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圖片來源｜網(wǎng)絡(luò)

1．「墊子」理論和「汽車山羊」問題

2．概率的本質(zhì)就是「擲硬幣」「擲骰子」

封面圖片來源：https://www.pexels.com/zh-cn/photo/669622/

「概率題」一直以來都是「數(shù)量關(guān)系」板塊的「大殺器」，基本上此類題一出現(xiàn)，正確率就奔著40%往下走，甚至有些條件極為簡單的概率題，大部分考生都會(huì)做錯(cuò)，所以想要沖擊高分，理解「概率」的本質(zhì)非常重要。

本系列的目的在于幫助大家理解「概率」，通過種種技巧來解析公考中的「概率類」難題。

一、「墊子」理論和「汽車山羊」問題

在深入認(rèn)識(shí)「概率」之前，先看兩個(gè)問題。

問題1：「墊子」理論

圖片來源：DNF主播「旭旭寶寶」直播間截圖

某游戲的武器有「強(qiáng)化」功能，「強(qiáng)化等級(jí)」越高，失敗概率越大。假設(shè)武器從「+13」強(qiáng)化到「+14」的成功率是10%。

一游戲主播首先將10把「+13」的垃圾武器」（俗稱「墊子」）強(qiáng)化失敗，那么他接下來強(qiáng)化這把「+13」的好武器時(shí)，成功率是10%，還是比10%要高？

問題2：「汽車山羊」問題

一個(gè)節(jié)目有三扇關(guān)閉了的門，其中一扇門后面為汽車，另外兩扇門后面則各有一只山羊。當(dāng)參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時(shí)候，節(jié)目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊。

此時(shí)參賽者如果換另一扇仍然關(guān)上的門，是否會(huì)增加贏得汽車的機(jī)率？

答案分別為：

1．10%
2．會(huì)，從1/3增加到2/3。

之所以用這兩道題作為本系列的開篇，其原因是「墊子」理論和「汽車山羊」問題反映了「概率題很難」的本質(zhì)，那就是「反直覺」。

理解了這一點(diǎn)之后，在做「概率題」時(shí)就能明白「理性」比「感覺」重要的多，甚至可以說大部分正確率較低的「概率題」，都帶有「反直覺」要素。

二、概率的本質(zhì)就是「擲硬幣」「擲骰子」

很多小伙伴一想到「概率」就頭大，什么「條件概率」「獨(dú)立事件」「互斥性」等名詞以及種種復(fù)雜的公式，但其實(shí)在公考層面上完全不用考慮那么多，所有公考的「概率題」其本質(zhì)上就是一句話：

擲硬幣，正反面概率都是1/2

或者：

擲骰子，1~6點(diǎn)的概率都是1/6

所有的概率題，本質(zhì)上都是「擲硬幣」或「擲骰子」，無非是擲的花樣比較多，擲的過程比較復(fù)雜罷了。

在實(shí)際的解題過程中，我們可以把看似復(fù)雜的概率簡化成「擲硬幣」「擲骰子」，用「擲幾次，必然得到XX結(jié)果」來建立一個(gè)簡單的模型，比如「擲硬幣2次，必然1次正面1次反面」或「擲骰子6次，必然1~6點(diǎn)各出現(xiàn)1次」。

回到上面兩道題。

問題1：

只要「強(qiáng)化成功」的概率是10%，無論前10次強(qiáng)化是什么效果，全部成功也好，全部失敗也罷，第11次強(qiáng)化的成功率都是10%。

有小伙伴可能就說了，理論上來說，我強(qiáng)化10次武器應(yīng)該是9次失敗1次成功，現(xiàn)在連續(xù)10次失敗了，下一次成功的概率應(yīng)當(dāng)高一些呀？

——這種想法很樸素，看上去也很現(xiàn)實(shí)，但是「概率」就是這樣，正確的結(jié)果往往是「反直覺」的。

只要游戲公司沒有暗改成功率或者使用「偽隨機(jī)」策略，那第11次的強(qiáng)化成功率和前10次一樣，一定都是10%。

那么，如何用最直觀的方法解釋「墊子理論不成立」呢？很簡單，我們建立一個(gè)最簡單的模型即可。

把「10%的強(qiáng)化成功率」簡化成「一次強(qiáng)化10把，必然是1把成功9把失敗」，那么結(jié)果就是：

同時(shí)打包強(qiáng)化10把武器，1把成功，9把失敗，但是我不知道會(huì)成功哪一把。

所以這里就很好理解了。

如果你「1次強(qiáng)化1把武器」，那么前面的強(qiáng)化結(jié)果顯然對(duì)后面沒什么影響，所有的強(qiáng)化過程都是相互獨(dú)立的，所以成功概率為10%。

如果你「1次強(qiáng)化10把武器」，可以保證有1把成功，但你不知道是哪一把。由于好武器只有1把，而總共有10把武器，「強(qiáng)化成功」這個(gè)事件落到「好武器」的概率還是10%。

因此，只要概率固定，那無論用「墊子」還是用什么其他「玄學(xué)」，結(jié)果都是固定的。

那為什么游戲主播都喜歡玩各種「玄學(xué)」呢？除了強(qiáng)化武器的「墊子」，還有在特定地點(diǎn)抽游戲角色，口中念念有詞來預(yù)測下一條龍的屬性……很簡單，那當(dāng)然就是「節(jié)目效果」啦！

主播需要觀眾人氣，觀眾需要看的開心，「節(jié)目效果」好的主播才更容易火，所以對(duì)于「玄學(xué)」，大家看個(gè)樂子就行。

問題2：

很多小伙伴都在最初接觸這道題時(shí)產(chǎn)生疑惑，因?yàn)樽约翰恢雷畛踹x的是不是汽車，為什么換個(gè)門后，選中汽車的概率就那么高？

——其實(shí)，秘密就在于「換門」這個(gè)動(dòng)作，把問題的本質(zhì)改變了。

一開始參賽者在「2羊1車」中隨機(jī)選一個(gè)，隨機(jī)選到車的概率當(dāng)然是1/3。我們可以理解為「選擇3次，2次選到羊，1次選到車」。

而「換門」前主持人的提示，實(shí)際上是一種人為干預(yù)概率的事情，因?yàn)橹鞒秩艘欢ㄖ榔渌?個(gè)門的后面是什么。

所以我們最簡單的方法，就是簡化模型，把所有的可能都列出來，然后用「選到汽車」的次數(shù)除以所有情況的總次數(shù)即可。

我們可以建立一個(gè)「汽車、羊1、羊2」的模型，那么「選門→主持人開門→換門」的所有情況為：

選汽車，開門必定為羊，換門為羊（結(jié)果：羊）
選羊1，開門必定為羊2，換門汽車（結(jié)果：汽車）
選羊2，開門必定為羊1，換門汽車（結(jié)果：汽車）

通過列出所有可能后，我們不難發(fā)現(xiàn)，無論最初選了什么，結(jié)果都是鎖死的，都只有一種可能（選汽車的話，主持人開門羊1和羊2沒區(qū)別），即：

選了汽車，換門結(jié)果一定為羊
選了羊，換門結(jié)果一定為汽車

由于選擇「不換門」則「3次中有2次選到羊，1次選到車」，而「換門」則結(jié)果恰恰相反，因此「換門選到汽車」的概率就是2÷3=2/3，「換門」結(jié)果對(duì)參賽者有利。

這個(gè)問題的「反直覺」之處就在于「節(jié)目主持人開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一只山羊」這句話，看似是主持人「二選一」，但實(shí)際上在參賽者選擇后結(jié)果已鎖定，主持人沒得選，所以「換門」是正確的做法。

總結(jié)：

「墊子」理論和「汽車山羊」問題是和「概率」有關(guān)的兩個(gè)經(jīng)典話題。可以看出，哪怕是很簡單的環(huán)境，「概率」也往往顯得特別反直覺，所以在行測考場上才會(huì)有這么低的正確率。

作為考生，我們一定要理解這種「反直覺」的特點(diǎn)，學(xué)會(huì)用「擲硬幣」「擲骰子」的方法建立簡單模型，從而以不變應(yīng)萬變，解決此類難題。