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使用ARIMA模型，您可以使用序列過去的值預(yù)測時間序列。在本文中，我們從頭開始構(gòu)建了一個最佳ARIMA模型，并將其擴展到Seasonal ARIMA（SARIMA）和SARIMAX模型。

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1.時間序列預(yù)測簡介

時間序列是在定期時間間隔內(nèi)記錄度量的序列。

根據(jù)頻率，時間序列可以是每年（例如：年度預(yù)算），每季度（例如：支出），每周（例如：銷售數(shù)量），每天（例如天氣），每小時（例如：股票價格），分鐘（例如：來電提示中的呼入電話），甚至是幾秒鐘（例如：網(wǎng)絡(luò)流量）。

為什么要預(yù)測？

因為預(yù)測時間序列（如需求和銷售）通常具有巨大的商業(yè)價值。

在大多數(shù)制造公司中，它驅(qū)動基本的業(yè)務(wù)計劃，采購和生產(chǎn)活動。預(yù)測中的任何錯誤都會擴散到整個供應(yīng)鏈或與此相關(guān)的任何業(yè)務(wù)環(huán)境中。因此，準(zhǔn)確地進行預(yù)測很重要，以節(jié)省成本，這對于成功至關(guān)重要。

不僅在制造業(yè)中，時間序列預(yù)測背后的技術(shù)和概念還適用于任何業(yè)務(wù)。

現(xiàn)在，預(yù)測時間序列可以大致分為兩種類型。

如果僅使用時間序列的先前值來預(yù)測其未來值，則稱為??單變量時間序列預(yù)測。

如果您使用序列以外的其他預(yù)測變量（也稱為外生變量）進行預(yù)測，則稱為??多變量時間序列預(yù)測。

這篇文章重點介紹一種稱為ARIMA??建模的特殊類型的預(yù)測方法? 。

ARIMA是一種預(yù)測算法，其基于以下思想：時間序列的過去值中的信息可以單獨用于預(yù)測未來值。

2. ARIMA模型簡介

那么ARIMA模型到底是什么？

ARIMA是一類模型，可以根據(jù)自身的過去值（即自身的滯后和滯后的預(yù)測誤差）“解釋”給定的時間序列，因此可以使用方程式預(yù)測未來價值。

任何具有模式且不是隨機白噪聲的“非季節(jié)性”時間序列都可以使用ARIMA模型進行建模。

ARIMA模型的特征在于3個項：p，d，q

p是AR項

q是MA項

d是使時間序列平穩(wěn)所需的差分?jǐn)?shù)

如果時間序列具有季節(jié)性模式，則需要添加季節(jié)性條件，該時間序列將變成SARIMA（“季節(jié)性ARIMA”的縮寫）。一旦完成ARIMA。

那么，“AR項的順序”到底意味著什么？我們先來看一下“ d”。

3. ARIMA模型中的p，d和q是什么意思

建立ARIMA模型的第一步是??使時間序列平穩(wěn)。

為什么？

因為ARIMA中的“自動回歸”一詞意味著它是一個??線性回歸模型??，使用自己的滯后作為預(yù)測因子。如您所知，線性回歸模型在預(yù)測變量不相關(guān)且彼此獨立時最有效。

那么如何使一序列平穩(wěn)呢？

最常見的方法是加以差分。即，從當(dāng)前值中減去先前的值。

因此，d的值是使序列平穩(wěn)所需的最小差分?jǐn)?shù)。如果時間序列已經(jīng)平穩(wěn)，則d = 0。

接下來，什么是“ p”和“ q”？

“ p”是“自回歸”（AR）術(shù)語的順序。它指的是要用作預(yù)測變量的Y的滯后次數(shù)。而“ q”是“移動平均”（MA）項的階數(shù)。它是指應(yīng)輸入ARIMA模型的滯后預(yù)測誤差的數(shù)量。

4.什么是AR和MA模型

那么什么是AR和MA模型？AR和MA模型的實際數(shù)學(xué)公式是什么？

AR模型是Yt僅取決于其自身滯后的模型。也就是說，Yt是“ Yt滯后”的函數(shù)。

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同樣，純??移動平均線（僅MA）模型??是Yt僅取決于滯后預(yù)測誤差的模型。

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誤差項是各個滯后的自回歸模型的誤差。誤差Et和E（t-1）是來自以下方程式的誤差：

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那分別是AR和MA模型。

那么ARIMA模型的方程是什么樣的呢？

ARIMA模型是這樣的模型，其中時間序列至少差分一次以使其平穩(wěn)，然后將AR和MA項組合在一起。因此，等式變?yōu)椋?/p>

因此，目的是識別p，d和q的值。?

5.如何在ARIMA模型中找到差分階數(shù)（d）

進行差分的目的是使時間序列平穩(wěn)。

但是您需要注意不要使系列過分差分。因為，超差分序列可能仍然是平穩(wěn)的，這反過來將影響模型參數(shù)。

那么如何確定正確的差分階數(shù)呢？

正確的差分階數(shù)是獲得近似平穩(wěn)序列的最小差分，該序列圍繞定義的平均值波動，并且ACF曲線相當(dāng)快地達到零。

如果自相關(guān)對于許多階數(shù)之后（10個或更多）為正，則該序列需要進一步求差。?

在這種情況下，你不能真正確定兩個差分階數(shù)之間的差，然后選擇在差分序列中給出最小標(biāo)準(zhǔn)偏差的階數(shù)。

讓我們來看一個例子。

首先，我將使用Augmented Dickey Fuller測試（）檢查該系列是否平穩(wěn)。

為什么？

因為，僅當(dāng)序列非平穩(wěn)時才需要進行差分。否則，不需要差分，即d ＝ 0。

ADF檢驗的零假設(shè)是時間序列是非平穩(wěn)的。因此，如果檢驗的p值小于顯著性水平（0.05），則拒絕原假設(shè)，并推斷時間序列確實是平穩(wěn)的。

因此，在我們的情況下，如果P值> 0.05，我們將繼續(xù)尋找差分的階數(shù)。

由于P值大于顯著性水平，因此讓我們對序列進行差分，看看自相關(guān)圖的樣子。

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差分?

對于以上序列，時間序列達到平穩(wěn)，具有兩個不同的階數(shù)。但是，在查看第二次差分的自相關(guān)圖時，滯后會很快進入負(fù)值區(qū)域，這表明該序列可能已經(jīng)過差分。

因此，即使該序列不是完全平穩(wěn)的（平穩(wěn)性較弱），我也將暫時將差分的階數(shù)設(shè)置為1。

6.如何找到AR項的階數(shù)（p）

下一步是確定模型是否需要AR。您可以通過檢查偏自相關(guān)（PACF）圖來找出所需的AR階數(shù)。

但是什么是PACF？

排除部分滯后的影響后，可以將偏自相關(guān)想象為序列與其滯后之間的相關(guān)性。因此，PACF的傳遞傳達了滯后與序列之間的純相關(guān)性。這樣，您將知道在AR中是否需要該滯后。

如何找到AR項的階數(shù)？

平穩(wěn)序列中的任何自相關(guān)都可以通過添加足夠的AR項進行校正。因此，我們最初將AR項的階數(shù)等于超過PACF圖中顯著性區(qū)間的滯后階數(shù)。

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AR階數(shù)

可以觀察到，PACF滯后1非常重要，因為它遠高于顯著性線。滯后2也很重要，稍微超過了顯著性區(qū)間（藍色區(qū)域）。

7.如何找到MA項的階數(shù)（q）

就像我們在PACF圖上查看AR項的階數(shù)一樣，您也可以在ACF圖上查看MA項的階數(shù)。MA從技術(shù)上講是滯后預(yù)測的誤差。

ACF指示要消除平穩(wěn)序列中的自相關(guān)需要多少個MA項。

讓我們看一下差分序列的自相關(guān)圖。

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MA階數(shù)

幾個滯后遠高于界限。因此，讓我們暫時將q固定為2。

8.如何處理時間序列差值是否過低或過高

該如何處理？

如果您的序列有少許差異，通常添加一個或多個其他AR即可。同樣，如果略有差異，請嘗試添加其他MA項。

9.如何建立ARIMA模型

現(xiàn)在，已經(jīng)確定了p，d和q的值，已經(jīng)具備了擬合ARIMA模型的所有條件。

該模型摘要揭示了很多信息。中間的表是系數(shù)表，其中“ coef”下的值是相應(yīng)項的權(quán)重。

請注意，這里的MA2項的系數(shù)接近零 。理想情況下，各個X的值應(yīng)小于0.05。

因此，讓我們在沒有MA2術(shù)語的情況下重建模型。

AIC模型已減少，這很好。AR1和MA1項的P值已提高并且非常顯著（<< 0.05）。

讓我們繪制殘差 。

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殘差密度

殘差似乎很好，均值接近零且方差均勻。讓我們使用繪制實際值和擬合值?。

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實際vs擬合

設(shè)置???樣本內(nèi)時，滯后值用于預(yù)測。

也就是說，模型被訓(xùn)練到上一個值進行下一個預(yù)測。?

因此，我們似乎有一個不錯的ARIMA模型。但是那是最好的嗎？

目前不能這么說，因為我們還沒有真正預(yù)測未來數(shù)據(jù)，而是將預(yù)測與實際數(shù)據(jù)進行了比較。

因此， 現(xiàn)在需要交叉驗證。

10.如何使用交叉驗證手動找到最佳ARIMA模型

在“交叉驗證”中，可以預(yù)測將來的數(shù)據(jù)。然后，您將預(yù)測值與實際值進行比較。

要進行超時的交叉驗證，您需要創(chuàng)建訓(xùn)練和測試數(shù)據(jù)集，方法是將時間序列按大約75:25的比例或基于序列時間頻率的合理比例分成兩個連續(xù)的部分。

為什么不隨機采樣訓(xùn)練數(shù)據(jù)？

這是因為時間序列的順序序列應(yīng)完整無缺，以便用于預(yù)測。

現(xiàn)在，您可以在訓(xùn)練數(shù)據(jù)集上構(gòu)建ARIMA模型，對其進行預(yù)測和繪制。

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預(yù)測與實際

從圖表中，ARIMA（1,1,1）模型似乎給出了方向正確的預(yù)測。實際觀察值在95％置信區(qū)間內(nèi)。

但是每個預(yù)測的預(yù)測始終低于實際。這意味著，通過在我們的預(yù)測中添加一個小的常數(shù)，精度一定會提高。因此，肯定有改進的余地。

所以，我要做的是將差分的階數(shù)增加到2，即進行設(shè)置，???然后將p迭代地增加到5，然后將q反復(fù)增加到5，以查看哪個模型給出的AIC最小，同時還要尋找一個給出更接近實際情況和預(yù)測。

在執(zhí)行此操作時，我會關(guān)注模型摘要中AR和MA項的P值。它們應(yīng)盡可能接近零，理想情況下應(yīng)小于0.05。

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修訂后的預(yù)測與實際值

AIC已從515減少到440。X項的P值小于<0.05，這很好。

所以總的來說要好得多。

理想情況下，應(yīng)該返回多個時間點，例如返回1、2、3和4個季度，并查看一年中各個時間點的預(yù)測效果如何。

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11.時間序列預(yù)測的準(zhǔn)確性指標(biāo)

用來判斷預(yù)測的常用準(zhǔn)確性指標(biāo)是：

1. 平均絕對百分比誤差（MAPE）

2. 平均誤差（ME）

3. 平均絕對誤差（MAE）

4. 平均百分比誤差（MPE）

5. 均方根誤差（RMSE）

6. 滯后1自相關(guān)誤差（ACF1）

7. 實際與預(yù)測之間的相關(guān)性（corr）

8. 最小最大誤差（minmax）

通常，如果要比較兩個不同序列的預(yù)測，則可以使用MAPE，Correlation和Min-Max Error。

為什么不使用其他指標(biāo)？

因為只有上述三個是百分比誤差，所以誤差在0到1之間變化。因此，無論序列的規(guī)模如何，您都可以判斷預(yù)測的質(zhì)量如何。

其他誤差度量是數(shù)量。這意味著，平均值為1000的序列的RMSE為100，平均值為10的序列的RMSE為5。因此，不能真正使用它們來比較兩個不同比例時間序列的預(yù)測。

大約2.2％的MAPE表示該模型在預(yù)測接下來的15個觀測值時的準(zhǔn)確性約為97.8％。

但是在工業(yè)應(yīng)用情況下，將給您提供很多時間序列來進行預(yù)測，并且定期重復(fù)進行預(yù)測。

因此，我們需要一種使最佳模型選擇過程自動化的方法。

12.如何在Python中進行自動Arima預(yù)測

使用逐步方法來搜索p，d，q參數(shù)的多個組合，并選擇具有最小AIC的最佳模型。

13.如何解釋ARIMA模型中的殘差圖

讓我們查看殘差圖。

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殘差圖

那么如何解釋？

左上方：??殘余誤差似乎在零均值附近波動，并且具有均勻的方差。

右上方：??密度圖建議均值為零的正態(tài)分布。

左下：??所有圓點應(yīng)與紅線完全一致。任何明顯的偏差都意味著分布偏斜。

右下：??Correlogram（又名ACF）圖顯示殘差誤差不是自相關(guān)的。任何自相關(guān)都將暗示殘差中存在某種模式，該模式未在模型中進行解釋。因此，您將需要為模型尋找更多的X（預(yù)測變量）。

總體而言，這似乎很合適。讓我們預(yù)測一下。

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14.如何在python中自動構(gòu)建SARIMA模型

普通ARIMA模型的問題在于它不支持季節(jié)性。

如果您的時間序列定義了季節(jié)性，那么，請使用季節(jié)性差分的SARIMA。

季節(jié)性差分與常規(guī)差分相似，但是您可以從上一季節(jié)中減去該值，而不是減去連續(xù)項。

因此，該模型將表示為SARIMA（p，d，q）x（P，D，Q），其中P，D和Q分別是SAR，季節(jié)性差分的階數(shù)和smA項，并且???是時間的頻率系列。

如果您的模型具有明確定義的季節(jié)性模式，則對給定的頻率“ x”強制執(zhí)行D = 1。

這是有關(guān)構(gòu)建SARIMA模型的一些實用建議：

通常，將模型參數(shù)設(shè)置為D不得超過1。并且總的差異'd + D'永遠不會超過2。如果模型具有季節(jié)性成分，請嘗試僅保留SAR或smA項。

我們在藥物銷售數(shù)據(jù)集上建立一個SARIMA模型 。

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季節(jié)性差分

在應(yīng)用通常的差分（滯后1）之后，季節(jié)性峰值是完整的。鑒于此，應(yīng)在季節(jié)性差分后進行糾正。

讓我們建立使用SARIMA模型。為此，您需要設(shè)置??，設(shè)置?按月序列的頻率? 并強制執(zhí)行??。

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該模型估計了AIC，系數(shù)的P值看起來很重要。讓我們看一下殘差的診斷圖。

最佳模型???的AIC為528.6，P值很重要。

讓我們預(yù)測未來的24個月。

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SARIMA –最終預(yù)測

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15.如何用外生變量建立SARIMAX模型

我們構(gòu)建的SARIMA模型很好。

但是為了完整起見，讓我們嘗試將外部預(yù)測變量（也稱為“外生變量”）強加到模型中。該模型稱為SARIMAX模型。

使用外生變量的唯一要求是您還需要在預(yù)測期內(nèi)知道變量的值。

為了演示，我將對?最近36個月的數(shù)據(jù)使用經(jīng)典季節(jié)性分解中的季節(jié)性指數(shù)? 。

為什么要季節(jié)性指數(shù)？ SARIMA是否已經(jīng)在模擬季節(jié)性？

你是對的。

而且，我想看看如果我們將最近的季節(jié)性模式強加到訓(xùn)練和預(yù)測中，模型將如何顯示。

其次，這是一個很好的演示目的變量。因此，你可以將其用作模板，并將任何變量插入代碼中。季節(jié)性指數(shù)是一個很好的外生變量，因為它每個頻率周期都會重復(fù)一次，在這種情況下為12個月。

因此，你將始終知道季節(jié)性指數(shù)將對未來的預(yù)測保持何種價值。

讓我們計算季節(jié)性指數(shù)，以便可以將其作為SARIMAX模型的（外部）預(yù)測變量。

外生變量（季節(jié)指數(shù)）已準(zhǔn)備就緒。讓我們構(gòu)建SARIMAX模型。

因此，我們擁有帶有外生項的模型。但是該系數(shù)對于?來說很小?，因此該變量的貢獻可以忽略不計。讓我們繼續(xù)預(yù)測吧。

我們已有效地將模型中最近3年的最新季節(jié)性影響強加給模型。

好吧，讓我們預(yù)測下一個24個月。為此，你需要接下來24個月的季節(jié)性指數(shù)值。

SARIMAX預(yù)測

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