對(duì)"必要性探路"方法的探索(續(xù)篇)

2023-11-04 20:20 作者:現(xiàn)代微積分 0人讀過 | 我要投稿

前面寫了一篇文章，講述了"必要性探路"這一方法的使用以及完善的過程，新來的讀者可以先看前一篇文章：

因此這篇文章默認(rèn)讀者已經(jīng)了解了前篇的相關(guān)知識(shí)

這篇文章有幾個(gè)瑣碎的點(diǎn)需要講，以標(biāo)粗的大標(biāo)題分段

規(guī)避"探路法"的另一個(gè)誤區(qū)

根據(jù)前篇文章的講解，使用必要性探路的流程是：第一步，找臨界點(diǎn)(包括端點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn))(先得必要性)；第二步，全參放縮，證明取臨界值時(shí)的臨界函數(shù)也滿足題意(后證充分性)。最后根據(jù)不等式傳遞性完成證明(最后即確定了范圍)。這是穩(wěn)妥正解的流程。

我們以(23年)的全國(guó)甲卷導(dǎo)數(shù)題為例快速理一遍解題思路：

貼上前一篇的答卷格式的圖片(詳細(xì)過程也在前文寫過了，這里理一遍思路就行)

藍(lán)框內(nèi)為得到范圍的必要性，紅框之間為證明臨界函數(shù)，綠框?yàn)榻Y(jié)合不等式傳遞性使范圍充分性得證，最后下結(jié)論確定答案。

簡(jiǎn)而言之，必要性探路總結(jié)起來就是：先得范圍必要性，再證范圍充分性，所以再次強(qiáng)調(diào)究竟哪步是必要性哪步是充分性務(wù)必要分清楚。

此主標(biāo)題下的正文開始：

而正是一些人對(duì)其邏輯理解不到位而導(dǎo)致了另一種錯(cuò)解的產(chǎn)生：

來看看其中一種錯(cuò)誤的講法(標(biāo)紅的部分)：

"注意到g(0)=0，我要讓它單調(diào)遞減，就得有 $g'(0)%5Cleqslant%200$ ，這時(shí)再證明h(x)遞減就方便很多了吧！"

注意了哦，如果萬一你們的老師也有這種講法，那么一定也要提醒Ta別掉進(jìn)這個(gè)邏輯陷阱里了！

乍一看似乎沒有什么毛病，畢竟是"探路"嘛，我肯定要猜一個(gè)比較完美的情況。但正是這里對(duì)原來的措辭表述進(jìn)行了小修改，讓這句話變成了另外一個(gè)意思：也即無意間調(diào)換了"必要性"和"充分性"的順序(這就是藏于此的一個(gè)很隱蔽的邏輯錯(cuò)誤)

不妨來仔細(xì)分析一下標(biāo)紅的這些措辭：

"我要讓它單調(diào)遞減"，這里"讓"和"令"是一個(gè)意思，就是你(通過手段)"命令""迫使"它單調(diào)遞減。如果要順著這個(gè)邏輯走，那么這里的"手段"就是限制a的范圍，具體步驟如下：

令 $g'(x)%3Da-%5Cfrac%7B2%5Csin%5E2x%2B1%7D%7B%5Ccos%5E4x%7D-2%5Ccos%202x%5Cleqslant%20%200%20$

這里具體步驟就是分參，這里不多贅述，主要跟上思路就行

最終得出a的范圍： $a%5Cleqslant%203$

"咦？求出的范圍根前面得出的范圍不是一樣的么？"

得出的范圍看起來一樣，但這兩種做法的邏輯卻不同了。第一種方法是“令g(x)在x=0附近不增加 $%5CRightarrow%20a%5Cleqslant%203$ ”；而第二種方法是"令g(x)單調(diào)遞減 $%5CRightarrow%20a%5Cleqslant%203$ "

表粗部分就體現(xiàn)這細(xì)微的區(qū)別了(劃重點(diǎn)了)。雖然兩者都有"令"，但得到的范圍中，前者保證了必要性，而后者保證了充分性。

"x=0附近不增加"的對(duì)立面是"x=0附近增加"，而"x=0附近增加"是絕對(duì)不滿足題意的，因此我先把這一部分的情況排除掉，因此就有"x=0附近不增加"是一個(gè)必要條件。所以這一步"令"是先把范圍進(jìn)行了必要的縮小(即保證了范圍的必要性)。

"g(x)單減"的對(duì)立面是"g(x)不單減"，而"g(x)不單減"是否一定不滿足題意呢？你完全不知道，這是題目決定的(這點(diǎn)在你沒有答案前是根本下不了定論的)，因此這一步?jīng)]辦法保證必要性。(換而言之，g(x)不單減時(shí)也可能滿足題意)

比如這種情形：

只是"不單減"啊，那我只要有一部分遞增只要沒超過x軸就滿足題意了

所以呢，陷入這個(gè)邏輯錯(cuò)誤的人大概率是誤把"單減"的對(duì)立面認(rèn)為是"單增"了。(或許很少人能像我這樣揪出如此隱蔽的細(xì)節(jié)錯(cuò)誤了吧)

令一方面，我令g(x)單減，那么這時(shí)就有g(shù)(x)<g(0)=0，那么說明這個(gè)范圍下原不等式是成立的，也就是保證了這個(gè)范圍的充分性。(所以說第二種思路保證的是"充分性"而非"必要性")

因此后面那種思路應(yīng)該叫"充分性探路"而非"必要性探路"。既然是"充分性探路"，那么下面就是要證明除此之外的部分"不滿足題意"(也即證a>3時(shí)不滿足題意)

換而言之，前者是"先必要后充分"(必要性探路)；后者是"先充分后必要"(充分性探路)

所以你領(lǐng)會(huì)到?jīng)]，細(xì)微的言辭的差別，背后展現(xiàn)的是完全不同的兩個(gè)邏輯！

為此，為了"抬杠"(也即為了反駁這些落入邏輯陷阱中的人)，我親手出了一道為了坑第二種思路的"陷阱題"：

以下是必要性探路的正解：

以下是誤把"充分性探路"當(dāng)"必要性探路"而造成的錯(cuò)解：

即 $g(x)%3Df'(x)%3D-2%5Csin%20(x%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20)%2B2ax%2B%5Csqrt%7B3%7D%20%5Cgeqslant%200$

注意到g(0)=0，令g(x)遞增，

即令 $g'(x)%3D-2%5Ccos%20(x%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20)%2B2a%5Cgeqslant%200$ 恒成立

$a%5Cgeqslant%20%5B%5Ccos%20(x%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B3%7D%20)%5D_%7B%5Ctext%7Bmax%7D%7D%3D1$

然后就進(jìn)行不下去了？

什么？接著你證明a>=1時(shí)原不等式恒成立？那就是贅余的步驟了！為什么，因?yàn)槟闶橇頶(x)單增得出a>=1的范圍，說明a>=1這個(gè)范圍內(nèi)你已經(jīng)保證了g(x)單增了，也就有g(shù)(x)>=g(0)=0，那么再證g(x)>=0就是重復(fù)的贅余步驟。

那么接下來究竟要干什么呢？你指望 $a%5Cgeqslant%201$ 就是最終答案，那么你就得證明該范圍的"必要性"，也就是證明a<1時(shí)原不等式一定不成立！

但很遺憾，對(duì)于此題，a<1時(shí)的部分情況也能使得不等式恒成立，如a=1/2時(shí)：

這時(shí)g(x)是滿足"不單增"的(也就是"g(x)單增"的對(duì)立面)，但這時(shí)g(x)卻還是>=0的。

g(x)單增一定能推出g(x)>=g(0)=0，從而推出不等式成立；但g(x)不單增就意味著g(x)一定單減么？顯然不一定！那么g(x)不單增就意味著g(x)一定<0么？更加沒有必然聯(lián)系！

也即"g(x)不單增"和"g(x)>=0"并不沖突。另一方面，正是某些人誤認(rèn)為"不單增"和"單減"等價(jià)，才會(huì)犯下這種很隱蔽的邏輯錯(cuò)誤！

通過自編的這道易錯(cuò)題，來帶大家見識(shí)了另一方面的“坑”：充分性探路失效的情況。

因此在使用探路時(shí)，務(wù)必要明確范圍是保證了"充分性"還是"必要性"，從而規(guī)避犯下這種邏輯錯(cuò)誤。一般而言，還是采用必要性探路為主。

讓"必要性探路"與"分離參數(shù)法"優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)

下面來到第二個(gè)片段，這個(gè)片段主要是融合探路法和分參法的思想，讓二者優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，以便更精準(zhǔn)地突破這類題。

先通過子題型的對(duì)比來說明二者的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)

讓我們開啟上帝視角(也就是當(dāng)你是命題人時(shí)，你就會(huì)選擇以下面的兩種情況進(jìn)行出題)

題目的通式：

$%5Cforall%20x%5Cgeqslant%200%2Cf_1(x)%2Baf_2(x)%5Cgeqslant%200%20$ ，求a的取值范圍？

特點(diǎn)：暗含 $f_1(0)%3Df_2(0)%3D0%2Cf_2(x)%5Cgeqslant%200$

下面來到求臨界點(diǎn)的第一步：

令g(x)=0(求零點(diǎn))且g'(x)=0(保證零點(diǎn)處與x軸相切)，即

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%20g(x)%3D0%5C%5C%0Ag'(x)%3D0%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%0A%5CRightarrow%20%0A%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Af_1(x)%3D-af_2(x)%5C%5C%0Af'_1(x)%3D-af'_2(x)%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

兩式相比再交叉相乘(消去未知數(shù)a)得：

$%5Cboxed%7Bf_1(x)f_2'(x)%3Df_1'(x)f_2(x)%7D$

方框框柱的這個(gè)就是用于求臨界點(diǎn)x的

如果求出來只有x=0這個(gè)根，那么就屬于常規(guī)的題型(臨界點(diǎn)在端點(diǎn)，也就是上篇文章中提及的23年的全國(guó)甲卷導(dǎo)數(shù)題)；

如果求出來不止x=0這個(gè)根，那么就屬于陷阱題型(臨界點(diǎn)在內(nèi)點(diǎn)，也就是上篇文章中提及的20年的全國(guó)I卷導(dǎo)數(shù)題)。

我們先來看臨界點(diǎn)在端點(diǎn)的情形，通過前面的分析，即有：

$f_1(x)f_2'(x)%3Df_1'(x)f_2(x)%5CRightarrow%20x%3D0$

如果這時(shí)我換用分參法會(huì)怎樣呢？

當(dāng)x=0時(shí)原不等式恒成立,a的取值范圍為R

ps:不代表最終范圍就是R了，因?yàn)檫@只是對(duì)x=0時(shí)的情況作出討論，下面還有對(duì)x>0時(shí)的情況討論得出第二個(gè)范圍(這個(gè)取值就是R的一個(gè)子集)，最后再讓這兩個(gè)范圍取交集才保證a的范圍下對(duì)x>=0時(shí)恒成立

而實(shí)數(shù)集R與實(shí)數(shù)集的一個(gè)子集取交集，那么得到的自然就是子集。這里我已經(jīng)把這些細(xì)微之處的邏輯都講清楚了。數(shù)學(xué)的底層邏輯是縝密無暇的！

當(dāng)x>0時(shí)，分參得：

$a%5Cgeqslant%20-%5Cfrac%7Bf_1(x)%7D%7Bf_2(x)%7D%20%3Dh(x)$

下面對(duì)h(x)求導(dǎo)討論其單調(diào)性：

$h'(x)%3D-%5Cfrac%7Bf_1'(x)f_2(x)-f_1(x)f_2'(x)%7D%7Bf_2%5E2(x)%7D%20$

令h(x)=0求出駐點(diǎn)，再判斷是否為極值點(diǎn)。也即

$h'(x)%3D0%5CRightarrow%20f_1'(x)f_2(x)%3Df_1(x)f_2'(x)$

然而由于這時(shí)第一種情況(臨界點(diǎn)在端點(diǎn))，因此當(dāng)x>0時(shí)h'(x)=0上述方程時(shí)無解的。又因?yàn)槌醯群瘮?shù)連續(xù)，因此說明h'(x)是恒正或恒負(fù)的，也即說明h(x)是單調(diào)的！

既然單調(diào)，那么最值就會(huì)在端點(diǎn)處取得，而由于這時(shí)我們討論的是x>0時(shí)的情況，因此"端點(diǎn)值"就對(duì)應(yīng)h(x)在x=0處的極限值：

$%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20h(x)%3D%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%20-%5Cfrac%7Bf_1(x)%7D%7Bf_2(x)%7D$

而又由于出題特點(diǎn)使得 $f_1(0)%3D0%2Cf_2(0)%3D0$ ，而0/0為未定型，需要采用洛必達(dá)/泰勒展開/等價(jià)無窮小等求極限的方法求之。感興趣的網(wǎng)友可以去了解一下。

ps:如果f?'(x),f?'(x)還是為0，就需要借助更高階導(dǎo)判斷，那么使用分參法時(shí)也就要多洛幾次

不過講到這里，你也同時(shí)就知道分參法的劣勢(shì)了：也即對(duì)于臨界點(diǎn)在端點(diǎn)的情況，使用分參法最終要通過求極限求得范圍。

那么措施是什么？對(duì)癥下藥就行了啊，就是當(dāng)求出的臨界點(diǎn)在端點(diǎn)時(shí)，采用探路法而不使用分參法唄！這也就得到第一條策略。

下面討論第二種情況(也即臨界點(diǎn)在內(nèi)點(diǎn)時(shí)的情況)

此時(shí)有： $f_1(x)f_2'(x)%3Df_1'(x)f_2(x)%5CRightarrow%20x%3D0~~%5Ctext%7Bor%7D%20~~x%3Dx_0$

這個(gè)x_0即內(nèi)點(diǎn)

這種情況采用分參法又會(huì)怎樣呢？

步驟同上，直接快進(jìn)到：

$h'(x)%3D-%5Cfrac%7Bf_1'(x)f_2(x)-f_1(x)f_2'(x)%7D%7Bf_2%5E2(x)%7D%20$

$h'(x)%3D0%5CRightarrow%20f_1'(x)f_2(x)%3Df_1(x)f_2'(x)$

到此發(fā)現(xiàn)沒？分參時(shí)令h'(x)=0得到的方程跟前面求臨界點(diǎn)時(shí)的方程是一模一樣的！

此時(shí)有：

$h'(x)%3D0%5CRightarrow%20f_1'(x)f_2(x)%3Df_1(x)f_2'(x)%5CRightarrow%20x%3D0~~%5Ctext%7Bor%7D%20~~x%3Dx_0$

而這個(gè)臨界值x0極大可能就對(duì)應(yīng)h(x)取最小值時(shí)的x值！這也就說明什么？說明第二種情況(即當(dāng)臨界點(diǎn)包含內(nèi)點(diǎn)時(shí))采用分參法恰好可以規(guī)避掉對(duì)端點(diǎn)的討論！

因此當(dāng)求出的臨界點(diǎn)包含內(nèi)點(diǎn)時(shí)，可采用分參法解決。這也就得到第二條策略。

換而言之，當(dāng)發(fā)現(xiàn)臨界點(diǎn)包含內(nèi)點(diǎn)時(shí)，使用分參法的優(yōu)勢(shì)就體現(xiàn)了，當(dāng)然這種情況繼續(xù)用探路法也是沒問題的。

再舉回20年全國(guó)I卷之例：

探路法在前篇文章也寫到了，這里就再貼一次：

那個(gè)突兀的"注意到"其實(shí)就是前面求出的臨界值x=2處的探路。正是因?yàn)檫@種情況(臨界點(diǎn)包含內(nèi)點(diǎn)時(shí))探路寫在卷上顯得有些突兀，因此這時(shí)可以換用分參法來求解使得閱卷者看上去更自然。

"哎呀哈！爺就是想出x=2這個(gè)點(diǎn)來坑你們這群只會(huì)探端點(diǎn)的小盆友的，結(jié)果你小子一試就把我設(shè)的臨界點(diǎn)試出來了？是不是偷答案了拷起來！先扣2分！""(誤)

上面灰字的話是我瞎編的嘻嘻，不過就是可能出現(xiàn)這種情況，因此才需要額外規(guī)避"注意到"太突兀的請(qǐng)況，這時(shí)就可以換用分參法更自然地寫了

也即對(duì)于這第二種情況(臨界點(diǎn)包含內(nèi)點(diǎn)時(shí)的情況)，是基于應(yīng)試卷面更自然的步驟進(jìn)行衡量的

于是分參法的卷面步驟如下：

ps:卷面是盡可能言簡(jiǎn)意賅，這里為了讀者方便理解就再對(duì)步驟中的一些小細(xì)節(jié)處理左些解釋：

最開始導(dǎo)數(shù)整理得：

$h'(x)%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E3-x-2-(x-2)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex%20%7D%7Bx%5E3%7D%20$

然后試根發(fā)現(xiàn)x=2，于是因式分解成：

$h'(x)%3D%5Cfrac%7B(x-2)(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x%5E2%2Bx%2B1-%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex)%7D%7Bx%5E3%7D%20$

下面還有判斷 $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x%5E2%2Bx%2B1-%5Cmathrm%7Be%7D%20%5Ex$ 的正負(fù)，也即判斷其跟0的大小。由于是判斷正負(fù)，因此可以利用“指數(shù)找朋友”等價(jià)變形為判斷 $(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20x%5E2%2Bx%2B1)%5Cmathrm%7Be%7D%20%5E%7B-x%7D-1$ 的正負(fù)，這時(shí)構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)就方便很多，可以自行搜索"指數(shù)找朋友，對(duì)數(shù)單身狗"這一等價(jià)變形的技法