全文字?jǐn)?shù)｜3.8千
閱讀時間｜18分鐘
圖片來源｜網(wǎng)絡(luò)

1．計算類幾何題解題技巧：「公式法」

2．例題1：復(fù)雜描述的簡單轉(zhuǎn)化

3．例題2：相似三角形的特點

4．例題3：投影定理與球體的特性

5．例題4：結(jié)合選項反推的技巧

6．例題5：對棱錐體積公式的考察

「數(shù)量關(guān)系」中的幾何類題目有兩類，一類數(shù)據(jù)非常簡單，但需要通過思考找到隱藏的條件，才能解出正確答案，可稱之為「推理類幾何題」；另一類數(shù)據(jù)較為復(fù)雜，解題過程需要大量計算和對相關(guān)幾何公式的掌握，可稱之為「計算類幾何題」。

本文講的是「計算類幾何題」的解題技巧。

一、計算類幾何題解題技巧：「公式法」

行測中「計算類幾何題」的解題技巧非常簡單，都可以分為兩步：
①簡化題干敘述的條件，建立最簡單的幾何模型
②使用對應(yīng)的公式進行計算

其中①的步驟非常簡單，畢竟「數(shù)量關(guān)系」不會考察言語理解能力，數(shù)字描述是沒有歧義的，關(guān)鍵是第二步。

行測中幾何題考察的公式很多，最常見的就是勾股定理和面積/體積計算公式，除此之外還有sin、cos、tan的值、相似三角形、球的投影公式等，沒有特定的限制。

大家在備考時，一定要整理總結(jié)一下義務(wù)教育階段所學(xué)的相關(guān)計算公式，并嘗試提升自己的計算速度，降低錯誤率。嚴(yán)格來說，此類題目的難度很低，但如果記不住公式或者計算效率不夠快，也會導(dǎo)致錯誤率變高或者沒有時間去做。

行測中不會考察難度特別高的公式，更傾向于測試考生的計算能力。

二、例題1：復(fù)雜描述的簡單轉(zhuǎn)化

【2018國考省級卷71題】一艘非法漁船作業(yè)時發(fā)現(xiàn)其正右方有海上執(zhí)法船，于是沿下圖所示方向左轉(zhuǎn)30°后，立即以15節(jié)（1節(jié)=1海里/小時）的速度逃跑，同時執(zhí)法船沿某一直線方向勻速追趕，并正好在某一點追上。

已知漁船在被追上前逃跑的距離剛好與其發(fā)現(xiàn)執(zhí)法船時與執(zhí)法船的距離相同，則執(zhí)法船的速度為多少節(jié)？
（A）20?
（B）30?
（C）10√3?
（D）15√3

已知漁船在被追上前逃跑的距離剛好與其發(fā)現(xiàn)執(zhí)法船時與執(zhí)法船的距離相同，則執(zhí)法船的速度為多少節(jié)？
（A）20?
（B）30?
（C）10√3?
（D）15√3

正確率30%，易錯項C

題干數(shù)據(jù)關(guān)系在圖片中基本標(biāo)出。由最后一句話可知，漁船被發(fā)現(xiàn)點距離漁船被追上點和執(zhí)法船初始點的距離相同。

根據(jù)「正右方」和「左轉(zhuǎn)30°」可知，兩船各自的初始點和相遇的最終點，可形成一個大角為90°+30°=120°的鈍角等腰三角形，執(zhí)法船行駛距離為三角形長邊，作圖如下：

由O向AB作垂線，交點為C，此時AB=2AC。

由于sin30°=1/2，即OB=2OC，根據(jù)勾股定理可知：
BC=√3/2OB，AB=2BC=√3OB。

距離=速度×?xí)r間，且執(zhí)法船和非法漁船的行駛時間相同，因此兩者速度比例相同，即：

執(zhí)法船速度=√3非法漁船速度=15√3，D選項正確。

說下題外話：本題的選材是「海上執(zhí)法船」和「非法漁船」，體現(xiàn)了近年來公考強調(diào)的「多學(xué)科、多考點結(jié)合」的新趨勢，值得注意。結(jié)合近年來中國海上力量的建設(shè)和對漁業(yè)資源的保護力度，這道題充滿了正能量。

或許2019國考中會考察「我國近年來新型漁政船的特點」或者「漁業(yè)保護力度加強的措施有」等內(nèi)容，大家有興趣可以關(guān)注一下。

本題需要理解的點包括：
「正東方」→非法漁船最初行駛方向和其與執(zhí)法船的交點為直角
「逃跑距離=最初兩者距離」→等腰三角形
「同一時間行動至追上」→時間相同，因此速度比例=距離比例

這道題錯誤率高的最主要原因是上述點都需要盡快理清，在時間緊張的情況下，很多考生選擇了放棄。只要能夠明白本題要表達(dá)的意思，就很容易確定這是一道求鈍角等腰三角形長邊的題。

三、例題2：相似三角形的特點

【2017國考地市級卷67題／ 省級卷69題】一塊種植花卉的矩形土地如下圖所示：AD邊長是AB的2倍，E是CD的中點，甲、乙、丙、丁、戊區(qū)域分別種植白花、紅花、黃花、紫花、白花。

種植白花的面積占矩形土地面積的比例為：
（A）3/4
（B）2/3?
（C）7/12?
（D）1/2

種植白花的面積占矩形土地面積的比例為：
（A）3/4
（B）2/3?
（C）7/12?
（D）1/2

正確率56%，易錯項B

本題最簡潔的解題思路是賦值。給DE賦值后，便可以很快求出⊿BEC的面積為與矩形土地的面積，得出解題重點為求⊿ABO的面積。

在已知⊿ABO 和⊿DEO相似的情況下，通過AB：DE的長度為2:1，得出以AB和DE為底邊，以O(shè)向兩者做垂線段的長度為高也具有2:1的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)矩形邊長即可得出O點到AB的長度，從而算出⊿ABO的面積。

設(shè)DE和EC長度為1，則：
DC=AB=2，AD=BC=4。

種植白花的為甲和戊，即⊿ABO和⊿BEC，可得：
⊿BEC=1×4÷2=2，矩形=4×2=8
所占比例=（⊿BEC+⊿ABO）/矩形
=（2+⊿ABO）/8

⊿ABO和⊿DEO中，由于BD為矩形ABCD的對角線，可得∠ABO=∠ODE，同時∠AOB=∠DOE，
→⊿ABO和⊿DEO三個角角度相等，兩個三角形相似

已知AB：DE=2:1，相似三角形三邊比例相同，即：
由O點到AB和到DE兩點的垂線（即三角形的高）之比也是2:1

由于兩者之和=矩形的邊長=4，且O點到AB的垂線長度占3份中的2份，可得：
⊿ABO的高=4×2/3=8/3
→⊿ABO的面積為2×8/3÷2=8/3，
→甲和戊之和為2+8/3=14/3

所占比例=（2+8/3）/8=14/3÷8=7/12，C選項正確。

本題主要考察了「相似三角形」這個考點。相似三角形是三角分別相等，三邊成比例的兩個三角形，即本題中的⊿ABO和⊿DEO，通過比例關(guān)系可算出對應(yīng)的面積。如果沒有掌握相似三角形的原理，那么這道題基本沒有辦法解出。

四、例題3：投影定理與球體的特性

【2017國考地市級卷70題／ 省級卷75題】某次軍事演習(xí)中，一架無人機停在空中對三個地面目標(biāo)點進行偵察。已知三個目標(biāo)點在地面上的連線構(gòu)成直角三角形，兩個點之間的最遠(yuǎn)距離為600米。

無人機與三個點同時保持500米距離時，其飛行高度為多少米？
（A）300
（B）400
（C）500
（D）600

無人機與三個點同時保持500米距離時，其飛行高度為多少米？
（A）300
（B）400
（C）500
（D）600

正確率40%，易錯項A

設(shè)地面3點為ABC，列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：

①地面ABC連線為直角三角形，∠ABC為直角
②AC之間距離為600m
③空中無人機距ABC均為500m，求無人機高度

由①③可知，飛機是一個點，地面是一個面，點到面上三個點的距離相同。

如果對投影知識有了解的同學(xué)，可以快速判斷出該點到平面的投影距離三個點相同，設(shè)飛機投影為O點，可得：

根據(jù)「圓上任意一點到圓直徑兩點所成的角都是直角」的定理可知，該投影點就在以AC為直徑的圓上，即：
O為AC中點
OA=OC=600÷2=300m

根據(jù)③可知和勾股定理可知，飛機到O點的投影距離（也就是飛機的高度）為：√5002-3002=400m，B選項正確。

那么問題來了：忘記投影定理（畢竟該定理比較冷門）的小伙伴們要怎么辦呢？有一種輔助的解法，即利用球體的特性。

還是設(shè)一個直角三角形ABC，設(shè)飛機為D，由于D點距離ABC三點相同，所以可以設(shè)一個以D為球心的球，ABC即為球上三點，形成一個截面。

飛機的高度即為D點到截面的垂直距離。由上文解析可推得ABC可以形成一個以AC為直徑的圓，而球心到截面圓心的線段必然垂直于該圓，即為飛機高度。

圓的半徑為600÷2=300m，球的半徑為500m，根據(jù)勾股定理可求得球心到截面圓心的線段為400m，B選項正確。

本題數(shù)據(jù)看似簡單，但涉及到數(shù)量關(guān)系題的「大殺器」——空間想象?？臻g想象題在「數(shù)量關(guān)系」中的地位和抒情散文題在「言語理解」與表達(dá)中差不多，基本上一出馬就能把大半考生殺的人仰馬翻，所以這種「大殺器」一般來說一次考試也不會出太多……

做題時一定要運動起自己的大腦，思索一切可能的解題方法，不要輕易放棄。

五、例題4：結(jié)合選項反推的技巧

【2016國考省級卷75題】將一個8厘米×8厘米×1厘米的白色長方體木塊的外表面涂上黑色顏料，然后將其切成64個棱長1厘米的小正方體，再用這些小正方體堆成棱長4厘米的大正方體，且使黑色的面向外露的面積要盡量大。

大正方體的表面上有多少平方厘米是黑色的？
（A）84?
（B）88?
（C）92?
（D）96

大正方體的表面上有多少平方厘米是黑色的？
（A）84?
（B）88?
（C）92?
（D）96

正確率36%，易錯項C

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①8×8×1的長方體涂黑、切方塊
②4×4×4的正方體由①堆成
③要求正方體外露黑色面積最大

本題看似需要逐個考慮如何由①來堆成②，但這種方法是不太合適的，原因在于這種思路沒有結(jié)合選項去考慮。

可直接心算出正方體表面積=4×4×6=96，而4個選項分別為84~96，也就是說：
假設(shè)正方體表面全涂黑，該數(shù)據(jù)和正確選項的差為12~0，即絕大部分方塊滿足「黑面朝外」的要求

因此，本題應(yīng)當(dāng)「反推」，即考慮「不能黑面朝外的方塊有幾個，共有幾個面」，這樣才是簡潔正確的思路。列出長方體和正方體方塊的種類及數(shù)量：

長方體：
4面黑→4頂點→1×4=4
3面黑→4條棱→6×4=24
2面黑→1個面→6×6=36

其中：
「3面黑」中有2個面相對
「2面黑」中2個面相對

正方體：
3面黑→8頂點→1×8=8
2面黑→12條棱→2×12=24
1面黑→6個面→2×2×6=24
0面黑→在內(nèi)部→2×2×2=8

其中：
「2面黑」中2個面相鄰

嘗試將長方體的黑面組合入正方體中，可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：
長方體4個「4面黑」頂點方塊可抵消正方體4個「3面黑」頂點方塊，還有4個「3面黑」的缺口。

長方體24個「3面黑」棱方塊中有2個面相對，即有1個面無法利用，可視為24個「2面黑」方塊，恰好可抵消正方體24個「2面黑」棱方塊。

長方體36個「2面黑」面方塊中有2個面相對，即有1個面無法利用，可視為36個「1面黑」方塊，可抵消正方體24個「1面黑」 面方塊和8個「0面黑」內(nèi)部方塊，還余下4個「2面黑（可視為1面黑）」方塊。

此時，將4個「2面黑（可視為1面黑）」方塊拼入4個「3面黑」方塊的頂點，每個方塊有2個面白色朝外，即共有2×4=8的面積為白色，結(jié)果為96-8=88，B選項正確。

本題非常經(jīng)典，難度也非常高。一般的「立體幾何」類題目通過紙筆勾勒就很容易找到解題思路（如果找不到，一般也做不出來），然而本題不行。

這道題方塊黑面的種類和數(shù)量相當(dāng)復(fù)雜，如果逐個思考「堆積」的方式，是很容易浪費大量時間確勞而無功的。解題核心就在于「反推」，即結(jié)合選項來快速發(fā)現(xiàn)絕大部分方塊都能做到「黑面朝外」，因此只要假設(shè)正方體所有面均為黑，盡量多地用長方體的黑面去「抵消」，本題就迎刃而解了。

如果黑面只有十幾、二十幾個，就要考慮從「順推」入手了。

六、例題5：對棱錐體積公式的考察

【2012國考80題】連接正方體每個面的中心構(gòu)成一個正八面體(如下圖所示)：

已知正方體的邊長為6厘米，問正八面體的體積為多少立方厘米?
（A）18√2
（B）24√2
（C）36
（D）72

已知正方體的邊長為6厘米，問正八面體的體積為多少立方厘米?
（A）18√2
（B）24√2
（C）36
（D）72

正確率52%，易錯項D

本題非常簡單，但需要考生記住棱錐的計算公式。

把正八面體橫向「劈開」，可分成上下兩個四棱錐，棱錐的體積公式為：
V=1/3Sh，S為底面積，h為高

顯然S棱錐=1/2S正方體，如圖：

h棱錐=h半個正方體，因此：

V四棱錐=1/3×1/2S正方體×h半個正方體
=1/3×1/2×（6×6）×3
=18

V正八面體=2V四棱錐=2×18=36，C選項正確。

本題考察的是考生對公式的理解和記憶，如果完全沒有印象，那么這道題是做不出來的。

初中幾何基礎(chǔ)的掌握程度，也是公考的考察對象。