可數(shù)和定理? ?設X是正規(guī)空間，n是自然數(shù)。若X=F1∪F2∪…F∞，這里Fi是X中的閉集且dimFi≤n（i=1,2,…∞)，則dimX≤n。

引理? 設X是正規(guī)空間，若對任意的不想交的的閉集對A，B，都存在開集W使得

A?W?clW?X＼B 且 dim bdW?≤ n-1??

則 dimX≤n

引理? 設X是正則的Lindelof空間，Β為X的一個基，A和B是X中不想交的兩個閉集，則存在開集W和B的可數(shù)子族【Bi；i=1,2,…】使得A?W?clW?X＼B且∪bdBi(i=1,2,…∞)?bdW。

利用上訴兩個引理和可數(shù)和定理，并使用數(shù)學歸納法，我們立即可得下面的兩個定理。

設X是正規(guī)空間，則dimX≤IndX。

設X是正則的Lindelof空間，則dimX≤indX

下面給出覆蓋維數(shù)dimX的另一種形式的等價刻畫。

定義? ? 設X是正規(guī)空間，A和B是X中不想交的兩個閉集，A和B的一個分割L是指L是X中一個閉集且X＼L可表示為兩個不想交的開集U和V之并且使得A?U，B?V。