一部數(shù)學史，正是你學習數(shù)學的全過程。然而，只有數(shù)學一門學科擁有這樣的性質(zhì)。

從這期起，我將用最初等的語言來講述那些高等的數(shù)學定義。當然，正如之前所說，我將循著探索的過程，來逐漸接近并達到現(xiàn)有的定義或是某些方法。從理論基礎上，編排順序會基本按照同濟版教材的順序，但也會作些許調(diào)整。那些繁復而缺少直觀的證明，我將盡量略去，但也并非完全省略。部分的圖片或文案素材出自@混數(shù)魔王----雨殤的視頻及與我的私信，且已經(jīng)過本人允許。

第一期 極限的理解（一）

（自變量趨于常數(shù)時函數(shù)的極限? 無窮小）

高等數(shù)學中，一個最重要的思想之一就是所謂“逼近”，或說“接近”，或說“趨近”。首先，必須要明確：逼近與達到兩者之間存在本質(zhì)的區(qū)別。達到意味著完全相等，差嚴格等于零。而逼近是一個過程，這個過程沒有止境，卻永遠達不到這個數(shù)。例如向3的逼近，可以是3.1，3.01，3.001，……這樣一個無窮數(shù)列，但這個數(shù)列中是沒有3這個數(shù)的。這種思想的歷史沿革已久，例如耳熟能詳?shù)摹案顖A術”，或者古希臘的“芝諾悖論”等等。

至于極限，自變量逼近于常數(shù)時函數(shù)的極限有一個十分寬泛的理解：說白了，就是一個函數(shù)，當自變量逼近于某一個數(shù)時，函數(shù)值也逼近于某一個常數(shù)，那么就稱常數(shù)是函數(shù)當時的極限，記作

這個定義，是高中及更以前時的定義。但又必須再次強調(diào)：這個記法與是完全不一樣的。首先，能舉出反例：.這個函數(shù)在0處顯然沒有定義。但當趨近于0時，這個函數(shù)又會趨近于1：（此后，若非單獨說明，所有角度均使用弧度制計算）.事實上，這個函數(shù)在0處的極限就是1，即，之后會給出證明。這說明函數(shù)在某處有極限并不一定需要在該處有定義。其次，就算在該處有定義，兩者表示的意義也不同：求極限代表了逼近的過程，是永遠不會達到的。接下來，我們嘗試對這一定義“翻譯”成數(shù)學語言。

在中學階段，我們就引入了“無窮大”這一概念。我們對無窮大，也就是記號的理解是：無論給定絕對值多么大的數(shù)，它的絕對值都能大于這個數(shù)。無窮大是數(shù)嗎？不是。你可以將它理解為一個“逼近”的過程：一個數(shù)可以趨于無窮大，但不能達到它。那么什么是無窮小呢？類似的，我們給出這樣的定義：無論給定絕對值多么?。ǖ皇橇悖┑臄?shù)，它的絕對值都能小于這個數(shù)（這個定義是為方便讀者理解，稍后會修改）。同樣地，可以將它理解為一個“逼近”于零的過程。無窮小雖然不是數(shù)，但容易想到：零是可以看成無窮小的唯一常數(shù)。無窮小可以用希臘字母等來表示。也就是說，

這樣你就邁出第一步了。剛剛的無窮小是刻畫趨近于0的，那如果是趨近于一個數(shù)的因變量呢？這就等同于是一個無窮小。于是有

我們把這個式子作為一個目標。也就是說，我如果給定一個正數(shù)，我就一定能通過某種方式，使得函數(shù)值到目標值（也就是極限值）的距離小于。通過什么樣的方式呢？通過將限制在附近的一個范圍中。我們不妨把這個范圍定為（當然），但有一點要注意：這個范圍還要去掉本身，也就是，也可以表示為所有滿足的點構成的集合。

之所以去掉，是為了體現(xiàn)“逼近”的概念。那為什么之前描述函數(shù)值的逼近時，沒有去掉本身呢？我們考慮常值函數(shù)，顯然，但是根本無法成立。

話再說回來。通過找出一個合適的，讓距離小于它，我就可以讓函數(shù)值距離小于任意一個給定的.翻譯成數(shù)學語言就是

使得當時，都有

最后一個問題：定義域。需要在何范圍內(nèi)有定義？方才的已經(jīng)說明不必在處有定義。先引入“鄰域”的概念：以為中心的任何開區(qū)間稱為點的鄰域，記作；在去掉中心后，稱為的去心鄰域，記作.也就是說，只需要在的某一去心鄰域內(nèi)有定義即可。

于是，

定義? 設函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義。若

使得當時，都有

則常數(shù)叫做函數(shù)當時的極限，記作

把定義中分別改為和，則常數(shù)分別叫做函數(shù)當時的左極限和右極限，分別記作

.

左右極限的概念是不難理解的：一個從左邊逼近，一個從右邊逼近而已。但有一個極重要的推論：函數(shù)在某處有極限，等價于在該處的左極限與右極限均存在且相等。這同樣不難理解。如果有一個不存在，那相當于函數(shù)在去心鄰域內(nèi)不都有定義，與極限的定義相悖。如果存在但不相等，那就無法使得函數(shù)從兩邊逼近都能趨于同一個數(shù)。

討論完第一種極限的定義，我們應當修改無窮小的定義。無窮小其實是一個函數(shù)，是一個當時的極限為0的函數(shù)。仍然，0是可以看作無窮小的，它是一個常值函數(shù)。

事實上，在我們的一系列思想活動中，已經(jīng)得到了一個重要定理：

定理? 在自變量的同一變化過程中，函數(shù)具有極限，等價于，其中是無窮小。

我們推理極限定義時恰是照此思路（這里的也就是函數(shù)）。