠0，1，3

• 第一種情況 a2-a+1=3

∴a=-1，2

∴A∪B={1，3，-1}或{1，3，2}

• 第二種情況 a2-a+1=a

∴a=1（舍 前提條件是a≠1）

• 第三種情況 a≠-1或2時 （前面討論的都是相同的情況 所以這里改成討論不同的情況）

∴A∪B={1，3，a，a2-a+1}

2.第二題

已知A={3，3+m，3+5m}，B={3，3p，3p2}

若A=B 求m，p

由兩種相等情況

• 一切之前 先滿足 互異性

∵3+m≠3

∴m≠0

同理

∵3p≠3p2

∴P≠0

又∵3p2≠3∪3p≠3

∴P≠±1

• 第一種情況 3+m=3p 3+5m=3p2

解得①m=0 P=1 （舍 不滿足條件）

②m=9 P=4

• 第二種情況 3+m=3p2 3+5m=3p

解得①m=0 P=1 （舍 不滿足條件）

②m=-25/27 P=-4/5

總結(jié)：

• 純互異性

先通過相同的分類篩除 后分成都不同的類

• 集合相等

前面與后面哪一個相等 進行分類討論 并且通過互異性判斷是不是對的

P12 集合相等的證明方法

證明集合相等：

• 元素相同

⑴個數(shù)少：互異性

⑵個數(shù)多：通項相等 每一項表達式寫出 發(fā)現(xiàn)表達式相同

• 定義法?A包含于B 且 B包含于A

1.第一題 求集合A，B，C 之間的關(guān)系

∵給了我們集合的通項

∴可以采用通項的思想

又∵發(fā)現(xiàn)2 3 6 的最小公倍數(shù)都是6

∴將其通分 使分母都為6

又∵m n p 都是整數(shù)

∴可以將數(shù)字帶入嘗試 eg：0,1,2...

通過代數(shù)我們可以發(fā)現(xiàn) A是B的真子集 B=C

嚴格證明：

∵由于代數(shù)我們發(fā)現(xiàn)了B=C 而又要嚴格證明

∴我們要證明 通項相等

∵要證明 通項相等

∴嘗試往形式上去湊

∵n是整數(shù)

∴n-1也可以取遍所有的整數(shù)

又∵p是整數(shù)

∴p也可以取遍所有的整數(shù)

∴p和n都可以取遍所有的整數(shù)

∴p=n-1

∴B=C

又要證明A是B的子集/A是C的子集

∵A與C長得比較像

∴證明A是C的子集

6m有的3p都有 且3p含有的還比6m多

為了嚴格證明

可以將6m→3·（2m）

∵m是整數(shù)

∴2m一定是偶數(shù)

而p可以是任何整數(shù)

∴A是C的子集

2.第二題

由于沒有什么比較好的辦法 證明通項相等

∴采用 定義法

⑴證明A包含于B

就是證明A是B的子集?就是證A中任意元素都是B中的元素??

A中xA=2（7m+18n）

▲證明xA都是B中的元素

∵k為任意整數(shù) 且m、n也都為整數(shù)

∴一定存在k=7m+18n

∴令k=7m+18n（這里是可以令的因為 不管m和n取多少都一定能找到一個對應(yīng)的k 并且 k可以為任意整數(shù) 何止是7m+18n）

∴有xA=2k∈B （一定可以找到一個k等于7m+18n A中的全部元素B中都有）

∴A中的任意一個元素都屬于集合B

∴A是B的子集

⑵證明B包含于A

B中xB=2k=14m+36n（使k也可以寫成對應(yīng)的m，n的情況 怎么做→假設(shè)存在對應(yīng)的m，n）

如果任意的k都能找出對應(yīng)的m，n 整數(shù)與之對應(yīng) 使得此方程成立 那么 B中的所有元素都可以在A中找到

先將式子化簡：k=7m+18n

由于未知數(shù)太多了 將k給消掉

令 m=m?k n=n?k

∴k=7m?k+18n?k（將兩邊的k都約掉）

∴1=7m?+18n?

只要找出一組整數(shù)解 使這個方程成立 我們就可以說一定存在 2k=14m+36n

采用湊的方法找出解

∴m?=-5 n?=2

k=7·（-5k）=m+18·（2k）=n

對于任意的k 都可以找到相應(yīng)的m n使其成立

∴B包含于A

P13 子集相關(guān)問題

子集考法：

①A是B的子集/A是B的真子集

• 有限元素
• 區(qū)間 數(shù)軸

②card（A）=n 有2?個子集

③新定義

嚴格分類 防止漏解

先確定元素個數(shù)的范圍：

4≥card（P）≥2

• card（P）=2 P={a，b/c/d} 3個
• card（P）=3 P={a，bc/cd/bd} 3個
• card（P）=4 P={a，b，c，d} 4個

∴總共有10個

• M=? 即2k+1≤3 即k≤1時 M=? M包含于A
• M≠? 即k>1 滿足條件：①2≤3 ②2k+1≤4 解得k≤1.5 1<k≤1.5

∴綜上所述 k≤1.5

通過舉例子的方式 了解題目意思

從 最小元素 開始分

• 0 A={0，1，2，3}

3，4}

4，5}

∴一共有3種

• 1 A={1，2，3，4}

4，5}

∴一共有2種

• 2 A={2，3，4，5}

∴一共有1種

∴綜上所述 一共有6種

P14 集合的交并補混合運算

集合的交并補混合運算：

• 數(shù)軸 區(qū)間問題
• venn 若干個零散的元素

集合未知

先用數(shù)軸將未知數(shù)表示出來

一元二次方程用二次函數(shù)表示出來

①A∩B={1}∪[2，+∞） 注意點不要忘了！

A∩（CRB）=（-∞，1）

②分類

• a>1 a-1≤1即可 ∴a≤2 即1<1≤2
• a=1 變成了（x-1）2≥0 ∴一定可以
• a<1 ∴此時一定符合條件

綜上所述 a∈（-∞，2]

不好數(shù)軸分析→Venn法

A. 正確

B. 正確

C. 正確

D. 錯誤

∴選D