????????3、無(wú)序性：{a，b，c}和{c，b，a}是同一個(gè)集合。

????????4、純粹性：所謂集合的純粹性，用個(gè)例子來(lái)表示。集合A={x|x＜2}，集合A中所有的元素都要符合x＜2，這就是集合的純粹性。

????????5、完備性：仍用上面的例子，所有符合x＜2的數(shù)都在集合A中，這就是集合完備性。完備性與純粹性是相呼應(yīng)的。

????????在上面5個(gè)性質(zhì)中，只有前3個(gè)性質(zhì)屬于集合的三要素。

集合的運(yùn)算結(jié)論：

????????若A包含于B，則A∩B=A，A∪B=B。若A和B有一集合為空集，?∩B=?，A∪?=A。全集的補(bǔ)集是空集，全集的空集等于它本身（包括全集等同于補(bǔ)集）。

集合的表示方法：

????????列舉法：常用于無(wú)限集合，把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法。例如{1，2，3，……}。

????????描述法：常用于有限集合，把集合中的元素的公共屬性用文字，符號(hào)或式子等描述出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個(gè)集合的元素的共同屬性）如：小于π的正實(shí)數(shù)組成的集合表示為：{x|0＜x＜π}。

????????韋恩圖（Veen圖）：為了形象表示集合，我們常常用畫一條封閉的曲線（或者說(shuō)圓圈），用它的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合。

常用數(shù)集符號(hào)：

????????1、全體非負(fù)整數(shù)的幾何通常簡(jiǎn)稱非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N。

????????2、非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也稱正整數(shù)集，記作Z+（或Z*）。

????????3、全體整數(shù)的集合通常稱作整數(shù)集，記作Z。

????????4、全體有理數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱有理數(shù)集，記作Q。

????????5、全體實(shí)數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱實(shí)數(shù)集，記作R。

????????6、復(fù)數(shù)集合記作C。

集合容斥原理：

????????在研究集合時(shí)，會(huì)遇到集合中元素個(gè)數(shù)的問(wèn)題?，F(xiàn)今我們只研究了兩個(gè)元素的容斥原理和三個(gè)元素的容斥原理。

????????兩個(gè)元素的容斥原理：對(duì)于任意的集合{A，B}，都符合該公式：A∪B=A+B-A∩B。

????????三個(gè)元素的容斥原理：對(duì)于任意的集合{A，B，C}，都符合該公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。

集合的運(yùn)算律：

????????集合交換律：A∩B=B∩A。A∪B=B∪A。

????????集合分配律：（A∩B）∩C=A∩（B∪C）。（A∪B）∪C=A∪（B∪C）。

????????集合德·摩根律：Cu（A∩B）=CuA∪CuB。Cu（A∪B）=CuA∩CuB。

????????集合吸收率：A∪（A∩B）=A。A∩（A∪B）=A。

????????集合求補(bǔ)律：A∪CuA=U。A∩CuA=?。

????????????????????????????????????????????第三十六章：不等式

不等式簡(jiǎn)介：

????????用不等號(hào)將兩個(gè)解析式連起來(lái)的式子。在一個(gè)式子中的關(guān)系，不全是不等號(hào)，含不等號(hào)的式子，那它就是一個(gè)不等式。例如2x+2y≥2xy，sinx≤1，ex＞0，2x＜3，5x≠5等。根據(jù)解析式的分類也可以對(duì)不等式分類，不等號(hào)兩邊都是解析式都是代數(shù)式的不等式，稱為代數(shù)不等式，也分一次不等式或多次不等式。只要有一邊是超越式，就稱為超越不等式，例如lg（1+x）＞x是超越不等式。

????????不等式分為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式。一般地，用純粹的大于號(hào)、小于號(hào)、不等號(hào)連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式，用不小于號(hào)（大于等于號(hào)），不大于號(hào)（小于等于號(hào)）連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式，或稱廣義不等式。

????????通常不等式中的數(shù)是實(shí)數(shù)，字母也代表實(shí)數(shù)，不等式的形式一般為F（x，y……z）≤G（x，y……z）（其中不等號(hào)也可以為＜，＞，≥，≠中的某一個(gè)），兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式即可以表達(dá)一個(gè)命題，也可以表示一個(gè)問(wèn)題。

整式不等式：

????????不等號(hào)兩邊都是整式且未知數(shù)不在分母上。

????????一元一次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)（即一元），并且未知數(shù)的次數(shù)是1次（即一次）的不等式。如3-x＜0

????????同理：二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)（即二元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1次（即一次）的不等式。

????????類似：一元二次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)（即一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次（即最高二次）的不等式。一元二次不等式可以沒(méi)有一次項(xiàng)，但不能沒(méi)有二次項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)不能為0。

????????類比：一元三次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)（即一元），并且未知數(shù)最高次數(shù)是3次（即最高三次）的不等式。一元三次不等式可以沒(méi)有二次項(xiàng)，但不能沒(méi)有三次項(xiàng)，三次項(xiàng)系數(shù)不能為0.

分式不等式：

????????分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式，有意義的條件是分母不能為0。和分式方程差不多。例如3/（2+x）＜1，當(dāng)2+x≠0時(shí)該不等式就有意義，2+x=0時(shí)該不等式就無(wú)意義。

連不等式：

????????由三個(gè)或三個(gè)以上連成的一個(gè)不等式，叫做連不等式。連不等式并非要求每個(gè)解析式都是從小到大或從大到小，不是從大到小或從大到小的不等關(guān)系的連不等式也是連不等式，只要保證每個(gè)區(qū)間的不等關(guān)系成立即可。

不等式的基本性質(zhì)：

????????（1）如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y（對(duì)稱性）。

????????（2）如果x＞y，y＞z，那么x＞z（傳遞性）。

????????（3）如果x＞y，z為有意義的分式或整式，那么x+z＞y+z（加法原則）。

????????（4）如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz（乘法原則）。

????????（5）如果x＞y，m＞n，那么x+m＞y+n（充分條件）。

????????（6）如果x＞y＞0，m＞n＞0，那么xm＞ym（必要條件）。

????????（7）如果x＞y＞z，那么x＞y，y＞z（逆向思維）。

????????（8）如果x＞z，y＞z，那么x＞y=z（子集關(guān)系）。

解不等式的原理：

????????（1）不等式F（x）＜G（x）與不等式G（x）＞F（x）同解。

????????（2）如果不等式F（x）＜G（x）的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，那么不等式F（x）＜G（x）與不等式F（x）+H（x）＜G（x）+H（x）同解。

????????（3）如果不等式F（x）＜G（x）的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F（x）＜G（x）與不等式F（x）H（x）＜G（x）H（x）同解。

不等式注意事項(xiàng)：

????????1、驗(yàn)證解集：在解分式不等式中，化為整式不等式再解之后，解完的不等式的解集要檢驗(yàn)。

????????2、符號(hào)：不等號(hào)兩邊都乘或除以一個(gè)負(fù)數(shù)，要改變不等號(hào)的方向。

????????3、確定解集：同大取大，同小區(qū)小，小大大小取中間，小小大大空集，兩個(gè)以上不等式組成的不等式組類推。

????????4、也可以在數(shù)軸上確定解集：把每個(gè)不等式（組）在數(shù)軸上表示出來(lái)。大于幾的數(shù)在該數(shù)為起點(diǎn)用曲線向右畫，小于幾的數(shù)將在該數(shù)的起點(diǎn)用曲線向左畫。起點(diǎn)處要畫一個(gè)空心的圓圈，注意圓圈必須與數(shù)軸相交，∵解出來(lái)的不等式的解集的最值雖然不是這個(gè)數(shù)，但你仍然不能丟掉這個(gè)數(shù)，否則人家就會(huì)看你畫成實(shí)心的了。大于等于幾和小于等于幾的畫法類似于大于幾和小于幾，只不過(guò)圓圈必須是實(shí)心的了，但仍要畫在數(shù)軸上，∵解出來(lái)的不等式的解集的最值存在這個(gè)數(shù)。畫不等式組的解集時(shí)同理。對(duì)于解集取中間的不等式組，可以是半封閉的，也可以是全封閉的。有幾個(gè)解集就畫幾個(gè)。

????????5、整理解集：如果解的是不等式組，那么最后需要整理解集。整理解集時(shí)利用描述法表示集合的形式確定解集（前面要加“∴”）。

????????6、類比方程：不等式兩邊相加或相減同一個(gè)式子，不等號(hào)的方向不變號(hào)。不等式中的式子移項(xiàng)要變號(hào)（不等式的性質(zhì)）。

????????7、系數(shù)化為1：不等式兩邊相乘或除以同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變，未知數(shù)的系數(shù)最后為1（前提是數(shù)為正數(shù)且未知數(shù)系數(shù)為正數(shù)）。

????????8、是否需要在數(shù)軸上表示不等式組的解集：如果是解不等式組，那么需要在數(shù)軸上表示不等式組的解集（前面要加上“因此”）。如果是解決不等式組實(shí)際問(wèn)題，那么不需要在數(shù)軸上表示不等式組的解集。

不等式中的解集和解的區(qū)別：

????????在不等式中，解析式的取值范圍（即不等式的解），稱為“解的集合”，簡(jiǎn)稱“解集”，∵不等式解出來(lái)的是一個(gè)有范圍的解析式，而解析式中的字母可是任意實(shí)數(shù)。那么對(duì)于不等式的解而言，就是這個(gè)解析式中的每一個(gè)值。例如x＜3，它是一個(gè)解析式，符合x＜3的x值有2，1，0以及負(fù)數(shù)，∴x＜3是一個(gè)解集。但其中又有比3小的數(shù)，例如2，1，0以及負(fù)數(shù)，這些數(shù)只是符合這個(gè)解集有意義幾個(gè)數(shù)，∴其中的2，1，0以及每一個(gè)負(fù)數(shù)只能算是不等式的解。

不等式的證明：

????????1、比較法：包括比差法和比商法兩種。

????????2、綜合法：證明不等式時(shí)，從命題的條件出發(fā)，利用公理、定理、法則等，逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法成為綜合法，綜合法又叫順推證法或因?qū)Чā?br>

????????3、分析法：證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)證明過(guò)的定理、簡(jiǎn)單事實(shí)或題設(shè)的條件，這種證明的方法稱為分析法，它是執(zhí)果索因的方法。

????????4、放縮法：證明不等式時(shí)，有時(shí)根據(jù)需要把證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小，使其化繁為簡(jiǎn)，化難為易，達(dá)到這種目的，這種方法稱為放縮法。

????????5、數(shù)學(xué)歸納法：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法。

????????6、證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法。

柯西不等式：

????????對(duì)于2n個(gè)任意實(shí)數(shù)x1，x2，……，xn和y1，y2，……，yn，恒有（x1y1+x2y2+……+xnyn）2≤（x12+x22+……+xn2）（y12+y22+……+yn2）

排序不等式：

????????又稱排序原理。對(duì)于兩組有序的實(shí)數(shù)x1≤x2≤……≤xn，y1≤y2≤……≤yn，設(shè)yi1，yi2，……yin是后一組的任意一個(gè)排列。記S=x1yn+x2y（n-1）+……+xny1，M=x1y1+x2y2+……+xnyn，L=x1y1+x2y2+……xnyn，那么恒有S≤M≤L。

????????????????????????????????第三十七章：多變的函數(shù)

區(qū)間的概念：

????????提到函數(shù)，就離不開(kāi)區(qū)間。∵區(qū)間與函數(shù)有著一定的聯(lián)系，∴在談函數(shù)之前，我們就先認(rèn)識(shí)一下區(qū)間的概念。

?區(qū)間簡(jiǎn)說(shuō)：

????????在初等代數(shù)，傳統(tǒng)上區(qū)間指一個(gè)集，包含在某兩個(gè)特定實(shí)數(shù)之間的所有的實(shí)數(shù)，亦可能包含兩個(gè)實(shí)數(shù)（或其中之一）。期間表示法時(shí)表示一個(gè)變數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的方式。通用的區(qū)間表示法中，圓括號(hào)表示排除，意味著這個(gè)數(shù)不存在，方括號(hào)表示包括，意味著這個(gè)數(shù)存在。例如開(kāi)區(qū)間（10，20）表示所有10和20之間的實(shí)數(shù)，但不包括10和20。另一方面，閉區(qū)間[10，20]表示所有在10和20之間的實(shí)數(shù)，以及10和20。

區(qū)間的嚴(yán)格定義：

????????區(qū)間的定義可以推廣到任何全序集T的子集S，若使得x和y均屬于S，且x＜z＜y，則z亦屬于S。特別重要的是當(dāng)T=R時(shí)，R的區(qū)間有以下10種（a和b為實(shí)數(shù)且a＜b）：

????????（a，b）={x|a＜x＜b}。[a，b]={x|a≤x≤b}。[a，b）={x|a≤a＜b}。(a，b]={x|a＜x≤b}。（a，+無(wú)窮大）={x|x＞a}。[a，+無(wú)窮大）={x|x≥a}。（-無(wú)窮大，b）={x|x＜b}。(-無(wú)窮大，b]={x|x≤b}。（-無(wú)窮大，﹢無(wú)窮大）=R自身，實(shí)數(shù)集。[a，a]={a}，即單元素集合。

區(qū)間總結(jié)：

????????區(qū)間有且僅由兩個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成。分為開(kāi)區(qū)間和閉區(qū)間，一邊為開(kāi)區(qū)間另一邊為閉區(qū)間稱為半開(kāi)半閉區(qū)間，根據(jù)端點(diǎn)位置又分為左開(kāi)右閉區(qū)間和左閉右開(kāi)區(qū)間。開(kāi)區(qū)間的符號(hào)用小括號(hào)表示，閉區(qū)間的括號(hào)用中括號(hào)表示。實(shí)數(shù)還無(wú)窮大，無(wú)窮大分為正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大，這取決于數(shù)的正負(fù)。

函數(shù)的經(jīng)典定義：

????????在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x，y，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于給定的x，有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么y就叫做x的函數(shù)。其中x叫自變量，y叫因變量。

函數(shù)的現(xiàn)代定義：

????????一般地，給定非空數(shù)集A，B，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，使得A中任意元素x，都有B中唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么從集合A到集合B的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作x→y=f（x），x∈A。集合A叫做函數(shù)的定義域，記為D，集合{y|y=f（x），x∈A}叫作值域，記為C，f（x）的值叫做函數(shù)的值。定義域、值域、值稱為函數(shù)的三要素。一般書寫為y=f（x），x∈D。

判斷是否為同一函數(shù)：

????? ?首先看定義域是否相同，然后再看對(duì)應(yīng)法則是否相同，即經(jīng)化簡(jiǎn)兩函數(shù)為同一形式。檢驗(yàn)方法：第一步先求兩函數(shù)的定義域。任取一個(gè)數(shù)x，第二步將x分別?兩式子中看兩式是否同時(shí)得一個(gè)數(shù)。定義域相同且得數(shù)相同則為同一函數(shù)，否則不為同一函數(shù)。

用映射給函數(shù)下定義：

????????一般地，給定非空數(shù)集A，B，從集合A到集合B的一個(gè)映射，叫做從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。

計(jì)算機(jī)中的函數(shù)定義：

????????函數(shù)過(guò)程中這些語(yǔ)句用于完成某些有意義的工作——通常是處理文本，控制輸入或計(jì)算數(shù)值。通過(guò)在程序代碼中引入函數(shù)名稱和所需的參數(shù)，可在該程序中執(zhí)行（或稱調(diào)用）該函數(shù)。

????????類似過(guò)程，不過(guò)函數(shù)一般都有一個(gè)返回值。它們都可以在自己結(jié)構(gòu)里面調(diào)用自己，稱為遞歸。

????????大多數(shù)編程語(yǔ)言構(gòu)成函數(shù)的方法里面都有Function關(guān)鍵字（或稱保留字）。

????????與數(shù)學(xué)上的函數(shù)類似，函數(shù)多用于一個(gè)等式，如y=f（x）（f由用戶自己定義）。

函數(shù)簡(jiǎn)介：

????????函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，也是代數(shù)學(xué)里面最重要的概念之一。

????????首先要理解，函數(shù)是發(fā)生在非空數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。然后，要理解發(fā)生在A、B之間的函數(shù)關(guān)系不止一個(gè)。最后，要重點(diǎn)理解函數(shù)的三要素。

????????函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則通常用解析式表示，但大量的函數(shù)關(guān)系是無(wú)法用解析式表示的，可以用圖像，表格及其他形式表示。

分段函數(shù)的概念：

????????分段函數(shù)，就是y對(duì)自變量x的不同數(shù)值范圍，有著不同解析式的函數(shù)。它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)；分段函數(shù)的概念是各段函數(shù)定義域的并集，值域也是各段函數(shù)的并集。

????????分段函數(shù)的圖像由一個(gè)折線或不規(guī)則的曲線構(gòu)成，解題時(shí)需要分類討論。類型有兩種。第一種：分界點(diǎn)左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式一樣，但單獨(dú)定義分界點(diǎn)處的函數(shù)值一樣。第二種：分界點(diǎn)左右的數(shù)學(xué)表達(dá)式不一樣，但單獨(dú)定義分界點(diǎn)處的函數(shù)值一樣。

????????求分段函數(shù)的表達(dá)時(shí)的常用方法有：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法和公式法等。

映射概念：

????????設(shè)A和B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素a，在集合B中都存在唯一的一個(gè)元素b與之對(duì)應(yīng)，那么，這樣的對(duì)應(yīng)（以及集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系f）叫做集合A到集合B的映射記作f：A→B。其中，b稱為a在映射f下的象，記作：b=f（a）；a稱為b關(guān)于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合記作f（A）。

????????則有：定義在非空數(shù)集之間的映射稱為函數(shù)。（函數(shù)的自變量是一種特殊的原象，因變量是特殊的象）。

幾何與函數(shù)：

????????函數(shù)與不等式和方程存在聯(lián)系（初等函數(shù)）。從幾何的角度看。令函數(shù)值等于0，從幾何角度看，對(duì)應(yīng)的自變量的值就是圖像與x軸的坐標(biāo)；從代數(shù)角度看，對(duì)應(yīng)的自變量是方程的解，另外，把函數(shù)的表達(dá)式中的“=”換成“＞”或“＜”，再把y換成其他代數(shù)式，函數(shù)就變成了不等式，可以求自變量的范圍。

函數(shù)的集合論：

????????如果x到y(tǒng)的二元關(guān)系f：x×y，對(duì)于每個(gè)函數(shù)x∈X，都有唯一的y∈Y，使得x＜y＜f，則稱f為X到Y(jié)的函數(shù)，記作：f：x→y，記作f：x→y.

????????當(dāng)x=x1×……×xn時(shí)，稱f為n元函數(shù)。其特點(diǎn)，前域與定義域重合。單值性：y＜f，y∈f，f＜x，y′＞∈f，則y=y′。

定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域和值：

????????輸入的集合x被稱為f的定義域，輸出值的集合y被稱為f的值域。函數(shù)的值域是從定義域中的全部元素通過(guò)映射f得到的實(shí)際輸出值的集合。函數(shù)的值是從定義域中的單選出元素得出的值通過(guò)映射f得到唯一輸出的值。注意，把對(duì)應(yīng)域稱作值域是不正確的，函數(shù)的值域是函數(shù)對(duì)應(yīng)域的子集。把值看成對(duì)應(yīng)法則也是不正確的，雖然算法相同，但是對(duì)應(yīng)法則用于判斷是否為同一函數(shù)，而值卻是一個(gè)函數(shù)中通過(guò)給定的x值求得y的值。

????????計(jì)算機(jī)科學(xué)中，參數(shù)和返回值的數(shù)據(jù)類型分別確定了子程序的定義域和對(duì)應(yīng)域。因此定義域和對(duì)應(yīng)域是函數(shù)一開(kāi)始就確定了強(qiáng)制進(jìn)行約束。另一方面，值域和實(shí)際的實(shí)現(xiàn)有關(guān)。

單射、滿射和雙射函數(shù)：

????????單射函數(shù)，將不同的變量映射到不同的值。即：若x和y∈定義域，則僅當(dāng)x≠y時(shí)有f（x）≠f（y）。

????????滿射函數(shù)，其值域即為其對(duì)應(yīng)域。即：對(duì)映射f的對(duì)映域中指任意y，都存在至少一個(gè)x滿足f（x）=y。

????????雙射函數(shù)，既是單射的又是滿射的。也叫一一對(duì)應(yīng)。雙射函數(shù)經(jīng)常被用于表明集合x和y是等勢(shì)的，即有一樣的基數(shù)。如果在兩個(gè)集合之間可以建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，則說(shuō)明這兩個(gè)集合等勢(shì)。

象和原象：

????????元素x∈X在f的象就是f（x），它們所取的式值為0。子集A∈x在f的象是以其元素的象組成Y的子集，即f（A）={x|f（x），x∈A}。

函數(shù)的單調(diào)性：

????????函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性，可以定性描述在一個(gè)指定區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值變化與自變量變化的關(guān)系。當(dāng)f（x）的自變量在其定義區(qū)間內(nèi)增大（或減小）時(shí)，函數(shù)值也隨著增大（或減小），則稱該函數(shù)為該區(qū)間上具有單調(diào)性（單調(diào)遞增或單調(diào)遞減）。在集合論中，有序集合之間的函數(shù)，如果它們保持給定的次序，是具有單調(diào)性的。

????????一般地，設(shè)一連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈。則：

????????如果對(duì)于屬于定義域D內(nèi)的某一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2∈D且x1＞x2，都有f（x1）＞f（x2），即在D是具有單調(diào)性且單調(diào)增加，那么就說(shuō)f（x）在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。

????????相反地，如果屬于定義域D內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2且x1＞x2，都有f（x1）＜f（x2），即在D上具有單調(diào)性且單調(diào)減少，那么就說(shuō)f（x）在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。

????????則增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱單調(diào)函數(shù)。

????????判斷單調(diào)性的方法有圖像觀察法、定義法、等價(jià)定義法、求導(dǎo)法、復(fù)合函數(shù)法。利用函數(shù)的單調(diào)性可以解決很多與函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題，如求最值、證明不等式等。

單調(diào)區(qū)間：

????????如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有嚴(yán)格地單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f（x）的單調(diào)區(qū)間。否則都叫函數(shù)不具有嚴(yán)格的單調(diào)性。

函數(shù)的最值：

????????一般的，函數(shù)的最值分為函數(shù)最小值和函數(shù)最大值。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，最小值即定義域中函數(shù)值的最小值，最大值即定義域中函數(shù)的最大值。函數(shù)的最大（?。┲档膸缀我饬x——函數(shù)的最高（底）點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大（小）值。

????????設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈l，都有f（x）≥M。（2）存在x0∈l，使得f（x0）=M，那么，我們稱實(shí)數(shù)M是函數(shù)y=f（x）的最小值。

???????設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈l，都有f（x）≤M。（2）存在x0=I。使得f（x0）?，那么，我們稱實(shí)數(shù)M是函數(shù)y=f（x）的中最大值。

函數(shù)的有界性：

????????設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，數(shù)集X包含于D，如果存在數(shù)K1，使得f（x）≤K1對(duì)任一x∈X都成立，則稱函數(shù)f（x）在X上有上界，而K1稱為函數(shù)f（x）在X上的一個(gè)上界。如果存在數(shù)K2，使得f（x）使得f（x）≥K2對(duì)任一x∈X都成立，則稱f（x）在X上游下界，而K2成為函數(shù)f（x）在X上的一個(gè)下界。如果存在正數(shù)M，使得|f（x）|≤M對(duì)任一x∈X都成立，則稱函數(shù)f（x）在X上有界，如果這樣的M不存在，就稱函數(shù)f（x）在X上無(wú)界。

函數(shù)的奇偶性：

????????若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）稱為偶函數(shù)。若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）那么f（-x）。對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x）=-f（x），那么f（x）稱為既奇又偶函數(shù)。對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）≠-f（x）≠f（x），那么f（x）稱為非奇非偶函數(shù)。奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，既奇又偶函數(shù)即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又關(guān)于y軸對(duì)稱。既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又不關(guān)于y軸對(duì)稱。既奇又偶函數(shù)和非奇非偶函數(shù)都各有無(wú)數(shù)個(gè)。

????????例題：判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=x**4。（2）f（x）=x**5。（3）f（x）=x+1/x。（4）f（x）=1/x2。

????????解答：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=x**4，其定義域?yàn)椋?無(wú)窮大，+無(wú)窮大）?！邔?duì)定義域的每一個(gè)x，都有f（-x）=（-x）**4=x**4=f（x），∴f（x）=x**4為偶函數(shù)。

????????（2）對(duì)于函數(shù)f（x）=x**5，其定義域?yàn)椋?無(wú)窮大，+無(wú)窮大）?！邔?duì)定義域的每一個(gè)x，都有f（x）=x**5=（-x）**5=-x**5=-f（x），∴f（x）=x**5為奇函數(shù)。

????????（3）對(duì)于函數(shù)f（x）=x+1/x，其定義域?yàn)閧x|x≠0}?！邔?duì)定義域的每一個(gè)x，都有f（-x）=-x+（1/-x）=-（x+1/x）=-f（x），∴函數(shù)f（x）=x+1/x為奇函數(shù)。

????????（4）對(duì)于函數(shù)f（x）=1/x2，其定義域?yàn)閧x|x≠0}。∵對(duì)定義域的每一個(gè)x，都有f（-x）=1/（-x）2，∴函數(shù)f（x）=1/x2為偶函數(shù)。

函數(shù)的周期性：

????????設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈。如果存在一個(gè)整數(shù)l，使得對(duì)于任一x∈D有（x±l）∈D，且f（x+l）=f（x）恒成立，則稱f（x）為周期函數(shù)，l稱為x的周期。通常我們說(shuō)周期函數(shù)的周期是指最小正周期，周期函數(shù)的定義域D為至少一邊的無(wú)界區(qū)間，若D為有界的，則該函數(shù)不具周期性。

????????并非每個(gè)函數(shù)都有最小正周期，例如狄利克雷函數(shù)。

函數(shù)的連續(xù)性：

????????在數(shù)學(xué)中，連續(xù)是函數(shù)的一種屬性。直觀上來(lái)說(shuō)，連續(xù)的函數(shù)就是當(dāng)輸入值的變化足夠小的時(shí)候，輸出的變化也會(huì)隨之足夠小的函數(shù)。如果輸入值得某種微小的變化會(huì)產(chǎn)生輸出值得一個(gè)突然跳躍甚至無(wú)法定義，則這個(gè)函數(shù)被稱為是不連續(xù)的函數(shù)。

????????設(shè)f是一個(gè)從實(shí)數(shù)集的子集射到的函數(shù)。f在中的某個(gè)點(diǎn)c處是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)一下的兩個(gè)條件滿足：

????????f再點(diǎn)c上有定義。c是中的一個(gè)聚點(diǎn)，并且無(wú)論自變量x處中以什么方式接近c(diǎn)，f（x）的極限都存在且等于f（c）。我們成函數(shù)到處連續(xù)或處處連續(xù)，如果它在其他定義域中的任一點(diǎn)處都連續(xù)，我們說(shuō)一個(gè)函數(shù)在他的定義域的子集上是連續(xù)的，當(dāng)它在這個(gè)自己的每一個(gè)點(diǎn)處都連續(xù)。

????????不用極限的概念，也可以用下面所謂的方法來(lái)定義實(shí)值函數(shù)的連續(xù)性：

????????仍然考慮函數(shù)，假設(shè)c是f的定義域中的元素。函數(shù)f被稱為在c點(diǎn)連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立：

????????對(duì)于任意一個(gè)正實(shí)數(shù)，存在一個(gè)正實(shí)數(shù)δ＞0使得對(duì)于定義域的δ，只要x滿足c-δ＜x＜c-δ，就會(huì)成立。

函數(shù)的凹凸性：

????????設(shè)函數(shù)f（x）在I上連續(xù)，如果對(duì)于I上的兩點(diǎn)x1≠x2，恒有f[（x1+x2）/2]≤[f（x1）+f（x2）]/2，[f（x1+x2）/2]≤[f（x1）+f（x2）]/2，那么稱f（x）是區(qū)間I上的凸函數(shù)。如果恒有f[（x1+x2）/2]≥[f（x1）+f（x2）]，[f（x1+x2）/2≥[f（x1）+f（x2）]/2，那么稱f（x）是區(qū)間I上的凹函數(shù)。

實(shí)函數(shù)和虛函數(shù)：

?????????實(shí)函數(shù)，只定義域和值域均為實(shí)數(shù)域的函數(shù)。實(shí)函數(shù)的特性之一是可以在坐標(biāo)上畫出圖形。

????????虛函數(shù)的圖像是面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計(jì)中的一個(gè)重要概念。當(dāng)從父類中繼承的時(shí)候，虛函數(shù)和被繼承的函數(shù)具有同樣的簽名。但是在運(yùn)行過(guò)程中，運(yùn)行系統(tǒng)將根據(jù)對(duì)象的類型，自動(dòng)選擇適當(dāng)具體的形式實(shí)現(xiàn)運(yùn)行。虛函數(shù)是面向?qū)ο缶幊虒?shí)現(xiàn)多態(tài)的基本手段?。

反函數(shù)：

????????一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈A）的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中的x，y的關(guān)系，用y把x表示出，得到x=f（y）?。若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)x=f（y），x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么x=f（y）就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=f（y）? （y∈C）?叫做函數(shù)y=f（x）（x∈A）的反函數(shù)，記作x=f**-1（y）。反函數(shù)y=f**-1（x）的定義域、值域分別是y=f（x）的值域、定義域。

????????說(shuō)明：在函數(shù)x=f**-1（y）中，y是自變量，x是函數(shù)，但習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，用y表示函數(shù)，為此常常對(duì)調(diào)x=f**-1（y）中的字母x，y，把它改寫成y=f**（-1）（x），今后凡無(wú)特別說(shuō)明，函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)都可以采用這種經(jīng)過(guò)該寫的形式。

????????反函數(shù)也是函數(shù)，∵它符合函數(shù)的定義，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)y=f（x）來(lái)說(shuō)，不一定有反函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f**-1（x）,那么函數(shù)y=f**-1（x）的反函數(shù)就是y=f（x）,這就是說(shuō)，函數(shù)y=f（x）與y=f**-1（x）互為反函數(shù)。

????????從映射的定義可知，函數(shù)y=f（x）是定義域A到值域C的映射，而它的反函數(shù)y=f**-1（x）是集合C到集合A的映射，因此，函數(shù)y=f（x）的定義域正好是它的反函數(shù)y=f**-1（x）的值域，函數(shù)y=f（x）的值域正好是反函數(shù)y=f**-1（x）的定義域AC，值域CA。

反函數(shù)的應(yīng)用：

????????直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過(guò)求其函數(shù)的定義域來(lái)確定原函數(shù)的值域，求反函數(shù)的步驟是這樣的：

????????1、先求出原函數(shù)的值域，∵原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的值域。2、反解x，也就是用y來(lái)表示x。3、改寫，交換位置，也就是把x改寫成y，把y改成x。4、寫出反函數(shù)及其定義域。

????????就關(guān)系而言，一般是雙向的，函數(shù)也如此，設(shè)y=f（x）為已知的函數(shù)，若對(duì)每一個(gè)y∈Y，有唯一的x∈X，使得f（x）=y，這是一個(gè)由y找x的過(guò)程，即x成了y的函數(shù)，記為y=f**-1（x），例如y=sinx與y=arcsinx互為反函數(shù)。在同一坐標(biāo)系中，y=f（x）與y=f**-1（x）的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

隱函數(shù)：

????????若能有方程F（x，y）=0確定y為x的函數(shù)y=f（x），即F[x，f（x）]=0，就稱y是x的隱函數(shù)。注意：此處為方程F（x，y）=0并非函數(shù)。思考：隱函數(shù)是否為函數(shù)？答：不是，∵在其變化的過(guò)程中并不滿足“一對(duì)一”或“多對(duì)一”。

多元函數(shù)：

????????設(shè)點(diǎn)（x1，x2，……，xn）∈G；Rn，U；R1，若對(duì)每一點(diǎn)（x1，x2，……，xn）∈G，由某規(guī)則f為一個(gè)n元函數(shù)，G為定義域，U為值域。

一次函數(shù)的做法與圖形：

????????（1）列表（每個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的因變量）。（2）描點(diǎn)（一般取兩個(gè)點(diǎn)）。（3）連線，可以做出一次函數(shù)的圖像——一條直線（通常找函數(shù)圖像與x軸與y軸的交點(diǎn)分別是-k/b與0，0與b）

一次函數(shù)的性質(zhì)：

????????（1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b（k≠0）。

? ? ? ? （2）一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，y），正比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。

函數(shù)簡(jiǎn)說(shuō)：

????????函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

正比例函數(shù)和一次函數(shù)所在象限：

????????y=kx時(shí)（即b=0，y與x成正比例）：

????????當(dāng)k＞0時(shí)，直線過(guò)第一、三象限、原點(diǎn)，y隨x的增大而增大。

????????當(dāng)k＜0時(shí)，直線第過(guò)二、四象限、原點(diǎn)，y隨x的增大而減小。

????????y=kx+b時(shí)：

????????當(dāng)k＜0，b＞0時(shí)，直線過(guò)第一、二、三象限。

????????當(dāng)k＞0，b＜0時(shí)，直線過(guò)第一、三、四象限。

????????當(dāng)k＜0，b＜0時(shí)，直線過(guò)第一、二、四象限。

????????當(dāng)k＞0，b＜0時(shí)，直線過(guò)第二、三、四象限。

一次函數(shù)的特殊位置關(guān)系：

????????當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時(shí)，其中解析式K值（即一次項(xiàng)系數(shù)）相等。當(dāng)平面直角坐標(biāo)系兩直線互相垂直時(shí)，其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)。

反比例函數(shù)的概念：

????????形如y=k/x（x≠0）函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中k是常數(shù)，x是自變量，y是因變量。

反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)：

????????作反比例圖像采用“一點(diǎn)法”，一般取6個(gè)點(diǎn)（每條曲線各6個(gè)），連成兩條平滑的雙曲線，雙曲線不與坐標(biāo)軸相交。雙曲線關(guān)系關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中每條曲線的中點(diǎn)是與x軸和y軸坐標(biāo)垂直的點(diǎn)。

????????反比例函數(shù)是正比例函數(shù)的反函數(shù)，∵y=k/x（x≠0）可以改寫x=ky**（-1）。

反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系：

????? ?反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖像的關(guān)系是關(guān)于平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)對(duì)稱。奇偶性都是奇函數(shù)。經(jīng)過(guò)圖像的增減性相反：對(duì)于正比例函數(shù)中的y隨x的增大而增大，對(duì)應(yīng)的反比例函數(shù)中的y隨x的增的而減小；反之正比例函數(shù)中的y隨x的增大而減小，對(duì)應(yīng)的反比例函數(shù)中的y隨x的增大而增大。

二次函數(shù)：

????????一般地，自變量x和因變量y存在如下關(guān)系：y=ax2+bx+c（a≠0），a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，y是x的二次函數(shù)。a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a＞0時(shí)開(kāi)口向上，a＜0時(shí)開(kāi)口向下。|a|還決定開(kāi)口大小，|a|越大開(kāi)口越小，|a|越小開(kāi)口越大。二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常是二次三項(xiàng)式。

二次函數(shù)的三種表達(dá)式：

????????一般式：y=ax2+bx+c（a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，a≠0）

????????頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k[拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a），（4ac-b2）/4a]

????????交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2）[僅局限于x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）]，其中x1，x2=[-b±根號(hào)（b2-4ac）]/2a。注：在3種形式的互化中，有如下關(guān)系：h=-b/（2a）k=（4ac-b2）/（4a），x1，y=[-b±根號(hào)（b2-4ac）]/2a。

拋物線的性質(zhì)：

????????1、拋物線是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為x=-b/2a（頂點(diǎn)式x=h）。對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地。當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即x=0）。

????????2、一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左邊。當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右邊。

????????3、常數(shù)項(xiàng)c決定于拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0，c），c是縱截距。

????????4、拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)?！鳎?時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)?！?0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)（即坐標(biāo)系原點(diǎn)）。△＜0時(shí)，拋物線與x軸有0個(gè)交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x=△的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a）。

????????5、當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f（-b/2a）=4ac-b2/4a；在{x|x＜-b/2a}上是增函數(shù)，拋物線的開(kāi)口向上；函數(shù)的值域是{x|x≥4ac-b2/4a}相反不變。當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax2+c（a≠0）

二次函數(shù)與一元二次方程：

????????函數(shù)與x軸的交點(diǎn)分別是一元二次方程的每個(gè)實(shí)根。

????????二次函數(shù)y=ax2，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k，y=ax2+bx+c（各式中a≠0）形狀相同，只是位置不同。它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸如下：

????????對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)：（0，0）；（h，0）；（h，k）；[-b/2a，（4ac-b2）/4a]

????????對(duì)應(yīng)對(duì)稱軸：x=0；x=h；x=h；x=-b/2a

二次函數(shù)匯總：

????????二次函數(shù)只是很容易與其他知識(shí)綜合應(yīng)用，而形成較難的綜合題。因此，以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題，往往以大題形式出現(xiàn)。

復(fù)變函數(shù)：

????????復(fù)變函數(shù)是定義域?yàn)閺?fù)數(shù)集合的函數(shù)。

????????復(fù)變函數(shù)的概念起源于求方程的根，在二次、三次方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的情況。在很長(zhǎng)的時(shí)間里，人們對(duì)這類數(shù)不能理解，但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就顯現(xiàn)出來(lái)，復(fù)變函數(shù)的形式是y=a+bi。

????????以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)，而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復(fù)變函數(shù)論主要研究復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論。

冪函數(shù)：

????????冪函數(shù)的一般形式為y=x**a。

????????如果a取非0的有理數(shù)是比較容易理解的，不過(guò)初學(xué)者對(duì)于a取無(wú)理數(shù)，則不太理解，在我們的課程里，不要求掌握如何理解指數(shù)為無(wú)理數(shù)的問(wèn)題，∵這涉及實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的極為深刻的知識(shí)。因此我們只要接受它作為一個(gè)事實(shí)即可。

????????對(duì)于a取值非0為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：

????????首先我們知道如果a=p/q，p和q都是整數(shù)，則x×（p/q）=q次根號(hào)（x的p次方）如果q是奇數(shù)， 函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)定義域是（0，+無(wú)窮大）。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/（x×k），顯然x≠0，函數(shù)的定義域是（-無(wú)窮大，0）∪（0，+無(wú)窮大），因此可以看到x所收到的限制源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，二是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：

????????排除了0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x＞0，則a可以是任意實(shí)數(shù)。排除了為0這種可能，即對(duì)于x＜0和x＞0的所有實(shí)數(shù)，q不可能是偶數(shù)。

????????排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。

????????總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

????????如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?的所有實(shí)數(shù)。

????????如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這是函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不可能＜0，這時(shí)函數(shù)的定義域必須為＞0的所有實(shí)數(shù)；如果q同時(shí)為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椤?的所有實(shí)數(shù)。

????????在x＞0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x＜0時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有 a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域。

????????由于x＞0是對(duì)a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況?？梢钥吹剑?br>

????????（1）所有的圖形都經(jīng)過(guò)（1，1）這點(diǎn)。（2）當(dāng)a＞0時(shí)，冪函數(shù)是單調(diào)遞增的，a＜0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。（3）當(dāng)a＞1時(shí)，冪函數(shù)圖形向下凹；當(dāng)a＜1＞0時(shí)，冪函數(shù)圖形向上凸。（4）當(dāng)a＜0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。（5）a＞0，函數(shù)過(guò)（0，0）；a＜0，函數(shù)不過(guò)（0，0）點(diǎn)。（6）顯然冪函數(shù)無(wú)界。

復(fù)合函數(shù)的定義：

????????設(shè)y=f（米歐），米歐=磁通（x），當(dāng)x在米歐=磁通（x），的定義域D磁通中變化時(shí)，米歐=磁通（x）的值在y=f（米歐）的定義域Df內(nèi)發(fā)生變化，因此變量x與y之間通過(guò)變量米歐形成的一種函數(shù)關(guān)系，記為y=f（米歐）=f[磁通（x）]稱為復(fù)合函數(shù)，其中x稱為自變量，米歐為中間變量，y為因變量（即函數(shù)）。

復(fù)合函數(shù)生成條件：

????????任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，只有當(dāng)米歐=磁通（x）的值域Z磁通和y=f（米歐）的定義域Df不為空集時(shí)，二者才可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)的定義域：

????????若函數(shù)y=f（u）的定義域是B，函數(shù)u=g（x）的定義域是A，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]的定義域是D={x|x∈A，且g（x）∈B}

復(fù)合函數(shù)的周期性：

????????設(shè)y=f（x）的最小正周期為T1，米歐=磁通（x）的最小正周期為T2，則y=f（米歐）的最小正周期為T1×T2，任一周期可表示為k×T1×T2（k∈R＋）。

周期函數(shù)性質(zhì)：

????????（1）若T（T≠0）是f（x）的周期，則-T也是f（x）的周期。

????????（2）若T（T≠0）是f（x）的周期，則nT(n為任意非零正數(shù)）也是f（x）的周期。

????????（3）若T1和T2都是f（x）的周期，則T1±T2也是f（x）的周期。

????????（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的整數(shù)倍。

????????（5）T*是f（x）的最小正周期，且T1、T2分別是f（x）的兩個(gè)周期，則T1、T2∈Q

????????（6）若T1、T2是f（x）的兩個(gè)周期，且T*是無(wú)理數(shù)，則f（x）不存在最小正周期。

????????（7）周期函數(shù)f（x）的定義域M必定是雙方無(wú)界的集合。

復(fù)合函數(shù)的增減性：

????????依y=f（x），米歐=磁通（x）的增減性決定。即“增增得增，減減得增，增減得減”，可以簡(jiǎn)化為“同增異減”。

判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：

????????（1）求復(fù)合函數(shù)定義域；

????????（2）將復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見(jiàn)函數(shù)（一次、二次、冪、指、對(duì)數(shù)函數(shù)）；

????????（3）判斷每個(gè)常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性；

????????（4）將中間變量的取值范圍轉(zhuǎn)化為自變量的取值范圍；

????????（5）求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。

????????例如：討論函數(shù)y=0，8**（x2-4x+3）的單調(diào)性。

????????解：函數(shù)的定義域?yàn)镽。令u=x2-4x+3，y=0.8**u。指數(shù)函數(shù)，y=0.8**u在（-無(wú)窮大，﹢無(wú)窮大）上是增函數(shù)，u=x2-4x+3**（x2-4x+3），∴函數(shù)y=8**（x2-4x+3）在（-無(wú)窮大，2）上是增函數(shù)，在（2，+無(wú)窮大）上是減函數(shù)。

利用復(fù)合函數(shù)求參數(shù)取值范圍：

????????求參數(shù)的取值范圍是一類重要問(wèn)題，解題關(guān)鍵是建立關(guān)于這個(gè)參數(shù)的不等式組，必須將所有的已知條件加以轉(zhuǎn)化。

????????????????????????????????第三十八章：數(shù)學(xué)算法

算法概念：

????????在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決某一類問(wèn)題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成。

算法的特點(diǎn)：

????????（1）有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作后停止，不能是無(wú)限的。

????????（2）確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可。

????????（3）順序性與正確性：算法從初始步驟開(kāi)始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定后續(xù)步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能執(zhí)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無(wú)誤，才能完成問(wèn)題。

????????（4）不唯一性：求解某一個(gè)問(wèn)題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法。

????????（5）普遍性：很多具體的問(wèn)題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過(guò)有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決。

程序構(gòu)圖基本概念：

????????程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說(shuō)明來(lái)準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。

????????一個(gè)程序框圖包含以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線、程序框外必要文字說(shuō)明。

構(gòu)成程序框的圖形的圖形符號(hào)及其作用：

? 程序框（圖形）?????????名稱?????????功能

????圓矩形????????????????????起始框????????表示一個(gè)算法

????????????????????????????????????????????????????? 的起始和結(jié)束

????????????????????????????????????????????????????? ，是任何流程

????????????????????????????????????????????????????? ?圖中必不可少

????????????????????????????????????????????????????????的。

?平行四邊形?????????輸入、輸出框???? 表示一個(gè)算法

????????????????????????????????????????????????????? ? 輸入和輸出的?

????????????????????????????????????????????????????????信息，可用在

????????????????????????????????????????????????????????算法中任何需

????????????????????????????????????????????????????????要輸入、輸出

?????????????????????????????????????????????????????????的位置。

????矩形????????????????????處理框????????????賦值、計(jì)算，算

????????????????????????????????????????????????????? 法中處理數(shù)據(jù)需

????????????????????????????????????????????????????? 要的算式、公式

????????????????????????????????????????????????????? 等分別寫在不同

????????????????????????????????????????????????????? ?的用以處理數(shù)據(jù)

????????????????????????????????????????????????????? 的處理框內(nèi)。

????菱形????????????????????判斷框? ? ? ? ? ? 判斷某一????????

????????????????????????????????????????????????????? 條件是否

????????????????????????????????????????????????????? 成立，成

????????????????????????????????????????????????????? 立時(shí)在出口

?????????????????????????????????????????????????????處標(biāo)明“是”?

???????????????????????????????????????????????????? 或?“Y”；不

????????????????????????????????????????????????????? 成立時(shí)標(biāo)

????????????????????????????????????????????????? ? ?明“否”或

????????????????????????????????????????????????????? “N”。

畫程序框圖的規(guī)則：

????????學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的時(shí)候，要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：

????????1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號(hào)。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號(hào)只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)，框圖具有超過(guò)一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號(hào)。4、判斷框分為兩大類，一類判斷“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語(yǔ)言要非常簡(jiǎn)練清楚。

算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：

????????1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，語(yǔ)句與語(yǔ)句之間，框與框是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)以此執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的一種基本算法結(jié)構(gòu)。

????????順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來(lái)，按順序執(zhí)行算法步驟。例如A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。

????????2、條件結(jié)構(gòu)：條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過(guò)對(duì)條件的判斷，根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。

????????條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框和B框。無(wú)論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時(shí)執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行，一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷框。

????????3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開(kāi)始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)、直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)。

????????注意：循環(huán)結(jié)構(gòu)重要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來(lái)判斷。因此循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不許“死循環(huán)”。再循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。

輸入語(yǔ)句：

????? ? （1）輸入語(yǔ)句的一般格式：INPUT“提示內(nèi)容”；變量→圖形計(jì)算器格式→INPUT“提示內(nèi)容”；變量。（2）輸入語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法輸入信息的功能。（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運(yùn)行時(shí)其值是可以變化的量。（4）輸入語(yǔ)句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式。（5）提示內(nèi)容與變量之間用分號(hào)隔開(kāi)，若輸入多個(gè)變量，變量與變量之間用逗號(hào)隔開(kāi)。

輸出語(yǔ)句：

????????（1）輸出語(yǔ)句的一般形式：PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式→圖形計(jì)算器格式→Disp“提示內(nèi)容”，變量。（2）輸出語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能。（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達(dá)式是指程序需要輸出的數(shù)據(jù)。（4）輸出語(yǔ)句可以是輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及字符。

賦值語(yǔ)句：

????????（1）賦值語(yǔ)句的一般格式：變量=表達(dá)式→圖形計(jì)算器格式→表達(dá)式→變量。（2）賦值語(yǔ)句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量。（3）賦值語(yǔ)句中的“=”稱作賦值號(hào)，與數(shù)學(xué)中的等號(hào)的意義是不同的。賦值號(hào)的左右兩邊不能對(duì)換，它將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量。（4）賦值語(yǔ)句左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式，右邊的表達(dá)是可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式。（5）對(duì)于一個(gè)變量可以多次賦值。

????????注意：（1）賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如2=X是錯(cuò)誤的。（2）賦值號(hào)左右不能對(duì)換。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。（3）不能利用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數(shù)式的演算（如化簡(jiǎn)、因式分解、解方程等）。（4）賦值號(hào)“=”?與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同。

條件語(yǔ)句：

????????條件語(yǔ)句的格式有兩種：（1）IF——THEN——ELSE語(yǔ)句；（2）?IF——THEN? 語(yǔ)句。

IF——THEN——ELSE語(yǔ)句分析：

????????在IF——THEN——ELSE語(yǔ)句中，“條件”指的是判斷的條件?！罢Z(yǔ)句（1）”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；語(yǔ)句“（2）”表示不滿足條件是操作的內(nèi)容；END——IF表示條件語(yǔ)句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語(yǔ)句（1）；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語(yǔ)句（2）。

?IF——THEN? 語(yǔ)句注意事項(xiàng)：

????????“條件”表示判斷的條件；“語(yǔ)句”表示滿足時(shí)首先對(duì)END——IF表示條件語(yǔ)句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語(yǔ)句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語(yǔ)句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其他語(yǔ)句。

循環(huán)語(yǔ)句：

????????循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)的。對(duì)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計(jì)中也有當(dāng)型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語(yǔ)句結(jié)構(gòu)。即WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句。

????????當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到WHILE語(yǔ)句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后檢查上述條件，如果條件符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè)過(guò)程反復(fù)執(zhí)行，直到某一次條件不符合為止。這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語(yǔ)句后，接著執(zhí)行WEND之后的語(yǔ)句。因此，黨性循環(huán)有時(shí)也稱“前測(cè)試型”循環(huán)。

????????直到型循環(huán)又稱“后測(cè)試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語(yǔ)句時(shí)，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿足時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語(yǔ)句后執(zhí)行其他語(yǔ)句，是執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語(yǔ)句。

當(dāng)型循環(huán)和指導(dǎo)型循環(huán)的區(qū)別：

????????當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；在WHILE語(yǔ)句中，是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語(yǔ)句中，是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)。

????????????????????????????第三十九章：常用邏輯用語(yǔ)

邏輯用語(yǔ)講義：

????????常用邏輯用語(yǔ)是數(shù)理邏輯的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。什么是數(shù)理邏輯？數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)結(jié)合的一個(gè)學(xué)科，或者說(shuō)是有邏輯性的數(shù)學(xué)理論。

命題的概念：

????????命題的第一概念：在數(shù)學(xué)中以“如果……那么……”的形式的句子叫做命題。命題的第二概念：在數(shù)學(xué)中用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。但習(xí)慣地，我們都以第二概念給命題下定義。無(wú)論是對(duì)第幾個(gè)概念而言，都是其中判斷為真的語(yǔ)句叫真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫假命題。

????????例如：今天是誰(shuí)的生日?對(duì)不起，祝您下次走運(yùn)！這都不是命題，∵它們都不能判斷真假（不是陳述句）。再例如：x=1。xOy平面。這也都不是命題，∵它們雖然是陳述句，但是不能判斷真假。不過(guò)例如：籃球比賽中進(jìn)一個(gè)球最多得3分。跳水比賽中0分是失敗。這些都是命題，∵它們都是可以判斷真假陳述句。

????????由此可以得出這樣的結(jié)論：在所有的語(yǔ)句中，不是所有的陳述句都是命題，但所有的非陳述句都不是命題。

四種命題：

命題????????????表述形式

原命題? ? ? ? 若p，則q

逆命題????????若q，則p

否命題????????若非p，則非q

逆否命題?????若非q，則非p

四種命題的逆否關(guān)系：

????????原命題與逆命題互逆，否命題與逆否命題互逆，原命題與否命題互否，逆命題與逆否命題互否，原命題與逆否命題互為逆否，逆命題與否命題互為逆否。

四種命題的真假關(guān)系：

????????兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系。

充分條件與必要條件的相關(guān)概念：

????????如果p→q（p能推出q，q不能推出p），則p是q的充分不必要條件，簡(jiǎn)稱充分條件。

????????如果p←q（p不能推出q，q能推出p），則p是q的不充分必要條件，簡(jiǎn)稱必要條件。

????????如果p←→q（或記為p=q，p既能推出q，q又能推出p），則p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件。

????????如果p←×→q（或記為p≠q，p既不能推出q，q又不能推出p），則p是q的既不充分又不必要條件，簡(jiǎn)稱不充分不必要條件。

判斷充要條件的方法：

????????1、定義法：（1）p是q的充分不必要條件←→{p→q，p←×q}。（2）p是q的必要不充分條件←→{p→×q，p←q}。（3）p是q的充要條件←→{p←q，p→q}。（4）p是q的既不充分又不必要條件←→{p→×q，p←×q}。

????????2、集合法：設(shè)P={p}，Q={q}。（1）若P不是Q的真子集，Q是P的真子集，則p是q的充分不必要條件，q是p的不充分必要條件。（2）若P=Q（Q=P），則p是q的充要條件（q也是p的充要條件）。（3）若P不是Q的真子集且Q不是P的真子集，則p是q的既不充分又不必要條件

????????3、逆否命題法：（1）非p非q的充分不必要條件←→p是q的充分不必要條件。（2）非p非q的必要不充分條件←→p是q的必要不充分條件。（3）非p非q的充要條件←→p是q的充要條件。（4）非p非q的既充分又不必要條件←→p是q的既不充分又不必要條件。

簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、真值表和結(jié)論：

????????邏輯聯(lián)結(jié)詞中涉及到了復(fù)合命題。復(fù)合命題我們可以把它定義為：由兩個(gè)或兩個(gè)以上聯(lián)結(jié)起來(lái)的命題叫做復(fù)合命題。判斷復(fù)合命題的真假取決于每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假和邏輯聯(lián)結(jié)詞的名稱。

????????命題中的“且”“或”“非”叫做邏輯連接詞。用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)命題p和q，記作p^q，讀作“p且q”。用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)命題p和q，記作pVq，讀作“p或q” 對(duì)一個(gè)命題p全盤否定，就得到一個(gè)新的命題，讀作“非p”。

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真? ?假? ? ?真? ? ? ?假? ? ? ?假

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????????由此我們可以得出的結(jié)論是：當(dāng)兩個(gè)簡(jiǎn)單的命題構(gòu)成一個(gè)復(fù)合命題的時(shí)候，對(duì)于且命題，只有當(dāng)兩個(gè)簡(jiǎn)單命題都為真命題的時(shí)候，這個(gè)復(fù)合命題才為真命題，其余情況都是假命題，對(duì)于或命題，只有當(dāng)兩個(gè)簡(jiǎn)單命題都為假命題的時(shí)候?，這個(gè)復(fù)合命題才是假命題，其余情況都是真命題，對(duì)于非命題，簡(jiǎn)單命題的真假與復(fù)合命題的真假恰好相反。

全稱量詞與存在量詞：

?????????全部存在的量詞叫全稱量詞，部分存在的量詞叫存在量詞。???????

?????????常見(jiàn)的全稱量詞有：“任意一個(gè)”“一切”?“每一個(gè)”?“任給”?“所有的”?等。常見(jiàn)的存在量詞有：“至少有一個(gè)”?“有些”?“有一個(gè)”?“某個(gè)”?“有的”?等。

????????全稱量詞用符號(hào)用倒寫的A表示，存在量詞用倒寫的?E表示。

全稱命題與特稱命題：

????????含有全稱量詞的命題叫全稱命題：“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p（x）成立”? ，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為對(duì)任意x∈M，p（x），讀作“對(duì)任意x屬于M，有p（x）成立”? 。

????????含有特稱量詞的命題叫特稱命題：“存在M中的一個(gè)xo，使p（xo）成立”?可用符號(hào)簡(jiǎn)記為存在xo∈M，P（xo），讀作“存在M中的元素xo，使p（xo）成立”? 。

含有量詞命題的否定：

????????含有量詞命題的否定：全稱命題p：任意x∈M，p（x）? 的否定非p：存在x∈M，否定p（x）;全稱量詞的否定為特稱命題。

????????特稱命題p：存在x∈M，p（x）的否定非p：任意x∈M，p（x）否定。

????????其中p（x）P（X）是關(guān)于x的命題。

含有邏輯連接詞的否定：

????????“p?^q”的否定：“非pV非q”；“pVq”的否定：“非p^非q”。

“若p則q”的否定：

????????只否定結(jié)論。

特別提醒：

????????命題的“否定”與“否命題”是不同的概念，命題的否定：只否定結(jié)論；否命題：全否。對(duì)命題p的否定（即非p）是否命題p所作的判斷，而否命題是“若否p則否q”。

????????例題：命題p：關(guān)于x的不等式x2+2ax+4＞0對(duì)于一切x∈R恒成立；命題q：函數(shù)f（x）=logax在（0，﹢無(wú)窮大）上遞增。若pVq為真，p^q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

????????解答：命題p：關(guān)于x的不等式x2+2ax+4＞0對(duì)于一切x∈R恒成立；pT→△（2a）2-42＜0，即-2＜a＜2。命題q：函數(shù)f（x）=logax在（0，﹢無(wú)窮大）上遞增；qT→a＞1?！遬?Vq為真，而p^q為假，∴pq一真一假。p真q假時(shí)，pT→-2＜a＜2；qF→a≤1，∴-2＜x≤1。p假q真時(shí)，pF→a≤-2或a≥2；qF→a＞1，∴a≥2。

“且或非”與“交并補(bǔ)”：

????????邏輯連接詞“且或非”與集合的“交并補(bǔ)”之間有什么關(guān)系嗎？

????????先看一個(gè)具體的例子。

????????我們知道，由“2是偶數(shù)”與“2是素?cái)?shù)”都是真命題，可以得到“2是偶數(shù)且是素?cái)?shù)”是真命題。另一方面，由集合的“交”運(yùn)算可以知道：由2∈{偶數(shù)}，2∈{素?cái)?shù)}，可以得到2∈{偶數(shù)}∩{素?cái)?shù)}。如果把“真”對(duì)應(yīng)于“∈”，“且”對(duì)應(yīng)于“交”，那么，“2是偶數(shù)是真命題”可以對(duì)應(yīng)于“2∈{偶數(shù)}”，“2是素?cái)?shù)是真命題”可以對(duì)應(yīng)于“2∈{素?cái)?shù)}”，“2是偶數(shù)且是素?cái)?shù)是真命題”就可以對(duì)應(yīng)于“2∈{偶數(shù)}∩{素?cái)?shù)}”。

????????從上述例子得到啟發(fā)，我們可以在邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與集合的“交”運(yùn)算

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