前言?

對(duì)于將要學(xué)高等數(shù)學(xué)，和正在備考高等數(shù)學(xué)的大學(xué)生而言，不定積分是繞不過(guò)去的一道坎。無(wú)論是后面的定積分、二重積分、三重積分，還是曲線積分、曲面積分、微分方程，都離不開(kāi)不定積分的基礎(chǔ)。因此，本人根據(jù)大學(xué)所學(xué)，結(jié)合自己的筆記、老師的PPT、以及普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)博士班納（Adrian Banner）先生的著作《普林斯頓微積分讀本》，寫(xiě)下了這篇《不定積分常用方法小結(jié)》。如果有不正確的地方，歡迎大家在評(píng)論區(qū)批評(píng)指正。

這篇文章為什么這么長(zhǎng)？

我是假設(shè)你真的想要掌握不定積分的方法，能在考試中游刃有余的應(yīng)對(duì)多變的題型，而不只是囫圇吞棗，一知半解，所以你已經(jīng)準(zhǔn)備好投入一些時(shí)間和精力，去閱讀并理解這些詳盡的闡述。

閱讀本文前，你需要有哪些知識(shí)儲(chǔ)備？

你需要掌握關(guān)于函數(shù)、三角函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，能熟練地對(duì)某個(gè)給定的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)。不定積分的實(shí)質(zhì)就是求一個(gè)函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)，基本上就等于求導(dǎo)的逆運(yùn)算。因此在學(xué)習(xí)不定積分之前，你需要熟練掌握求導(dǎo)相關(guān)的知識(shí)。

本文是在假定你已經(jīng)對(duì)不定積分有一定的了解、知道一些不定積分的基本概念的前提下寫(xiě)的（你至少要在高等數(shù)學(xué)的課堂上粗略地聽(tīng)過(guò)一遍不定積分的課程，或者自己簡(jiǎn)單地翻過(guò)課本這一章的內(nèi)容）。因此如果你還沒(méi)有開(kāi)始學(xué)不定積分，那么建議你在聽(tīng)過(guò)一遍大學(xué)老師的講課之后，再開(kāi)始閱讀本文。

?。∠轮芫推谀┛荚嚵?，我還什么都不知道呢！我該怎么辦？

不要慌，請(qǐng)先粗略地翻一翻你的高數(shù)課本上關(guān)于不定積分的章節(jié)，然后再仔細(xì)閱讀本篇文章，對(duì)于文中的例題盡量自己解答一遍，并熟練掌握文中提到的方法和公式，相信你的水平一定可以得到提升。

最后，請(qǐng)你相信：努力，并自信地走好每一步，那么幸運(yùn)一定會(huì)伴隨著你。

Here we go！

一、分項(xiàng)積分法——拆拆拆！拆成多個(gè)容易積分的項(xiàng)之和

不定積分對(duì)于加減運(yùn)算比較友好，f(x)+g(x)的不定積分就是f(x)的不定積分加上g(x)的不定積分。因此我們要盡量將被積函數(shù)拆分成若干個(gè)容易積分的函數(shù)之和，然后分別積分。不多說(shuō)，我們來(lái)看例題：（本文中大部分例題為手寫(xiě)拍照，本人字寫(xiě)得不太好看，請(qǐng)見(jiàn)諒）

第一題巧妙使用“分子-1+1”的方法，利用平方差公式，將x^4-1因式分解，成功的把原來(lái)分式形式的被積函數(shù)拆成了三項(xiàng)容易積分的函數(shù)之和。

第二題利用三角函數(shù)的平方關(guān)系，把tanx的平方轉(zhuǎn)化為secx的平方減一（這個(gè)三角平方關(guān)系很重要，后面我們也會(huì)提及）。

第三題則是用了二倍角公式，進(jìn)行了“分母單項(xiàng)化”（我們第二大點(diǎn)會(huì)講到），簡(jiǎn)化了被積函數(shù)。

接下來(lái)還有兩個(gè)題目，來(lái)練練手吧！

答案如下：

第一題利用了cos2x的二倍角公式，進(jìn)行因式分解，簡(jiǎn)化被積函數(shù)。

第二題利用了裂項(xiàng)的方法，將一個(gè)分式表示為兩個(gè)最簡(jiǎn)分式之和，再分別積分。（這個(gè)技巧我們后面講《有理函數(shù)不定積分》的時(shí)候也會(huì)仔細(xì)講）

二、分母單項(xiàng)化（有時(shí)利于拆項(xiàng)）

分母單項(xiàng)化的方法一般有三種：

①三角公式（二倍角、積化和差、萬(wàn)能代換公式、輔助角公式/二合一變形）

②分母有理化，分子分母同時(shí)乘以共軛根式（下面這題的后面那個(gè)項(xiàng)用了三角換元，之后會(huì)講到）

③分母整體換元

【前面的兩點(diǎn)是一些核心思想，接下來(lái)講一些方法】

三、第一換元法（湊微分）

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，如果被積函數(shù)有一部分是另一部分的導(dǎo)數(shù)，就把被積函數(shù)中是導(dǎo)數(shù)的那部分湊到微分d( )里【原理是f `(x)dx=d[f(x)] ，相當(dāng)于求導(dǎo)（微分）公式倒著背】，再令d( )=du，使得被積函數(shù)變成關(guān)于u的便于積分的新函數(shù)。熟練后d( )=du的步驟可以省略不寫(xiě)。

簡(jiǎn)單的比如sin2x、1/(2x-3)的積分可以直接看出來(lái)，因?yàn)橹幌嗖钜粋€(gè)常數(shù)，把常數(shù)湊進(jìn)微分，dx變成d(2x)，d（2x-3）再把這個(gè)常數(shù)除掉就可以了。另外，d(ax)=d(ax+b)=adx，所以微分里面加減常數(shù)，微分的結(jié)果是不變的。

復(fù)雜的湊微分一般有以下兩類：

（1）有理函數(shù)，e^x，lnx（一些指數(shù)、對(duì)數(shù)）等：

加一項(xiàng)減一項(xiàng)、分子分母同時(shí)乘以某個(gè)因式、分母配平方、裂項(xiàng)、因式分解。

（2）三角函數(shù)：

三角恒等變形（二倍角、積化和差、萬(wàn)能代換公式、輔助角公式/二合一變形）、常數(shù)逆代。

關(guān)于三角恒等變形的一些常用公式（有些公式高中也講過(guò)）：

請(qǐng)熟記以下常見(jiàn)湊微分公式！（其實(shí)不需要死記硬背，題目做多了自然就熟練了。這些公式就作為一些模板。注意有些公式前面的負(fù)號(hào)不要漏了）

以下是一些關(guān)于湊微分的例題：（選自上海大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫(xiě)的《高等數(shù)學(xué)習(xí)題詳解（上冊(cè)）》）

湊微分形式有很多種，把什么湊進(jìn)去要按情況而定，多做題就能熟練掌握啦。

順便提一句，前面那道分母用輔助角公式的題，用湊微分也能做，就是不容易想到。

最后請(qǐng)牢記下面的三角平方和公式：（特別是后兩個(gè)，高中很少接觸但大學(xué)經(jīng)常用）

四、第二換元法

第二換元法最主要的是處理無(wú)理表達(dá)式（根號(hào)）。常見(jiàn)的有三角代換和直接整體換元兩種，如下圖：

覺(jué)得三角代換用什么三角函數(shù)比較難記？這里教你一個(gè)小訣竅：根號(hào)里面是什么就聯(lián)想什么三角公式。具體在上圖中我已經(jīng)用紅點(diǎn)和藍(lán)色三角形標(biāo)注出來(lái)了。常數(shù)a對(duì)應(yīng)1，x對(duì)應(yīng)某個(gè)三角函數(shù)，加減號(hào)不變。以第一個(gè)為例，a^2對(duì)應(yīng)1，x^2對(duì)應(yīng)某三角函數(shù)的平方，然后想：1減去什么的平方是另一個(gè)平方呢？（因?yàn)橐サ舾?hào)必須有平方）然后你腦子靈光閃現(xiàn)：

這樣就記住了，遇到第一種就令x=a·sint。其他兩種同理。當(dāng)然，前提是你記住了這三個(gè)三角平方關(guān)系式。

三角代換的時(shí)候注意畫(huà)個(gè)輔助三角形，否則回代x的時(shí)候很容易搞錯(cuò)sint、cost、tant對(duì)應(yīng)的x的表達(dá)式是什么。【當(dāng)然不排除有時(shí)候，考試用換元法積出來(lái)一個(gè)不定積分后太興奮，以至于忘掉回代x的情況】具體如下：

同樣，我們來(lái)看一些例題：（選自大學(xué)老師的PPT）

當(dāng)然三角換元不是什么時(shí)候都好用。比如下面這種情況，直接換元就比較好：

當(dāng)出現(xiàn)多種根式，比如平方根、立方根、6次方跟的時(shí)候，可以令 t=x^n ，其中n是各個(gè)根指數(shù)的最小公倍數(shù)。（如上述情況n=6）

另外還有一種換元叫做“倒數(shù)代換”，令t=1/x，當(dāng)分母的冪次太高的時(shí)候用。如下圖：

方法講的差不多了。更多的例題已經(jīng)為你擺在下面了，我就不多說(shuō)了，請(qǐng)讀者在刷題的同時(shí)自己琢磨什么時(shí)候三角換元，什么時(shí)候直接換元吧。（例題選自上海大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫(xiě)的《高等數(shù)學(xué)習(xí)題詳解（上冊(cè)）》）

五、兩種換元法的小結(jié)和補(bǔ)充積分公式

有了第一和第二換元法，我們可以總結(jié)出下圖右邊的一些補(bǔ)充公式。這些補(bǔ)充公式只需要記憶（3）（4）兩個(gè)，其他的就作為幾個(gè)典型例子，考試的時(shí)候自己推導(dǎo)幾步就出來(lái)了，不用死記硬背。信不信由你，有時(shí)候公式背的太多反而容易記串，得不償失。

以下是這些補(bǔ)充公式的推導(dǎo)過(guò)程，有興趣的讀者可以自行閱讀。如果你在復(fù)習(xí)備考高等數(shù)學(xué)，而你所剩的復(fù)習(xí)時(shí)間不多了，那就先跳過(guò)吧。

六、分部積分法

分部積分的公式相信大家已經(jīng)很熟悉了：

其中u=u(x)，v=v(x)。注意到等號(hào)前后的兩個(gè)u和v位置互換，因此分部積分又被形象的稱作“換位積分”，一般適用于被積函數(shù)是幾個(gè)函數(shù)相乘的形式。利用分部積分做題時(shí)有以下幾步：
①把被積函數(shù)的一部分因式湊成微分dv（第一換元法）；

②把d前面的看成u，d后面的看成v ；

③套分部積分公式；

④在寫(xiě)等號(hào)后面那個(gè)積分的時(shí)候，可以把du先算出來(lái)，把寫(xiě)成u `(x)dx的形式，然后再積分。

在第一步之前，需要觀察哪個(gè)因式用來(lái)湊微分比較合適。這里有個(gè)口訣叫“反對(duì)冪指三”，具體含義如下：

也就是說(shuō)，被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)相乘時(shí)，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)一般用來(lái)湊dv，優(yōu)先級(jí)為三角＞指數(shù)＞冪函數(shù)，而反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)作為u。這么做的道理是等下你用分部積分公式的時(shí)候u和v交換了位置。在等號(hào)的右邊，v變成了被積函數(shù)，而u變成了微分du?！皟缰溉庇脕?lái)湊dv是因?yàn)閾Q位后它們更容易算積分；而“反對(duì)”的導(dǎo)數(shù)比本身簡(jiǎn)單，在換位后求du的時(shí)候更容易得到相對(duì)簡(jiǎn)單的表達(dá)式。按“反對(duì)冪指三”的規(guī)律使用分部積分，就不至于越積越復(fù)雜了。開(kāi)始不熟練的時(shí)候可以在草稿紙上寫(xiě)出u、dv、v、du，熟練了以后這些就可以省略了。

不過(guò)注意，有些時(shí)候要先進(jìn)行拆項(xiàng)、分母單項(xiàng)化、恒等變形再分部積分。

有了分部積分，arcsinx、lnx和大部分乘積形式的被積函數(shù)就可以積出來(lái)了。

下面是一些例題：（例題選自上海大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫(xiě)的《高等數(shù)學(xué)習(xí)題詳解（上冊(cè)）》）

七、分段函數(shù)的不定積分

有些同學(xué)覺(jué)得分段函數(shù)的積分那還不簡(jiǎn)單，不就是幾段函數(shù)分別求積分嘛。然而在小細(xì)節(jié)上面我們還需要再注意一下。先來(lái)看下面這道題目：

對(duì)兩段函數(shù)分別積分，做出來(lái)答案是A。但很可惜，正確答案是D。為什么呢？因?yàn)槲覀兒雎粤艘粋€(gè)比較重要的定理——原函數(shù)存在定理。

原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則在區(qū)間上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x)，使得對(duì)任意x∈I，都有F `(x)= f(x)。即連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，一定可積分。

這道題目給我們的教訓(xùn)是：分段函數(shù)的不定積分后面的常數(shù)C不能隨意寫(xiě)，需要注意函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，通過(guò)等式得出幾個(gè)常數(shù)之間的關(guān)系。

八、一些三角函數(shù)的積分

（一）sin x和cos x的高次冪相乘的形式，形如：

一般有以下幾種情況：

（1）m，n均為偶數(shù)：用倍角公式降冪

（2）m，n中只要有一個(gè)為奇數(shù)：奇數(shù)的那個(gè)三角函數(shù)用來(lái)湊微分（如果m，n都是奇數(shù)就任選一個(gè)），另一個(gè)用三角平方和公式化為單變量，如(cosx的平方)=1-(sinx的平方)。

先看個(gè)m，n均為偶數(shù)的例子：

然后是m，n中一奇一偶的例子：

（二）兩個(gè)三角函數(shù)相乘，角度不同的形式，如cosA·cosB。

此時(shí)我們需要用積化和差公式（公式在前面第3節(jié)第一換元法中已經(jīng)給出）。比如下面這題：

（三）有關(guān)tan x和cot x的平方的積分

利用三角平方公式化為sec x和csc x的平方減1，再積分：

九*、有理函數(shù)的積分（部分考試不做要求）

有理函數(shù)的定義是兩個(gè)多項(xiàng)式的商，形如：

其中n，m是正整數(shù)。如果n＜m，則為真分式；如果n≥m，則為假分式。

對(duì)于有理函數(shù)的積分，我們的思路是對(duì)有理函數(shù)進(jìn)行處理，將它拆分成幾個(gè)更簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的和的形式，即整式和四種典型的最簡(jiǎn)分式。整式的積分相對(duì)容易，我們只需要討論如何對(duì)四種典型最簡(jiǎn)分式進(jìn)行積分就行了。接下來(lái)，我們將首先研究如何拆分有理函數(shù)，然后再討論其中三種典型最簡(jiǎn)分式的積分（最后一種不?？迹?。最后我會(huì)總結(jié)出完整的方法，并附上一個(gè)完整的例子。

【注：由于以下內(nèi)容涉及的數(shù)學(xué)表達(dá)式較多，在專欄里無(wú)法打出來(lái)。為了美觀起見(jiàn)，在編輯這部分內(nèi)容時(shí)，我會(huì)將內(nèi)容打在word文檔中再截屏，以圖片的形式呈現(xiàn)給讀者】

總結(jié)：

關(guān)于有理函數(shù)積分的完整方法：
（1）如果是假分式，利用長(zhǎng)除法化為真分式和整式之和。
（2）真分式分母因式分解。
（3）分部。拆分為四種最簡(jiǎn)分式之和的形式，像之前那樣待定系數(shù)。
（4）求出待定系數(shù)。（比較系數(shù)法、給x賦值法）
（5）按照下圖（即上文中的9.2）的方法分別求出每個(gè)最簡(jiǎn)分式的積分。

感謝您能耐心讀完我的文章，希望文中的內(nèi)容能對(duì)您有所幫助。

祝您學(xué)業(yè)有成、考試順利！

素材來(lái)源：

本人的課后筆記；

高數(shù)老師的PPT；

《高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）》 上海大學(xué)數(shù)學(xué)系 編，高等教育出版社；

《高等數(shù)學(xué)習(xí)題詳解（上冊(cè)）》 北京工業(yè)大學(xué)出版社；

《普林斯頓微積分讀本（修訂版）》 Adrian Banner著 人民郵電出版社。