牛頓412、微積分基礎不穩(wěn)固導致第二次數(shù)學危機

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微積分（數(shù)學概念）：…

…微、分、微分：見《牛頓321~336》…

…積、分、積分：見《牛頓337~405》…

…微積分：見《牛頓407》…

…數(shù)、學、數(shù)學：見《歐幾里得49》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

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…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

微積分歷史
…歷、史、歷史：見《歐幾里得111》…

…微積分歷史：見《牛頓407~411》…

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第二次數(shù)學危機的補救

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第一個為補救第二次數(shù)學危機提出真正有見地的意見的是法國數(shù)學家達朗貝爾。

…意、見、意見：見《富田興合苑業(yè)主的大事小事548》…

（…《富田興合苑業(yè)主的大事小事》：小說名…）

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…家：掌握某種專門學識或從事某種專門活動的人：?！?。畫～。政治～。科學～。藝術～。社會活動～…見《歐幾里得92》…

…達朗貝爾（1717～1783）：法國著名的物理學家、數(shù)學家和天文學家…

他在1754年指出，必須用更可靠的理論去代替當時使用的、粗糙的極限理論。

…理、論、理論：見《歐幾里得5》…

…極、限、極限：見《牛頓202~321》…

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但是他本人未能提供這樣的理論。

最早使微積分嚴格化的是拉格朗日。

…嚴、格、嚴格：見《歐幾里得125》…

…化：后綴。加在名詞或形容詞之后構成動詞，表示轉變成某種性質或狀態(tài)：綠～。美～。惡～。電氣～。機械～。水利～…見《歐幾里得2》…

…拉格朗日一般指約瑟夫·拉格朗日…

…約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）：全名為約瑟夫·路易斯·拉格朗日，法國著名數(shù)學家、物理學家。

（…物、理、物理，學、物理學：見《歐幾里得139》…）

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1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒（zú）于巴黎。

（…卒：死亡：生～年月…見《歐幾里得35》…）

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他在數(shù)學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數(shù)學方面的成就最為突出…

[…力、學、力學：見《伽利略49、50》…

（…《伽利略》：小說名…）

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…天、文、天文，天文學：見《伽利略1》…

…性：1.物質所具有的性能；物質因含有某種成分而產(chǎn)生的性質：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動詞或形容詞之后構成抽象名詞或屬性詞，表示事物的某種性質或性能：黨～。紀律～。創(chuàng)造～。適應～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…]

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為了避免使用無窮小推理和當時還不明確的極限概念，拉格朗日曾試圖把整個微積分建立在泰勒公式的基礎上。

…無、窮、無窮，小，無窮?。阂姟杜ｎD280》…

…推、理、推理：見《歐幾里得12》…

…基、礎、基礎：見《歐幾里得37》…

但是，這樣一來，考慮的函數(shù)范圍太窄了，而且不用極限概念也無法討論無窮級數(shù)的收斂（liǎn）問題，所以，拉格朗日的以冪級數(shù)為工具的代數(shù)方法也未能解決微積分的奠（diàn）基問題。

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…范、圍、范圍：見《歐幾里得39》…

…級數(shù)：也叫無窮級數(shù)…見《伽利略57》…

…收、斂、僉、收斂：見《牛頓215》…

…冪：見《歐幾里得113》…

…工、具、工具：見《歐幾里得161、162》…

…代、數(shù)、代數(shù)：見《歐幾里得36》…

…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…

…奠、基、奠基：見《歐幾里得115》…

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到了19世紀，出現(xiàn)了一批杰出的數(shù)學家，他們積極為微積分的奠基工作而努力，其中包括了捷克的哲學家波爾查諾，他曾著有《無窮的悖（bèi）論》，明確地提出了級數(shù)收斂的概念，并對極限、連續(xù)和變量有了較深入的了解。

…工、作、工作：見《伽利略22》…

…哲、學、哲學：見《歐幾里得110》…

…悖、論、悖論：見《歐幾里得27》…

…連、續(xù)、連續(xù)：見《歐幾里得44》…

…變、量、變量：見《歐幾里得29》…

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分析學的奠基人，法國數(shù)學家柯西在1821—1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計算講義》是數(shù)學史上劃時代的著作。在那里他給出了數(shù)學分析一系列的基本概念和精確定義。

…分、析、分析：見《歐幾里得36》…

…計、算、計算：見《歐幾里得157》…

…基、本、基本：見《歐幾里得2》…

…精、確、精確：見《牛頓25》…

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

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“對分析基礎做更深一步的理解”的要求發(fā)生在1874年。那時的德國數(shù)學家維爾斯特拉斯構造了一個沒有導數(shù)的連續(xù)函數(shù)，即構造了一條沒有切線的連續(xù)曲線，這與直觀概念是矛盾的。

…理、解、理解：見《歐幾里得58》…

…魏爾斯特拉斯：見《牛頓234》…
…維爾斯特拉斯函數(shù)：見《牛頓236》…

…構、造、構造：見《牛頓59》…

…導、數(shù)、導數(shù)：見《牛頓288~295》…

…切、線、切線：見《牛頓288》…

…直觀：見《牛頓220》…

…矛、盾、矛盾：見《歐幾里得72》…

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它（維爾斯特拉斯函數(shù)）使人們認識到極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對實數(shù)系的依賴比人們想象的要深奧得多。

…認、識、認識：見《歐幾里得51》…

…實、數(shù)、實數(shù)：見《歐幾里得37》…

…系：見《歐幾里得25》…

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黎曼發(fā)現(xiàn)，柯西沒有必要把他的定積分限制于連續(xù)函數(shù)。

…定，積、分、積分，定積分：見《牛頓337~351》…

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黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。也就是將柯西積分改進為黎曼積分。

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

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這些事實使我們明白，在“為分析建立一個完善的基礎”方面，還需要再深挖一步：理解實數(shù)系更深刻的性質。

…事、實、事實：見《歐幾里得6、7》…

…深、刻、深刻：見《歐幾里得133》…

…性、質、性質：見《歐幾里得37》…

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這項工作最終由維爾斯特拉斯完成，使得數(shù)學分析完全由實數(shù)系導出，脫離了知覺理解和幾何直觀。

…知、覺、知覺：見《牛頓144》…

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

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這樣一來，數(shù)學分析所有的基本概念都可以通過實數(shù)和它們的基本運算表述出來。

…運、算、運算：見《歐幾里得121》…

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微積分嚴格化的工作終于接近封頂，只有關于無限的概念沒有完全弄清楚，在這個領域，德國數(shù)學家康托爾做出了杰出的貢獻。

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總之，微積分基礎不穩(wěn)固導致第二次數(shù)學危機。

柯西的貢獻在于，將微積分建立在極限理論的基礎上。

維爾斯特拉斯的貢獻在于，邏輯地構造了實數(shù)論。

…邏、輯、邏輯：見《歐幾里得5》…

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因此，建立分析基礎的邏輯順序是實數(shù)系——極限論——微積分。

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“18世紀被稱為數(shù)學史上的英雄世紀：微積分被應用于天文學、力學、光學、熱學等各個領域，并獲得了豐碩的成果。

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請看下集《牛頓413、驅動18世紀的微積分學不斷向前發(fā)展的動力是物理學的需要》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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