背景介紹

Bakker, E., Nyborg, L., & Pacejka, H. (1987). Tyre modelling for use in vehicle dynamics studies. SAE Paper No. 870421.
根據(jù)Pacejka等在1987年發(fā)表的論文介紹魔術(shù)公式形成的過程。第一部分，純轉(zhuǎn)彎和純制動下，輪胎的側(cè)向力、回正力矩和縱向力。

根據(jù)論文中的描述以及后來出版的Tire and Vehicle Dynamics，當(dāng)時和沃爾沃合作研究的測試設(shè)備應(yīng)該是圖1~2這樣。

研究人員用這套設(shè)備完成了純轉(zhuǎn)彎（沒有驅(qū)動和制動），純制動（轉(zhuǎn)向盤零位），以及制動加轉(zhuǎn)彎的聯(lián)合工況三種測試。

這一部分先介紹純轉(zhuǎn)彎和純制動工況下，如何想出采用魔術(shù)公式這種形式進行擬合Fy，Mz和Fx的。

首先得到處理后的實驗數(shù)據(jù)（修正輪胎圓錐效應(yīng)、滾動阻力等的影響），得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的數(shù)據(jù)

本文采用的是基于數(shù)據(jù)的模型，不考慮機理，因此接下來就是考慮曲線擬合。常見的擬合方式是級數(shù)擬合，如傅里葉級數(shù)和多項式級數(shù)。

但這些級數(shù)是通用的，有通用的優(yōu)勢，必然就有通用的劣勢：1要得到擬合良好的曲線需要很多項，也就有很多系數(shù)；2越是高階的級數(shù)越容易引起局部振蕩，而要想擬合效果好，引入更高階的項是必然的；3泛化能力差，容易局部過擬合，擬合范圍外無法正常預(yù)測；4系數(shù)難以用物理概念解釋。

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)的特點（先是近似線性段，之后是飽和略有下降段），首先想到了采用正弦曲線來描述。

近似線性段：Y'=DBcos(Bx),這里關(guān)心DB，也就是X=0處的曲線斜率，也就是輪胎的變形剛度，這一段很重要，D*B是大部分時間工作在線性區(qū)的剛度系數(shù)；

飽和段：D限制幅值，也就是最大側(cè)向力、回正力矩和縱向力。

同時B可以拉長函數(shù)。就得到了最初步的曲線

發(fā)現(xiàn)這些曲線是很粗糙的，F(xiàn)y和Mz還能夠勉強接受，但是由于Fx的剛度太大導(dǎo)致B沒有辦法減小而拉長曲線。

所以，下一步的工作就是繼續(xù)優(yōu)化BD和B，不能讓B及決定線性段剛度又決定曲線飽和段。拉長曲線需要再加一個系數(shù)。這里可供選擇的方案有很多，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)里常見的激發(fā)函數(shù)其實都可以，我估計只是由于開始用三角函數(shù)了，Pacejka就決定一條道走到黑全用三角函數(shù)了。

用反正切來讓sin的自變量先快速變化后緩慢變化，形成線性段+飽和段的曲線形狀。

線性段：這里注意Y'=BCD*(cos(Catan(BX)))/(1+B^2X^2),此時BCD是零點處的剛度值

飽和段：還是D限制幅值

BX變成atan(BX)，C可以控制這個變化的幅度，限制最大為pi/2*C,最終決定曲線的形狀。

其實到這里，曲線形狀已經(jīng)足夠接近真實數(shù)據(jù)了，所以有很多用這種簡化魔術(shù)公式的來方便求解。

Pacejka精益求精，繼續(xù)加了一個曲線形狀系數(shù)，來調(diào)整線性段到飽和段過渡的局部曲線形狀，使擬合效果更好。

最后，考慮輪胎角度效應(yīng)、圓錐度和滾動阻力。整個圖像會有上下左右的平移

最后，我們看一下各公式下的曲線形狀對比

附錄 論文中的數(shù)據(jù)