是的，很容易數(shù)學(xué)證明。

左邊是信號和 的頻譜，右邊是信號頻譜 的和，用到乘法分配率和和簡單積分性質(zhì)。

也可以從希爾伯特空間中的向量來理解：

一個(gè)信號不管是時(shí)域還是頻域來描述，都是一個(gè)向量在希爾伯特空間中不同基矢下的描述而已。

所以對于兩個(gè)向量求和的結(jié)果向量，在一個(gè)坐標(biāo)系下是這兩個(gè)向量的和，在另一個(gè)坐標(biāo)系下，也會是如此，不會因?yàn)樽鴺?biāo)系的改變而改變。

所以很顯然這個(gè)結(jié)論可以推廣，將來遇到小波變換 或者其他變換都可以直接拿來用。

從線性空間的角度來理解，很多關(guān)于信號的知識都會很容易理解。

比如，內(nèi)積顯然也是一個(gè)不隨坐標(biāo)表象變化的量，所以帕瑟瓦爾定理顯而易見。

內(nèi)積的含義在這里也就很好理解：其實(shí)就是兩個(gè)信號包含多少對方的分量。內(nèi)積為0，就是信號正交，這種時(shí)候它們也可以作為一組正交基矢來表示其他分量。

當(dāng)然在希爾伯特空間中，你需要的基矢數(shù)量是無窮的。如果這一組基矢很有規(guī)律，很容易生成，那沒準(zhǔn)也會是一組很有用的基矢量。

比如在保存數(shù)字信號時(shí)，就經(jīng)常使用不同頻率的方波作為基矢，在數(shù)字領(lǐng)域，顯然方波更便于處理和生成，這在圖片和視頻的保存壓縮時(shí)就有所應(yīng)用。

說遠(yuǎn)一點(diǎn)，有了這些基矢量，自然而然就會開始研究對這些基矢的線性變換。

到了量子力學(xué)領(lǐng)域，這種思想更是被應(yīng)用到了極致。

在科學(xué)領(lǐng)域的方方面面，深入學(xué)習(xí)的過程中，幾乎都會看到這種數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，你可以用它來求震動，求配比，解決各種問題，只需要看看你要處理的問題是否滿足線性疊加原理，然后想辦法定義一個(gè)內(nèi)積，就會瞬間跳出來一大堆現(xiàn)成的結(jié)論可以讓你拿來用，拿來算。

而各種互相影響的過程很多就會簡單的變成了一個(gè)線性變換。即便不是線性問題，那也沒關(guān)系，只要是可微的，至少在局部可以看成一個(gè)線性問題來處理。

這也是當(dāng)今技術(shù)領(lǐng)域，線性代數(shù)如此重要的原因。