居然可以用三角形面積求拋物線弓形截面的面積，太不可思議了！

2022-01-19 00:08 作者:數(shù)行者 0人讀過(guò) | 我要投稿

海伯格（Johan Ludvig Heiberg）
丹麥歷史學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家

阿基米德的方法重寫(xiě)版手抄羊皮卷

這是對(duì)羊皮卷詳細(xì)介紹的網(wǎng)站：

http://archimedespalimpsest.org/about/

? ? ? ??當(dāng)一個(gè)人研究一件事物久了以后，就會(huì)圍繞它突發(fā)一些靈感，進(jìn)而產(chǎn)生創(chuàng)造的沖動(dòng)和可能。阿基米德也不例外，他在對(duì)杠桿的物理原理進(jìn)行了深入的研究后，居然用數(shù)學(xué)方法給出了表達(dá)，從而揭示了杠桿背后的數(shù)學(xué)原理，為力學(xué)的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)，你以為這就算結(jié)束了嗎？阿基米德并不這樣想，他在發(fā)現(xiàn)了杠桿原理背后的數(shù)學(xué)原理之后，并非只用它來(lái)解決物理問(wèn)題，他卻異想天開(kāi)的用物理反哺數(shù)學(xué)，進(jìn)而創(chuàng)造了用杠桿的力學(xué)分析法來(lái)解決數(shù)學(xué)圖形的面積和體積計(jì)算問(wèn)題。他居然成功地用這種方法解決了很多不規(guī)則幾何圖形的面積和體積問(wèn)題，不能不說(shuō)天才就是天才。

? ? ? ? 阿基米德在本書(shū)中第一個(gè)命題就給出了“拋物線弓形面積”與它的“內(nèi)接三角形面積”之間的數(shù)量關(guān)系。當(dāng)然這個(gè)三角形不是隨隨便便的三角形，這個(gè)命題用現(xiàn)代的語(yǔ)言可以表述為：拋物線的切線與過(guò)其中一個(gè)切點(diǎn)的割線（弦）之間的拋物線弓形的面積是它的特殊內(nèi)接三角形面積的三分之四倍，這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，割線（弦）與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)和過(guò)割線（弦）中點(diǎn)平行于拋物線軸線的直線與拋物線的交點(diǎn)。

? ? ? ? 在對(duì)本命題的考據(jù)中，既有收獲也有遺憾，收獲的是對(duì)這種獨(dú)特?cái)?shù)學(xué)方法的具體認(rèn)知，遺憾的是，阿基米德在引用文獻(xiàn)時(shí)提到文獻(xiàn)有的已經(jīng)失傳，有的引用錯(cuò)誤。比如：在本命題的第一個(gè)相等關(guān)系EB=BD出現(xiàn)時(shí)，阿基米德并沒(méi)有去說(shuō)明它們?yōu)槭裁聪嗟?，而是給出了注釋說(shuō)阿里斯泰庫(kù)斯（Aristacus）和歐幾里得的關(guān)于錐體的著作中已經(jīng)給出了證明，但是遺憾的是這兩個(gè)人的關(guān)于圓錐曲線的著作已經(jīng)遺失在歷史中，無(wú)從考證了。我搜索了國(guó)內(nèi)的網(wǎng)站，沒(méi)有什么發(fā)現(xiàn)，又讓任國(guó)清老師在加拿大搜索了國(guó)外的網(wǎng)站，也沒(méi)有收獲。在遺憾的同時(shí)，我期待著有相關(guān)信息的朋友能提供資源，不勝感激之至！幸好還有海伯格的注釋?zhuān)⑨屩姓f(shuō)在阿基米德的著作《論劈錐曲面體與旋轉(zhuǎn)橢圓體》中的命題3和《求拋物線弓形面積》中的命題3中有相關(guān)結(jié)論。但我參考了陜西師范大學(xué)版的《阿基米德全集》中的對(duì)應(yīng)命題，發(fā)現(xiàn)后者引用有誤，應(yīng)該是《求拋物線弓形面積》中的命題2更準(zhǔn)確些。遺憾的是，在這里阿基米德仍然沒(méi)有展開(kāi)證明，又把證明推給了前人。幸虧陜師大版又給出了一個(gè)證明的出處，那就是1906年的《數(shù)學(xué)文獻(xiàn)》（Bibliotheca Mathematica Ⅶ3,1906-7，pp.321-363）。下面，我就把這些引用到的命題的對(duì)應(yīng)著作的圖片展示出來(lái)，供大家在研讀正文時(shí)，回過(guò)頭來(lái)參考。當(dāng)然，我只能把有限的引用貼出來(lái)，但想要具體搞明白其中的細(xì)節(jié)，還要大家到對(duì)應(yīng)著作中深入學(xué)習(xí)，見(jiàn)諒！