今天，我想來(lái)重新談?wù)劯怕?。本文假設(shè)讀者了解概率論。

首先，本文從2個(gè)簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題出發(fā)，討論概率問(wèn)題的三個(gè)階段（隨機(jī)事件、條件、概率計(jì)算）；之后，本文引出概率和決定論的問(wèn)題。

三門問(wèn)題

第一步：已知有3扇門(ABC)，其中有一扇門后面有獎(jiǎng)品，玩家不清楚是哪一個(gè)，主持人知道。玩家從中隨機(jī)選擇了一個(gè)A。

第二步：隨后，主持人從玩家沒(méi)選的門里打開了1扇 沒(méi)有獎(jiǎng)品的門。并給玩家一個(gè)選擇：是繼續(xù)保持原來(lái)的選擇A，還是重新選擇？

第三步：求這種情況下，兩個(gè)剩下的門里有獎(jiǎng)品的概率P(A)和P(非A)。

錯(cuò)誤的思考

我曾于此，糾結(jié)了很長(zhǎng)時(shí)間：還有2扇門，也沒(méi)發(fā)現(xiàn)有什么區(qū)別，為什么不應(yīng)該都是1/2的概率？(P(A)=P(B)=1/2)

這個(gè)錯(cuò)誤的原因就在于實(shí)際上，A和B并不相同。在第一步，很顯然P(A)=P(B)=P(C)=1/3，但是在第二步過(guò)后，正確的概率卻變成了P(A)= 1/3，P(B)=2/3，P(C)=0。

三門問(wèn)題提出后，引起了很多爭(zhēng)議，大部分人都覺(jué)得是1/2。但經(jīng)過(guò)重復(fù)實(shí)驗(yàn)，最終證實(shí)了P(A)= 1/3，P(B)=2/3，P(C)=0。

3個(gè)反例

如果主持人先從3門隨機(jī)打開一扇門C，是沒(méi)有獎(jiǎng)品的。此時(shí)玩家再在剩余的2個(gè)門里，隨機(jī)選擇一個(gè)門，那么概率顯然是1/2，此時(shí)實(shí)際上是條件概率，即P(A|C=0)=P(B|C=0)=1/2，即在C為0的情況下，AB再均分剩下的概率。

如果主持人先從3門故意打開一扇沒(méi)有獎(jiǎng)品的門C。此時(shí)玩家再在剩余的2個(gè)門里，隨機(jī)選擇一個(gè)門，那么概率顯然也是1/2。此時(shí)不是條件概率，而是隨機(jī)事件本身發(fā)生了變化，因?yàn)榇蜷_C是一個(gè)確定事件，因此題目直接排除了C，即“已知有2個(gè)門AB，其中一個(gè)有獎(jiǎng)品”，此時(shí)P2(A)=P2(B)=1/2。

如果主持人是隨機(jī)從剩下2個(gè)門中打開一個(gè)C，發(fā)現(xiàn)是沒(méi)有獎(jiǎng)品的，記這種情況為M。此時(shí)，也可以算得P(A|M)=P(B|M)=1/2，計(jì)算過(guò)程讀者可以讀完本文后，自行完成。直觀上可以這樣解釋，因?yàn)殡S機(jī)的開牌，沒(méi)有引入新的信息，所以剩余的可能性就會(huì)均分剩余的期望。

正確的計(jì)算過(guò)程

第一步：（隨機(jī)情況發(fā)生）3個(gè)門ABC，1個(gè)有獎(jiǎng)品，玩家隨機(jī)選擇1個(gè)，記為A。

第二步：（條件）主人打開一扇未選擇的，無(wú)獎(jiǎng)品的門。這里的關(guān)鍵在于主持人知道選擇的門是無(wú)獎(jiǎng)品的。

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在第一步，有2種情況，A有獎(jiǎng)品 或 A無(wú)獎(jiǎng)品，顯然P(A有獎(jiǎng)品)=P(A)=1/3，P(A無(wú)獎(jiǎng)品)= P(B+C)=2/3。

若A有獎(jiǎng)品，則主持人無(wú)論選擇什么，顯然P(剩余的門有獎(jiǎng)品|A有獎(jiǎng)品)=0。

若A無(wú)獎(jiǎng)品，則主持人無(wú)論選擇什么，顯然P(剩余的門有獎(jiǎng)品|A無(wú)獎(jiǎng)品)=1。

所以根據(jù)全概率公式，P(剩余的門有獎(jiǎng)品)= P(剩余的門有獎(jiǎng)品|A有獎(jiǎng)品) P(A有獎(jiǎng)品)+ P(剩余的門有獎(jiǎng)品|A無(wú)獎(jiǎng)品) P(A無(wú)獎(jiǎng)品)=0*1/3+1*2/3=2/3。

同理，無(wú)論A是否有獎(jiǎng)品，主持人都可以打開無(wú)獎(jiǎng)品的門，因此：

P(A有獎(jiǎng)品)= P(A有獎(jiǎng)品|A有獎(jiǎng)品) P(A有獎(jiǎng)品)+ P(A有獎(jiǎng)品|A無(wú)獎(jiǎng)品) P(A無(wú)獎(jiǎng)品)=1*1/3+0*2/3=1/3。

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這里的關(guān)鍵在于理解，A和剩下的那個(gè)門是不一樣的，剩下的門繼承了打開的門的概率，而A沒(méi)有。

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兩女孩問(wèn)題

不論上一個(gè)問(wèn)題是否理解，我們都可以結(jié)合這個(gè)問(wèn)題再重新考慮。

已知某人有2個(gè)孩子，性別都可能是男女，忽略男女性別比差異，認(rèn)為生男生女都是一半概率。

第一步：（隨機(jī)事件發(fā)生）其母親依次生下了2個(gè)孩子，對(duì)玩家來(lái)說(shuō)性別均未知，但是母親知道。

第二步：（條件）母親告訴玩家，2個(gè)孩子其中有一個(gè)是女性。

第三步：求另一個(gè)是女性的概率。

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錯(cuò)誤的分析

顯然，2個(gè)孩子沒(méi)有關(guān)系，因?yàn)樗麄兊男詣e是相互獨(dú)立的。一個(gè)孩子是女孩，不影響另一個(gè)的性別。所以P(另一個(gè)是女性) = P(另一個(gè)是男性) =1/2。

正確的答案

P(另一個(gè)是女性)=1/3

2個(gè)反例

已知我和出題人是兩個(gè)人，現(xiàn)在我是男性，出題人是男性的概率是1/3嗎？答案：不是，是獨(dú)立事件，是1/2。

第二步改為：母親告訴玩家，2個(gè)孩子其中的一個(gè)A，A是女性。此時(shí)B是女性的概率就是1/2。

正確的解法

記2個(gè)孩子是AB，第一步一共有4中情況P(A女B女) = P(A女B男)= P(A男B女)= P(A男B男) =1/4。

第二步，條件是有女性（換句話說(shuō)，至少有一個(gè)是女性），即P(有女性)=1-P(A男B男)=3/4發(fā)生了。

第三步，計(jì)算條件概率（根據(jù)條件概率的定義）：P(A女B女|有女性)= P(A女B女 且 有女性)/ P(有女性)= P(A女B女)/ P(有女性)=1/4/（3/4）=1/3，同理P(A女B男|有女性)= P(A男B女|有女性)=1/3。因此剩余的三種情況均分了概率。在這三種情況中，另一個(gè)孩子是女性的只有一種，因此P(另一個(gè)是女性)=1/3。

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這里的關(guān)鍵在于，我們不知道哪個(gè)孩子是女性。如果知道，則退化為簡(jiǎn)單獨(dú)立事件。但是由于不知道哪個(gè)孩子是女性，只能算伯努利分布+條件概率問(wèn)題。

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小結(jié)

我們對(duì)于概率的很多錯(cuò)誤的直覺(jué)，實(shí)際上來(lái)自我們的生活實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于三門問(wèn)題，我們天真的忽略的主持人的主觀影響。對(duì)于兩女孩問(wèn)題，我們主觀的把生活中常見(jiàn)的情況（知道誰(shuí)是女孩）和題目要求（不知道誰(shuí)是女孩）搞混。

實(shí)際上，我們?cè)谟?jì)算概率問(wèn)題的時(shí)候，一定要明確隨機(jī)事件到底發(fā)生在什么情況下。我們認(rèn)為，隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)刻，等概率是超驗(yàn)的。而后續(xù)的條件，則改變了前者的概率分布，如果是隨機(jī)揭示，則剩余繼續(xù)均分概率，如果是有主觀參與的揭示，則可能改變剩余可能性概率的均等性。前者是一定情況下條件概率的快速算法，后者則是一般情況。

在現(xiàn)實(shí)世界中，隨機(jī)事件實(shí)際上并沒(méi)有那么“隨機(jī)”。拋一枚硬幣，它自由下落的正反面，按照牛頓力學(xué)就能完全計(jì)算出來(lái)，并非隨機(jī)事件。決定論認(rèn)為，一切“隨機(jī)”都是源于我們對(duì)世界的無(wú)知。決定論認(rèn)為，“隨機(jī)”并非上帝在擲骰子，而是我們的認(rèn)知能力（即使加上計(jì)算機(jī)）完全無(wú)法追趕“世界”運(yùn)行的速度。如果有一個(gè)全能全知的拉普拉斯妖，則它的世界就可以沒(méi)有“隨機(jī)”。當(dāng)然，我們不是上帝或拉普拉斯妖，我們不是全知的，所以我們只能用概率來(lái)建立模型，簡(jiǎn)化對(duì)“世界”的理解。

當(dāng)然，如果考慮量子效應(yīng)，世界是否是決定論的（即根據(jù)現(xiàn)在，能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)未來(lái)）也未可知。

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概率論與拉普拉斯決定論矛盾嗎？

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