? ? ? ? 在上一個命題中，阿基米德借助窮竭法論證了半圓柱體和它所包含的圓柱體平面斜截體之間的相等關系，把二者分置指定杠桿的兩段，將達到平衡狀態(tài)，這為求證圓柱體的平面斜截體的體積做好了第一步的鋪墊。但是，要想借助半圓柱體的體積來求此圓柱體的平面斜截體的體積，還差一個關鍵的因素沒有確定，那就是半圓柱體的重心位置沒有確定，或者說半圓的重心位置還沒有確定，這就阻礙了這個平衡關系向相等的數(shù)量關系的轉(zhuǎn)化。

? ? ? ??在本命題中，阿基米德依然借助杠桿原理，通過三角形與半圓之間的比例關系和平衡關系，求得圓柱體的平面斜截體的體積。在問題的解決過程中，阿基米德把立體圖形轉(zhuǎn)化為截面平行四邊形，再把平行四邊形截面轉(zhuǎn)化為截線段，最終，借助截線段之間的比例關系和杠桿平衡關系，求得半圓柱體和三棱柱體體積之間的比例關系。而上個命題中求得了半圓柱體和圓柱體的平面斜截體之間的比例關系，這里就可以借助三棱柱體積，以半圓柱體積為橋梁，求得圓柱體的平面斜截體的體積。

? ? ? ??除此之外，該命題還順便捎帶著解決了半圓的重心問題。方法是通過三角形的重心來幫助確定半圓的重心。

? ? ? ??本命題的論證過程中最精華的部分在于：讓圖中左側(cè)的等腰直角三角形放在原位置，它將與右側(cè)的半圓放在原位置時保持平衡。主要是因為兩條截線段在杠桿兩端處處保持平衡，把這些截線段疊加起來就組成了一個等腰直角三角形和一個半圓平面，再把這些平面疊加起來，就組成了三棱柱和半圓柱兩個立體圖形。而它們的成比例關系從線段一直保持到立體圖形之間的比例關系不變。這就是窮竭法的精妙之處。大家還是到正文里詳細研讀感受古人的智慧吧！

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