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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號(hào)

分析師：Feier Li

ARIMA是可以擬合時(shí)間序列數(shù)據(jù)的模型，根據(jù)自身的過去值(即自身的滯后和滯后的預(yù)測(cè)誤差)“解釋” 給定的時(shí)間序列，因此可以使用方程式預(yù)測(cè)未來價(jià)值。任何具有模式且不是隨機(jī)白噪聲的“非季節(jié)性"時(shí)間序列都可以使用ARIMA模型進(jìn)行建模。

模型識(shí)別

模型步驟

構(gòu)造arima模型需要四個(gè)步驟：

• 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

• 模型識(shí)別

• 參數(shù)估計(jì)

• 模型檢驗(yàn)

平穩(wěn)性檢驗(yàn)

圖檢驗(yàn)

• 時(shí)序圖

趨勢(shì)特征

●周期特征

●以上均無

• 自相關(guān)圖

單位根檢驗(yàn)

若序列是平穩(wěn)的，那么該序列的所有特征根都應(yīng)該在單位圓內(nèi)。 若序列存在特征根在單位，上或單位圓外, 則該序列是非平穩(wěn)序列。

差分平穩(wěn)

差分通過從當(dāng)前觀察值中減去先前的觀察值來執(zhí)行求差。

模型識(shí)別

參數(shù)估計(jì)及模型檢驗(yàn)

模型的顯著性檢驗(yàn)

若殘差序列為非白噪聲序列，則意味著殘差序列還有殘留的相關(guān)信息未被提取，說明擬合模型不夠有效。

參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

檢驗(yàn)每一個(gè)參數(shù)是否顯著非零，若不顯著非零,即表示該參數(shù)所對(duì)應(yīng)的自變量對(duì)因變量影響不明顯，可將其剔除。

總結(jié)

應(yīng)用場(chǎng)景:

• 對(duì)銷售數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以預(yù)測(cè)未來的銷售狀況

• 可以用于預(yù)測(cè)未來的氣候變化，用于研究環(huán)境問題

• 可分析行業(yè)數(shù)據(jù)，以便預(yù)測(cè)行業(yè)的未來發(fā)展趨勢(shì)和發(fā)展方向。

優(yōu)點(diǎn):

• 實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小

• 可以有效處理不平滑、不確定性較大的時(shí)間序列數(shù)據(jù)

缺點(diǎn):

• 模型容易受到異常值的影響

• 本質(zhì)上只能捕捉線性關(guān)系，而不能捕捉非線性關(guān)系。

R語(yǔ)言用ARIMA模型，ARIMAX模型預(yù)測(cè)冰淇淋消費(fèi)時(shí)間序列數(shù)據(jù)

標(biāo)準(zhǔn)的ARIMA（移動(dòng)平均自回歸模型）模型允許只根據(jù)預(yù)測(cè)變量的過去值進(jìn)行預(yù)測(cè)。該模型假定一個(gè)變量的未來的值線性地取決于其過去的值，以及過去（隨機(jī)）影響的值。ARIMAX模型是ARIMA模型的一個(gè)擴(kuò)展版本。它還包括其他獨(dú)立（預(yù)測(cè)）變量。該模型也被稱為向量ARIMA或動(dòng)態(tài)回歸模型。

ARIMAX模型類似于多變量回歸模型，但允許利用回歸殘差中可能存在的自相關(guān)來提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。
本文練習(xí)提供了一個(gè)進(jìn)行ARIMAX模型預(yù)測(cè)的練習(xí)。還檢查了回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

這些練習(xí)使用了冰淇淋消費(fèi)數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)集包含以下變量。

• 美國(guó)的冰淇淋消費(fèi)（人均）

• 每周的平均家庭收入

• 冰淇淋的價(jià)格

• 平均溫度。

觀測(cè)數(shù)據(jù)的數(shù)量為30個(gè)。它們對(duì)應(yīng)的是1951年3月18日至1953年7月11日這一時(shí)間段內(nèi)的四周時(shí)間。

練習(xí)1

加載數(shù)據(jù)集，并繪制變量cons（冰淇淋消費(fèi)）、temp（溫度）和收入。

ggplot(df, aes(x = X, y = income)) + ?ylab("收入") + ?xlab("時(shí)間") +grid.arrange(p1, p2, p3, ncol=1, nrow=3)

練習(xí)?2?

對(duì)冰淇淋消費(fèi)數(shù)據(jù)估計(jì)ARIMA模型。然后將該模型作為輸入傳給預(yù)測(cè)函數(shù)，得到未來6個(gè)時(shí)期的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。

auto.arima(cons)

fcast_cons <- forecast(fit_cons, h = 6)

練習(xí)3

繪制得到的預(yù)測(cè)圖。

練習(xí)4

找出擬合的ARIMA模型的平均絕對(duì)誤差（MASE）。

accuracy

練習(xí)5

為消費(fèi)數(shù)據(jù)估計(jì)一個(gè)擴(kuò)展的ARIMA模型，將溫度變量作為一個(gè)額外的回歸因子（使用auto.arima函數(shù)）。然后對(duì)未來6個(gè)時(shí)期進(jìn)行預(yù)測(cè)（注意這個(gè)預(yù)測(cè)需要對(duì)期望溫度進(jìn)行假設(shè)；假設(shè)未來6個(gè)時(shí)期的溫度將由以下向量表示：

fcast_temp <- c(70.5, 66, 60.5, 45.5, 36, 28)）

繪制獲得的預(yù)測(cè)圖。

練習(xí)6

輸出獲得的預(yù)測(cè)摘要。找出溫度變量的系數(shù)，它的標(biāo)準(zhǔn)誤差，以及預(yù)測(cè)的MASE。將MASE與初始預(yù)測(cè)的MASE進(jìn)行比較。

summary(fca)

?

溫度變量的系數(shù)是0.0028

該系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.0007

平均絕對(duì)比例誤差為0.7354048，小于初始模型的誤差（0.8200619）。

?

練習(xí)7

檢查溫度變量系數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。該系數(shù)在5%的水平上是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義？

test(fit)

練習(xí)8

估計(jì)ARIMA模型的函數(shù)可以輸入更多的附加回歸因子，但只能以矩陣的形式輸入。創(chuàng)建一個(gè)有以下幾列的矩陣。

溫度變量的值。
收入變量的值。
滯后一期的收入變量的值。
滯后兩期的收入變量的值。
輸出該矩陣。
注意：最后三列可以通過在收入變量值的向量中添加兩個(gè)NA來創(chuàng)建，并將得到的向量作為嵌入函數(shù)的輸入（維度參數(shù)等于要?jiǎng)?chuàng)建的列數(shù)）。

vars <- cbind(temp, income)print(vars)

?

練習(xí)9

使用獲得的矩陣來擬合三個(gè)擴(kuò)展的ARIMA模型，使用以下變量作為額外的回歸因子。

溫度、收入。
溫度、收入的滯后期為0、1。
溫度，滯后期為0、1、2的收入。
檢查每個(gè)模型的摘要，并找到信息準(zhǔn)則（AIC）值最低的模型。
注意AIC不能用于比較具有不同階數(shù)的ARIMA模型，因?yàn)橛^察值的數(shù)量不同。例如，非差分模型ARIMA（p，0，q）的AIC值不能與差分模型ARIMA（p，1，q）的相應(yīng)值進(jìn)行比較。

auto.arima(cons, xreg = var)print(fit0$aic)

?可以使用AIC，因?yàn)楦髂Ｐ偷膮?shù)階數(shù)相同（0）。

AIC值最低的模型是第一個(gè)模型。

它的AIC等于-113.3。

?

練習(xí)10

使用上一練習(xí)中發(fā)現(xiàn)的模型對(duì)未來6個(gè)時(shí)期進(jìn)行預(yù)測(cè)，并繪制預(yù)測(cè)圖。預(yù)測(cè)需要一個(gè)未來6個(gè)時(shí)期的期望溫度和收入的矩陣；使用temp變量和以下期望收入值創(chuàng)建矩陣：91, 91, 93, 96, 96, 96。
找出該模型的平均絕對(duì)比例誤差，并與本練習(xí)集中前兩個(gè)模型的誤差進(jìn)行比較。

帶有兩個(gè)外部回歸因子的模型具有最低的?平均絕對(duì)比例誤差(0.528)

關(guān)于分析師

在此對(duì)Feier Li對(duì)本文所作的貢獻(xiàn)表示誠(chéng)摯感謝，她完成了數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)學(xué)位，專注機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域。擅長(zhǎng)Python、SPSS。

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