深感昨天篇幅過長(zhǎng)，于是從今天開始，內(nèi)容精簡(jiǎn)。因?yàn)槭蔷x，會(huì)涉及一些知識(shí)點(diǎn)或者人物軼事的補(bǔ)充，所以這個(gè)系列的進(jìn)度會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)慢于閱讀速度，不過我會(huì)堅(jiān)持到說完三本書為止！當(dāng)然，老碧在此期間不會(huì)懈怠對(duì)于數(shù)學(xué)的持續(xù)充血學(xué)習(xí)的，平心而論，當(dāng)開始動(dòng)筆寫文章的時(shí)候，才覺得學(xué)習(xí)的樂趣更大了。而且因著日更，確實(shí)逼著我把讀書走馬觀花，囫圇吞棗的毛病改掉許多，所以，我對(duì)堅(jiān)持50天之后的成果十分樂觀。

在開始正式內(nèi)容之前，我們先回顧一下昨天說過的內(nèi)容：

（這和自學(xué)習(xí)慣息息相關(guān)，如果是自學(xué)，一定要足夠重視及時(shí)復(fù)習(xí)的重要性，如果是上課，老師會(huì)在課堂偶爾的互動(dòng)，或者內(nèi)容的重提中，帶著你一起復(fù)習(xí)，但是自學(xué)最容易被忽略的便是復(fù)習(xí)這一個(gè)真正重要的環(huán)節(jié)。

要明白，教材的展開往往邏輯上是環(huán)環(huán)相扣的。遺失了一環(huán)，往往后面就很容易被卡住。亦或者，與老碧一樣，偶爾遺忘的地方也不好好復(fù)習(xí)，靠腦補(bǔ)。結(jié)果跟人講題的時(shí)候，被指定義說錯(cuò)了，可就尷尬咯。不過，老碧可是不要面子的哦!）

昨天說到，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)根號(hào)2不是有理數(shù)，于是知道除了有理數(shù)，原來數(shù)軸上還有別的類型的書，因此引出了要擴(kuò)充數(shù)系的問題，而同時(shí)我們也指出，數(shù)系擴(kuò)充，需要滿足兩個(gè)條件：

1. 有理數(shù)有的性質(zhì)它都有；

2. 除了它和有理數(shù)沒有其他類型的數(shù)了。

為了說明第一個(gè)條件，我們先要說清楚有理數(shù)天生具有的性質(zhì)，于是引出了有理數(shù)的“大于和小于”，“加法和減法”，“乘法和除法”，“阿基米德公理”四節(jié)，詳細(xì)介紹了有理數(shù)集上面所具有的公理。

今天我們就來詳細(xì)聊聊第6小節(jié)。

要想說清楚這一小節(jié)，則不得不引入一個(gè)邏輯學(xué)上的概念，叫做，“排中律”。對(duì)應(yīng)到數(shù)理邏輯里面來說，就是，事件“A”與事件“非A”，必有且僅有一件是成立的。對(duì)應(yīng)到概率論里則是，對(duì)立事件，必有且僅有一件是成立的。

比如說，“老碧是人”和“老碧不是人”，總是一真一假，一個(gè)成立，另一個(gè)肯定就不成立了。

好好好，你們說的對(duì)，“老碧不是人”。

“排中律”在數(shù)學(xué)上是被普遍接受的。而有理數(shù)擴(kuò)充之后實(shí)現(xiàn)數(shù)的完備性，這個(gè)“新數(shù)”的定義方式，無一例外用到了“排中律”。

一般實(shí)數(shù)完備性這一節(jié)，“新數(shù)”的引入方式常規(guī)有兩種，實(shí)際上遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止。

國內(nèi)教材普遍選取的引入方式是用無限不循環(huán)小數(shù)，《微積分學(xué)教程》則用了一種相對(duì)而言比較古老的方式——戴德金分割。

6無理數(shù)的導(dǎo)入：戴德金分割，

為了定義無理數(shù)，書中定義了有理數(shù)的分劃：

這個(gè)定義等于是說，攔腰切一刀，把有理數(shù)分為兩段。兩段沒有公共元素，然而兩段拼在一起就是有理數(shù)集，與此同時(shí)，從兩段各任取一個(gè)數(shù)，其中一段取出的數(shù)永遠(yuǎn)比另一段取的數(shù)小。數(shù)大的那一組叫上組，數(shù)小的那一組叫下組。也因此，那一刀位置就有講究了。書中列舉了，三種可能性。

可能性a：刀痕歸上組。

于是，上組有最小數(shù)。下組無最大數(shù)。

可能性b：刀痕歸下組。

于是。下組有最大數(shù)。上組無最小數(shù)。

可能性c：一刀切到了根號(hào)2.

這個(gè)證明里面，可能對(duì)剛剛上大一的小朋友來說，會(huì)有點(diǎn)懵逼的，應(yīng)該是畫紅線這一步。

首先這道題的思路很簡(jiǎn)單，這道題是為了證明，如此得到的分劃，上組無最小有理數(shù)，下組無最大有理數(shù)。

（這里補(bǔ)充一點(diǎn)，有一類最常見的證明題，叫做存在性命題，就是證明一個(gè)條件或者數(shù)字的存在性。而存在性命題最常用的思路無外乎兩種：

第一種——定性式證明，常用方法，反證法。

在這種證明思路中，我們只知道這個(gè)事物是存在的或者成立的。但是，這個(gè)東西具體是什么，我們不得而知。數(shù)列極限那一章的多數(shù)習(xí)題都是這個(gè)類型。

第二種——定量式證明，常用方法，構(gòu)造法。

這種證明思路，就相對(duì)而言比較精細(xì)了，上來就是一系列操作，然后把那個(gè)你要證明存在的東西，按照那個(gè)操作先“制造”出來，再根據(jù)題目條件驗(yàn)證，所以一共分為，構(gòu)造+驗(yàn)證兩步。

這道證明題中，兩種方法都有涉及。）

證明思路：要證下組沒有最大數(shù)，即，取下組任意一個(gè)數(shù)a，在a與根號(hào)2之間還有一個(gè)其他數(shù)，我們要做的就是構(gòu)造出來這個(gè)數(shù)，而這道題巧妙地利用阿基米德公理，以及,如果自然數(shù)n足夠大，那么1/n可以要多小有多小，這一點(diǎn)常識(shí)，構(gòu)造了一個(gè)不等式方程。

平方是因?yàn)槲覀冞€沒有定義根號(hào)2這種數(shù)，所以我們不知道這種數(shù)滿足哪些運(yùn)算律。但是，平方之后，根號(hào)2就轉(zhuǎn)化為了整數(shù)2，有理數(shù)集的不等式運(yùn)算律我們是清楚的。

至于畫紅線的那一步，被稱為，放縮法。

我們知道對(duì)自然數(shù)n>1，n^2>n，所以1/n>1/n^2，于是，我們把不等號(hào)左邊的1/n^2換成了更大的數(shù)1/n。這個(gè)更嚴(yán)格的不等式如果成立，那么先前的不等式便一定會(huì)成立了。

于是對(duì)任意下組數(shù)a，我們構(gòu)造了a+1/n，當(dāng)n足夠大的時(shí)候，這個(gè)數(shù)位于a與根號(hào)2之間。故而下組無最大有理數(shù)。同理，上組無最小有理數(shù)。

因此，分劃分為三種類型。

一二又可合并為一種，它們都存在一個(gè)有最值的組。

三自成一種，上組和下組不存在最值。

所以由排中律，這兩種情形構(gòu)成了所有情況。

又因?yàn)?，任意一個(gè)數(shù)確定一個(gè)分劃。所以，由第三型的有理數(shù)分劃，我們定義了一個(gè)新的數(shù)——這個(gè)數(shù)確定的有理數(shù)分劃，上組沒有最小值，下組沒有最大值。這就是傳說中的無理數(shù)。

這種定義是不是很奇妙？

老碧第一次看到這里的時(shí)候，一臉懵逼。然后卡了有小半年才看懂。最初看懂還是通過另外一本書——日本傳奇數(shù)學(xué)家小平邦彥的《一元微積分》——才理解的，在那本書里，我才真正明白，戴德金分割是為了啥。其實(shí)就是一種全新的分類方式，邏輯上來說，無理數(shù)的定義方式，就是簡(jiǎn)單的不是有理數(shù)的數(shù)。

但是因?yàn)橐茝V驗(yàn)證無理數(shù)的所有性質(zhì)，于是便有了戴德金分割或者無限不循環(huán)小數(shù)等等定義。這種在數(shù)學(xué)是具有操作性的定義才是真正有意義的。使感性認(rèn)知跨步到了理性認(rèn)知的程度。

今天先說到這里，我們晚些時(shí)候繼續(xù)！