A-0-3積分與應(yīng)用（2/2）

2023-08-27 14:34 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過 | 我要投稿

0.3.5 常用積分方法

之前的物理復(fù)賽題，很多題在用到積分時，都會告訴我們對應(yīng)的積分公式。但是有的時候我們選的方法和出題人的思路不同，此時用到的積分公式就不同，這就要求我們掌握一定的推導(dǎo)積分公式的能力。

基本性質(zhì)

$%5Cint%5Bf(x)%2Bg(x)%5Ddx%3D%5Cint%20f(x)dx%2B%5Cint%20g(x)dx$

$%5Cint%20kf(x)dx%3Dk%5Cint%20f(x)dx%EF%BC%8Ck%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0$

換元法

就是將被積變量進行換元，我們舉例說明此方法：

求 $%5Cint%5Cdfrac%7B1%7D%7B1-2x%7Ddx$

令 $u%3D1-2x$ ，由微商的定義， $dy%3Df'(x)dx$ ，故

$du%3D-2dx%2Cdx%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Ddu$

$%5Cint%5Cdfrac%7B1%7D%7B1-2x%7Ddx%3D%5Cint%5Cdfrac%7B1%7D%7Bu%7D(-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7Ddu)%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%5Cdfrac%7B1%7D%7Bu%7Ddu%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Cln%7Cu%7C%2BC_1)$

代回 $u$ 可得

$-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cln%7C1-2x%7C%2BC$

此即原函數(shù)。需要說明的是 $-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D$ 乘以常數(shù)依然是常數(shù)。

以上換元法可以解決我們能接觸到的大部分積分，還有一些特殊的被積式，我們可以通過“湊微分”的方法，直接換元：

求 $%5Cint%20%5Csin%5E3xdx$

已知

$%5Csin%20xdx%3Dd(-%5Ccos%20x)%3D-d(%5Ccos%20x)$

則

$%5Cint%20%5Csin%5E3xdx%3D%5Cint%5Csin%5E2x%5B-d(%5Ccos%20x)%5D%3D-%5Cint(1-%5Ccos%5E2x)d(%5Ccos%20x)$

$%3D-%5Cint1%5Ccdot%20d(%5Ccos%20x)%2B%5Cint%5Ccos%5E2xd(%5Ccos%20x)$

$%3D-%5Ccos%20x%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccos%5E3x%2BC$

分部積分法

由微分以及導(dǎo)數(shù)定義可知，若 $u$ , $v$ 是關(guān)于 $x$ 的函數(shù)，

則有

$%5Cdfrac%7Bd(uv)%7D%7Bdx%7D%3Du%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D%2Bv%5Cdfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D$

即

$d(uv)%3Dudv%2Bvdu$

兩邊同時積分得

$%5Cint%20d(uv)%3D%5Cint%20udv%2B%5Cint%20vdu$

其中 $%5Cint%20d(uv)%3Duv$ ，故有

$%5Cint%20udv%3Duv-%5Cint%20vdu$

此即分部積分公式。我們同樣舉例說明其用法：

求 $%5Cint%20xe%5Exdx$

已知 $e%5Exdx%3Dd(e%5Ex)$ ，利用分部積分公式得

$%5Cint%20xe%5Exdx%3D%5Cint%20xd(e%5Ex)%3Dxe%5Ex-%5Cint%20e%5Exdx$

$%3D(x-1)e%5Ex%2BC$

由以上例子可以發(fā)現(xiàn)，分部積分的精髓是把不容易求得的 $%5Cint%20xd(e%5Ex)$ 轉(zhuǎn)化成了容易求得的 $%5Cint%20e%5Exdx$ .

有了以上積分公式和方法，我們就可以處理絕大部分遇到的積分了。還有一類有理式的積分，技巧性更高一些，我們遇到了再做討論。

0.3.6 定積分的應(yīng)用

定積分在物理上的應(yīng)用不勝枚舉，比如變加速運動，變力做功，等等。在求解這些問題之前，都需要通過微分形式的公式，或者微元法，列出對應(yīng)的微分方程。

質(zhì)量為 $m$ 的物體以初速 $v_0$ 從地面豎直上拋，設(shè)空氣阻力 $f%3D%5Cmu%20v%5E2$ （ $%5Cmu$ 為常數(shù)）.試求（1）物體達到的最大高度 $y_%7Bmax%7D$ ；（2）求物體返回原處的速度 $v_2$ .

（1）根據(jù)牛頓第二定律，以向上為正方向，對物體受力分析可得：

$-mg-%5Cmu%20v%5E2%3Dma%3Dm%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D$

這個方程描述的是 $v$ 和 $t$ 的關(guān)系，而題目給出了初速度和末速度，要求的是最大高度，我們可以利用

$%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7D%5Cdfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%3D%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7Dv$

將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于 $v$ 和 $x$ 的方程：

$-mg-%5Cmu%20v%5E2%3Dm%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdx%7Dv$

這是最簡單的一種可分離變量的微分方程。

可分離變量的意思，就是可以把兩個變量分離到方程的左右兩邊，并寫成被積式的形式：

$dx%3Dm%5Cdfrac%7Bdv%7D%7B-mg-%5Cmu%20v%5E2%7Dv%3D-%5Cdfrac%7Bmvdv%7D%7Bmg%2B%5Cmu%20v%5E2%7D$

這個方程描述的是兩變量微分之間的關(guān)系，方程兩邊同時積分即可得到兩變量之間的關(guān)系：

$%5Cint_0%5E%7By_%7Bmax%7D%7D%20dx%3D%5Cint_%7Bv_0%7D%5E0%20(-%5Cdfrac%7Bmvdv%7D%7Bmg%2B%5Cmu%20v%5E2%7D)$

這一步，我們需要注意積分上下限的對應(yīng)關(guān)系。

方程左邊積分得

$x%7C_0%5E%7By_%7Bmax%7D%7D%3Dy_%7Bmax%7D$

方程右邊積分：

令 $u%3Dmg%2B%5Cmu%20v%5E2$ ，則有

$du%3D2%5Cmu%20vdv%EF%BC%8Cvdv%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%5Cmu%7Ddu$

注意換元之后積分上下限也需要調(diào)整：

當(dāng) $v%3Dv_0$ 時， $u%3Dmg%2B%5Cmu%20v%5E2_0$ ，當(dāng) $v%3D0$ 時， $u%3Dmg$ ，故

$%E5%8F%B3%E5%BC%8F%3D-%5Cdfrac%7Bm%7D%7B2%5Cmu%7D(%5Cln%20u)%7C_%7Bmg%2B%5Cmu%20v%5E2_0%7D%5E%7Bmg%7D%3D-%5Cdfrac%7Bm%7D%7B2%5Cmu%7D%5Cln%20%5Cdfrac%7Bmg%7D%7Bmg%2B%5Cmu%20v%5E2_0%7D%3D%5Cdfrac%7Bm%7D%7B2%5Cmu%7D%5Cln%20%5Cdfrac%7Bmg%2B%5Cmu%20v%5E2_0%7D%7Bmg%7D$

所以

$y_%7Bmax%7D%3D%5Cdfrac%7Bm%7D%7B2%5Cmu%7D%5Cln%20%5Cdfrac%7Bmg%2B%5Cmu%20v%5E2_0%7D%7Bmg%7D$

（2）第二問方法同（1）不作贅述，由牛頓第二定律得

$-mg%2B%5Cmu%20v%5E2%3Dma%3Dm%5Cdfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D$

解微分方程可得（或者直接類比（1）的結(jié)論，選向下為正方向，摩擦依然為負(fù)方向，重力變?yōu)檎较?，且速度積分上下限相反）

$y_%7Bmax%7D%3D-%5Cdfrac%7Bm%7D%7B2%5Cmu%7D%5Cln%20%5Cdfrac%7B-mg%2B%5Cmu%20v%5E2_2%7D%7B-mg%7D$

聯(lián)立（1）的結(jié)論得：

$%5Cdfrac%7Bm%7D%7B2%5Cmu%7D%5Cln%20%5Cdfrac%7Bmg%2B%5Cmu%20v%5E2_0%7D%7Bmg%7D%3D-%5Cdfrac%7Bm%7D%7B2%5Cmu%7D%5Cln%20%5Cdfrac%7B-mg%2B%5Cmu%20v%5E2_2%7D%7B-mg%7D$

即

$%5Cdfrac%7Bmg%2B%5Cmu%20v%5E2_0%7D%7Bmg%7D%5Cdfrac%7B-mg%2B%5Cmu%20v%5E2_2%7D%7B-mg%7D%3D1$

故

$v_2%3Dv_0%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bmg%7D%7Bmg%2B%5Cmu%20v%5E2_0%7D%7D$

0.3.7 練習(xí)

兩質(zhì)點的質(zhì)量均為 $m$ ，質(zhì)點1從離地面高度為 $h$ 處由靜止下落，質(zhì)點2從質(zhì)點1正下方的地面上以初速 $v_0$ 同時豎直上拋.設(shè)空氣阻力與質(zhì)點速率成正比，比例系數(shù)為 $%5Cmu$ （常量）.試求（1）兩質(zhì)點相遇的時間 $t%5E%E2%88%97$ . （2）兩質(zhì)點相遇的地點 $y%5E%E2%88%97$ .