(本文在 B 站上，上傳了一個小的講解視頻? https://www.bilibili.com/video/BV1914y1a73V/）

本篇小文嘗試用簡單的語言，把波束賦形的數(shù)學原理說一下，力求淺顯易懂，同時給出一個簡單的 python 代碼來演示這些數(shù)學公式。

本篇文章參考了 [MIMO通信的角域表示 - 知乎 (zhihu.com)](https://zhuanlan.zhihu.com/p/369340833)，在此特別感謝。本文是對這篇文章中一個很小的一個部分的重寫，使用更加詳細的語言來把我的理解說一下。

我們要探討的是波束如何成形的，也就是 “指哪兒打哪兒”，能讓無線電波按照指定的方向打過去。

天線陣列，我們討論的是 ULA（Uniform Linear Array，均勻線性陣列），如下圖所示：

是水平均勻排列的一組天線，天線之間的間隔距離記為? d .

若不計信號的衰減，我們發(fā)射的數(shù)據(jù)是 s ( 一個復數(shù) )，而且接收端與發(fā)射端距離足夠遠，發(fā)射端各個天線到接收端的單個天線，之間的連線，從發(fā)射端天線附近看起來就是平行的（實際上不是平行的，是接近平行，是為了計算的一種簡化，如果不簡化，計算就過于復雜）。

假如天線陣列連線 與 接收端連線構成的夾角為

那么接收端接收的 來自不同發(fā)射天線的無線信號，就有不同的時間延遲，進而有不同的相位旋轉.

我們以最邊上的一個發(fā)射天線為參照，我們選擇直線距離最短的那個天線做參考，則第一根發(fā)射天線的發(fā)射無線電波到達接收天線，則緊挨著的第二根發(fā)射天線的無線電波，要比第一根發(fā)射天線發(fā)射的無線電波，多走的距離為

則第 k 根天線發(fā)射的無線電波比第一根天線發(fā)射的無線電波，多走的距離為

則多走的時間為:? 多走的距離除以光速 c

我們討論單頻的電磁波，假設頻率為 f，則由于多走的時間，導致的相位偏差為：


其中：

為波長。

我們把

則 N 個天線，對應的相位偏差分別為：

我們是在頻域分析的，所以，相當于發(fā)射的信號，雖然從每個發(fā)射天線出來的信號都是一樣的，但是接收端接收到的信號，則分別被乘以：

則接收到的信號為：

注意：上式除以了 N，是能量歸一化，不影響分析。

則接收到的信號，相對于發(fā)射的信號，其變化為：

若僅考慮能量增益，則：

經過一些推導（可參考后面的附錄），上式整理為：

把


代入后，我們可以計算不同的角度對應不同的增益， 當 為 0 時，取最大值，即

時取最大。

用 python 程序，在極坐標上畫出來的增益曲線如下：

此程序中假設??


第一個圖：8個天線排一排

16 個天線排一排

可以看出來，天線多，則越集中。

附錄：

若只考慮幅度，則上面推導中最后的兩個分式中，第一個分式的模是 1，可以忽略。