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圖片來源｜網(wǎng)絡(luò)

1．推理類幾何題解題技巧：「相切法」

2．例題1：「方圓分割」題中的相切關(guān)系

3．例題2：高難度的空間想象題

4．例題3：「覆蓋」類幾何題的特點

5．例題4：學(xué)會「翻譯」題干的敘述

6．例題5：「投影」題的理解關(guān)鍵

7．例題6：「視圖」題不要有固定思維

8．例題7：圓與圓覆蓋、相交的難題

9．例題8：勾股定理在等腰三角形中的應(yīng)用

「數(shù)量關(guān)系」中的幾何類題目有兩類，一類數(shù)據(jù)非常簡單，但需要通過思考找到隱藏的條件，才能解出正確答案，可稱之為「推理類幾何題」；另一類數(shù)據(jù)較為復(fù)雜，解題過程需要大量計算和對相關(guān)幾何公式的掌握，可稱之為「計算類幾何題」。

本文講的是「推理類幾何題」的解題技巧。

一、推理類幾何題解題技巧：「相切法」

行測中「推理類幾何題」的類型千變?nèi)f化，但說到底，絕大部分此類題目的解題關(guān)鍵有兩點，即「相切」和「重合」，可簡稱為「相切法」。

在遇到此類題目時，直接考慮問題中兩個幾何體的「相切」「重合」情況即可。

為什么要直接考慮「相切」「重合」呢？因為「相切」「重合」意味著「極限」，即「到達某種極限后的數(shù)據(jù)」；而推理類幾何題的問法都與「極限」有關(guān)，如體積最大、覆蓋面積最廣等，因此兩者的問法是相同的。

個別「推理類幾何題」和「相切」「重合」無關(guān)，接下來會單獨講述。

除了上述原因之外，還有一條隱藏的原因，即「行測的題目不能太難」。畢竟行測平均下來是不到一分鐘做一道題，如果題目非常難，那很可能導(dǎo)致考生在這道題目上消耗大量時間，從而影響做其他題目的狀態(tài)。

二、例題1：「方圓分割」題中的相切關(guān)系

【2018國考地市級卷64題／ 省級卷65題】將一塊長24厘米、寬16厘米的木板分割成一個正方形和兩個相同的圓形，其余部分棄去不用。

在棄去不用的部分面積最小的情況下，圓的半徑為多少厘米？
（A）3√2?
（B）2√2?
（C）8?
（D）4

在棄去不用的部分面積最小的情況下，圓的半徑為多少厘米？
（A）3√2?
（B）2√2?
（C）8?
（D）4

正確率24%，易錯項B

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①長方形24×16
②分割成1正方形、2相同圓形
③要求棄去部分最小，求圓半徑

讀題可知本題求的是「1正2圓分割長方形」，這種極限分割的題，一定和「相切」有關(guān)。

首先考慮正方形和長方形「相切」，也就是正方形邊長=長方形短邊長，前者完全和后者一部分重合，即長方形被分割出一個16×16的正方形，還余下一個8×16的長方形。

在余下的長方形部分，考慮圓形和長方形「相切」。由于題干要求2圓形相同，也就是要將余下的長方形切割成「長邊長=2短邊長」的樣子，才能正好容納2個直徑=短邊長的圓形。

題干余下的8×16長方形恰好符合「長邊長=2短邊長」的條件，即圓形直徑=長方形短邊長=8，則圓半徑=4，D選項正確。

很多考生在做本題時會考慮正方形的各種情況，其實沒必要想這么多?？梢酝ㄟ^反推稍微思考下：如果正方形邊長比16小，那么它填入長方形后就會留下一個長條狀空間，且圓形無法有效填充長條，導(dǎo)致其「浪費」掉。因此，最符合題意要求的正方形邊長一定和長方形短邊相等，即所謂的「相切」。

有圓形和正方形的「填充、覆蓋、分割」題一定和「相切」有關(guān)。

三、例題2：高難度的空間想象題

【2017國考省級卷74題】將一個棱長為整數(shù)的正方體零件切掉一個角，得到的截面是面積為的三角形，其棱長最小為：
（A）15
（B）10?
（C）8
（D）6

其棱長最小為：
（A）15
（B）10?
（C）8
（D）6

正確率19%，易錯項B

已知要求的是「棱長最小」，也就是說切掉的角截面三角形「面積最大」。那么，在正方體上怎么切能切出截面最大來呢？

答案是盡可能往大切，一直切到「再大就超出一個角的范疇」為止，如下圖所示。當(dāng)截面三角形的三個點都位于正方體的三個頂點時（即兩個面完全重合，可視作特殊的「相切」時），面積最大。再往大里切，切掉的就不只是「角」，而是「角+一部分邊」了。

該三角形的三個邊為正方體三個面的對角線，由正方體的特性可知三邊相等。設(shè)其邊長為a，根據(jù)勾股定理和三角形面積公式可得：
a×（√3/2）a÷2=100√3，
→a2=100×4
→a=20

又由于正方體的每個面都為正方形，已知正方形對角線長為20，根據(jù)勾股定理求得正方形邊長為：
10√2≈10×1.41=14.1。

已知正方體邊長為整數(shù)，所以其最小值為比14.1大的最小整數(shù)15，A選項正確。

雖然本題要素極為簡單，后半部分計算也不難，但難度非常高，考生需要充分發(fā)揮自己的空間想象力。該題錯誤率超過八成，其原因就是很多考生難以想象出截面三角形「面積最大」時的情形。

可見，公考在數(shù)量關(guān)系題上并非以純粹的難度拉開差距，而是對考生包括空間想象能力在內(nèi)的各方面能力進行綜合考察，看似簡單的題也能難倒很多考生。

四、例題3：「覆蓋」類幾何題的特點

【2015國考地市級卷69題／省級卷69題】現(xiàn)要在一塊長25公里、寬8公里的長方形區(qū)域內(nèi)設(shè)置哨塔，每個哨塔的監(jiān)視半徑為5公里。

如果要求整個區(qū)域內(nèi)的每個角落都能被監(jiān)視到，則至少需要設(shè)置多少個哨塔？
（A）7
（B）6?
（C）5
（D）4

如果要求整個區(qū)域內(nèi)的每個角落都能被監(jiān)視到，則至少需要設(shè)置多少個哨塔？
（A）7
（B）6?
（C）5
（D）4

正確率41%，易錯項B

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①長方形：長25，寬8
②圓形：半徑5
③用最少的圓形完全覆蓋長方形

根據(jù)②可知圓形直徑=5×2=10＞8，即「每個圓形都能覆蓋一截長方形」。由于4個選項都很小，因此不需要代入公式，直接嘗試逐個覆蓋即可。

由左向右考慮。在長方形的左端，當(dāng)兩條邊的交點位于圓上時覆蓋面積最大，即：

在長方形的中間， 左右兩個圓的圓弧和長邊必須在一個交點上。如果長邊在交點上方，則圓不能完全覆蓋長方形；如果長邊在交點下方，則圓浪費了面積，不能充分覆蓋，即：

也就是說，無論從兩端還是中間，每個圓形都可以覆蓋同樣長度的「一截」長方形，即：

也就是說，「一截」長6，總長25，因此需要圓形（哨塔）總個數(shù)為：
25÷6=4余1，向上取整結(jié)果為5，C選項正確。

公考中凡是涉及直線圖形和曲線圖形的「覆蓋」的，一定和「共同交點」或者「相切」有關(guān)，關(guān)鍵是要理解「直曲圖形覆蓋」的特點。

五、例題4：學(xué)會「翻譯」題干的敘述

【2014國考63題】一個立方體隨意翻動，每次翻動朝上一面的顏色與翻動前都不同，那么這個立方體的顏色至少有幾種？
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6

一個立方體隨意翻動，每次翻動朝上一面的顏色與翻動前都不同，那么這個立方體的顏色至少有幾種？
（A）3
（B）4
（C）5
（D）6

正確率41%，易錯項C

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①立方體隨意翻動
②翻動后顏色不同
③求顏色至少幾種

本題是比較少見的和「相切」無關(guān)的推理類幾何題，重點考察的是考生對題干描述的理解。

由①②可知立方體任意相鄰2面顏色不同。
由③可知本題要盡量壓縮顏色的種類，即在滿足條件的情況下，盡可能增加每個顏色所占的面數(shù)。

想象一個空白立方體，設(shè)它的「上」面為甲顏色甲，則「前后左右」4個面都和甲面相鄰，不能為甲顏色，但「下」面和「上」面相對，不相鄰，根據(jù)③可以將其染成甲顏色。

同理，可設(shè)它的「前」面為乙顏色，則「上下左右」面不能為乙顏色，「后」面為乙顏色。
同理，可設(shè)它的「右」面為丙顏色，則「上下前后」面不能為丙顏色，「左」面為丙顏色。

因此本立方體上下為甲顏色、前后為乙顏色、左右為丙顏色，共有3種顏色，A選項正確。

這道題需要「翻譯」，即將題干中「隨意翻動、每次不同」的敘述理解成「任意相鄰兩面顏色不同」，這樣就能夠更方便解題了。本題誤選C的考生，可能忽視了「至少有幾種」的要求。

六、例題5：「投影」題的理解關(guān)鍵

【2013國考62題】陽光下，電線桿的影子投射在墻面及地面上，其中墻面部分的高度為1米，地面部分的長度為7米。甲身高1.8米，同一時刻在地面形成的影子長0.9米。

該電線桿的高度是多少？
（A）12米
（B）14米?
（C）15米?
（D）16米

該電線桿的高度是多少？
（A）12米
（B）14米?
（C）15米?
（D）16米

正確率59%，易錯項B

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①電線桿影子：地面7m，墻面1m
②甲1.8m，影子0.9m
③求電線桿高度

根據(jù)②可看出甲與其影子之比為1.8:0.9=2:1

根據(jù)①可得下圖：

以地面和墻的重合點（即影子在地面部分和影子在墻上部分的交點）為分界，可將電線桿分為兩個部分。

下邊部分投影正好到墻邊，符合「物體：影子=2:1」的要求，長度為7×2=14m。
上邊部分投影正好到墻上，由于電線桿和墻面都垂直于地面，因此該部分和投影長度比為1:1，即為1m。

因此答案為14+1=15m，C選項正確。

本題的解題核心在于理解「投影到墻面」的含義，理解該部分兩端和墻面影子兩端可形成一個平行四邊形，就很容易解出答案了。這道題重在理解，計算是毫無難度的。

七、例題6：「視圖」題不要有固定思維

【2013國考75題】若干個相同的立方體擺在一起，前后左右視圖都如下：

這堆立方體最少有多少個？
（A）4
（B）6
（C）8
（D）10

這堆立方體最少有多少個？
（A）4
（B）6
（C）8
（D）10

正確率23%，易錯項B

觀察本題可發(fā)現(xiàn)，前后左右視圖相同，則中間2個摞在一起的方塊必然是固定的。

從前后視圖看，兩側(cè)方塊可擺放位置如下：

從左右視圖看，兩側(cè)方塊可擺放位置如下：

綜合前后視圖、左右視圖的要求，當(dāng)兩種情況「重合」時，符合題干「立方體數(shù)最少」的要求。此時方塊的堆積方式有兩種，如下：

「紅+2深藍」或「紅+2淺藍」組合皆可，因此這堆立方體最少有2+1+1=4個，A選項正確。

本題大部分考生誤選了B，原因如下圖：

紅方塊和正確答案一樣為2塊摞在一起，但藍方塊是單純地把前后視圖和左右視圖進行了拼接，沒有進一步簡化，此時方塊數(shù)為2+4×1=6，即為B選項。

本題利用了考生對「視圖」的慣性思維，所以大一定要就題論題去做。

八、例題7：圓與圓覆蓋、相交的難題

【2012國考75題】為了澆灌一個半徑為10米的花壇，園藝師要在花壇布置若干個旋轉(zhuǎn)噴頭，但庫房里只有澆灌半徑為5米的噴頭。

花壇里至少要布置幾個這樣的噴頭才能保證每個角落都能澆灌到?　
（A）4
（B）7
（C）6
（D）9

花壇里至少要布置幾個這樣的噴頭才能保證每個角落都能澆灌到?　
（A）4
（B）7
（C）6
（D）9

正確率41%，易錯項C

列出題干數(shù)據(jù)關(guān)系：
①花壇半徑10m
②噴頭澆灌半徑5m
③求布置多少個能保證都澆到

本題正確率不高，但這道題如果熟悉了就會發(fā)現(xiàn)其難度很低，是一道比較經(jīng)典的和「覆蓋」有關(guān)的題目。

可以發(fā)現(xiàn)，噴頭想要盡可能高效地覆蓋到花壇，就需要用每個噴頭來覆蓋住一段花壇圓邊上部分。當(dāng)覆蓋面積最大時，噴頭澆灌小圓的直徑和圓上的弦重合，如下：

可發(fā)現(xiàn)大圓弦上兩點和大圓圓心組成等邊三角形，每個小圓覆蓋60°的弧：

因此，需要6個小圓才能覆蓋完整個大圓360°的圓弧。

同時，以大圓圓心為小圓圓心，在內(nèi)部未覆蓋部分畫一個小圓，小圓半徑恰好和外圈小圓與內(nèi)圈小圓相交形成的弦相同：

結(jié)果如下圖：

因此總共需要6+1=7個小圓，B選項正確。注意不要忘了中間部分還需要一個小圓。

關(guān)于圓和圓覆蓋時相交的情況，只要理解了這道題，就基本掌握了這一類題。

九、例題8：勾股定理在等腰三角形中的應(yīng)用

【2011國考75題】用一個平面將一個邊長為1的正四面體切分為兩個完全相同的部分，切面的最大面積為：
（A）1/4
（B）√2/4
（C）√3/4
（D）1/2

切面的最大面積為：
（A）1/4
（B）√2/4
（C）√3/4
（D）1/2

正確率45%，易錯項C

本題既屬于「推理類」也屬于「計算類」，但推理難度不算太高，計算起來也不是很難。

正四面體即為4個面都為等邊三角形的三棱錐。想要切為兩個相同的部分，有兩種切法。

第一種是「斜著劈」：

第二種是「直著切」：

看一眼發(fā)現(xiàn)「斜著劈」的截面大小和正四面體的三角形面下半部分的等腰梯形類似，而「直著切」的界面大小和正四面體的三角形面類似，因此「直著切」的截面面積較大。

「直著切」后，可發(fā)現(xiàn)截面三角形有以下關(guān)系：

根據(jù)勾股定理可求出由正三角形頂點至另一邊的垂線（即該三角形的邊）長為√3/2，也就是說該三角形的三邊長分別為1、√3/2、√3/2，為等腰三角形。

可知長度為1的邊為底時，高、1/2底、斜邊組成一個直角三角形。根據(jù)勾股定理，得：
高2=斜邊2-（1/2底）2
=（√3/2）2-（1/2）2
=3/4-1/4=1/2，即高=√2/2

截面面積為（1×√2/2）÷2=√2/4，B選項正確。

本題第一步很好做，甚至很多考生想不到還有「斜著劈」的切法，但第二段的計算略為復(fù)雜，需要熟練掌握勾股定理。一定要注意勾股定理在等腰三角形中的應(yīng)用。