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摘要

本文描述了R語言中馬爾克夫轉(zhuǎn)換模型的分析過程。首先，對(duì)模擬數(shù)據(jù)集進(jìn)行詳細(xì)建模。接下來，將馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型擬合到具有離散響應(yīng)變量的真實(shí)數(shù)據(jù)集。用于驗(yàn)證對(duì)這些數(shù)據(jù)集建模的不同方法。

模擬實(shí)例

示例數(shù)據(jù)是一個(gè)模擬數(shù)據(jù)集，用于展示如何檢測(cè)兩種不同模式的存在：一種模式中的響應(yīng)變量高度相關(guān)，另一種模式中的響應(yīng)僅取決于外生變量x。自相關(guān)觀測(cè)值的區(qū)間為1到100、151到180 和251到300。每種方案的真實(shí)模型為：

圖1中的曲線表明，在不存在自相關(guān)的區(qū)間中，響應(yīng)變量y具有與協(xié)變量x相似的行為。擬合線性模型以研究協(xié)變量x如何解釋變量響應(yīng)y。
?

1. > summary(mod)?

2. 


3. Call:

4. lm(formula = y ~ x, data = example)

5. 


6. Residuals:

7. 


8. ? ? ? Min 1Q Median 3Q Max

9. 


10. -2.8998 -0.8429 -0.0427 0.7420 4.0337

11. 


12. > plot(ts(example))

圖1：模擬數(shù)據(jù)，y變量是響應(yīng)變量

1. Coefficients:

2. Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

3. 


4. (Intercept) 9.0486 0.1398 64.709 < 2e-16 ***

5. x 0.8235 0.2423 3.398 0.00077 ***

6. 


7. Residual standard error: 1.208 on 298 degrees of freedom

8. Multiple R-squared: 0.03731, Adjusted R-squared: 0.03408

9. F-statistic: 11.55 on 1 and 298 DF, p-value: 0.0007701

協(xié)變量確實(shí)很重要，但是模型解釋的數(shù)據(jù)行為非常糟糕。圖1中的線性模型殘差圖表明，它們的自相關(guān)很強(qiáng)。殘差的診斷圖（圖2）確認(rèn)它們似乎不是白噪聲，并且具有自相關(guān)關(guān)系。接下來，將自回歸馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型（MSM-AR）擬合到數(shù)據(jù)。自回歸部分設(shè)置為1。為了指示所有參數(shù)在兩個(gè)周期中都可以不同，將轉(zhuǎn)換參數(shù)（sw）設(shè)置為具有四個(gè)分量的矢量。擬合線性模型時(shí)的最后一個(gè)值稱為殘差。

?
標(biāo)準(zhǔn)偏差。有一些選項(xiàng)可控制估算過程，例如用于指示是否完成了過程并行化的邏輯參數(shù)。
?

1. Markov Switching Model

2. 


3. 


4. AIC BIC logLik

5. 637.0736 693.479 -312.5368

6. Coefficients:

7. Regime 1

8. ---------

9. Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

10. (Intercept)(S) 0.8417 0.3025 2.7825 0.005394 **

11. x(S) -0.0533 0.1340 -0.3978 0.690778

12. y_1(S) 0.9208 0.0306 30.0915 < 2.2e-16 ***

13. ---

14. Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

15. 


16. Residual standard error: 0.5034675

17. Multiple R-squared: 0.8375

18. 


19. Standardized Residuals:

20. Min Q1 Med Q3 Max

21. -1.5153666657 -0.0906543311 0.0001873641 0.1656717256 1.2020898986

22. Regime 2

23. --------- Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

24. (Intercept)(S) 8.6393 0.7244 11.9261 < 2.2e-16 ***

25. x(S) 1.8771 0.3107 6.0415 1.527e-09 ***

26. y_1(S) -0.0569 0.0797 -0.7139 0.4753

27. ---

28. Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

29. 


30. Residual standard error: 0.9339683

31. Multiple R-squared: 0.2408

32. Standardized Residuals:

33. Min Q1 Med Q3 Max

34. -2.31102193 -0.03317756 0.01034139 0.04509105 2.85245598

35. Transition probabilities:

36. Regime 1 Regime 2

37. Regime 1 0.98499728 0.02290884

38. Regime 2 0.01500272 0.97709116

?

模型mod.mswm具有協(xié)方差x非常顯著的狀態(tài)，而在其他情況下，自相關(guān)變量也非常重要。兩者的R平方均具有較高的值。最后，轉(zhuǎn)移概率矩陣具有較高的值，這表明很難從接通狀態(tài)更改為另一個(gè)狀態(tài)。該模型可以完美地檢測(cè)每個(gè)狀態(tài)的周期。殘差看起來像是白噪聲，它們適合正態(tài)分布。而且，自相關(guān)消失了。

?

?圖形顯示已完美檢測(cè)到每個(gè)方案的周期。

> plot(mod.mswm,expl="x")

交通事故
?

交通數(shù)據(jù)包含2010年西班牙交通事故的每日人數(shù)，平均每日溫度和每日降水量。該數(shù)據(jù)的目的是研究死亡人數(shù)與氣候條件之間的關(guān)系。由于在周末和工作日變量之間存在不同的行為，因此我們說明了在這種情況下使用廣義馬爾科夫轉(zhuǎn)換模型的情況。
在此示例中，響應(yīng)變量是計(jì)數(shù)變量。因此，我們擬合了泊松廣義線性模型。

1. > summary(model)

2. Call:

3. glm(formula = NDead ~ Temp + Prec, family = "poisson", data = traffic)

1. Deviance Residuals:

2. 


3. Min 1Q Median 3Q Max

4. -3.1571 -1.0676 -0.2119 0.8080 3.0629

5. 


6. Coefficients:

7. Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)

8. (Intercept) 1.1638122 0.0808726 14.391 < 2e-16 ***

9. Temp 0.0225513 0.0041964 5.374 7.7e-08 ***

10. Prec 0.0002187 0.0001113 1.964 0.0495 *

11. ---

12. Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

13. (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

14. Null deviance: 597.03 on 364 degrees of freedom

15. Residual deviance: 567.94 on 362 degrees of freedom

16. AIC: 1755.9

17. Number of Fisher Scoring iterations: 5

下一步，使用擬合馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型。為了適應(yīng)廣義馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型，必須包含族參數(shù)，而且glm沒有標(biāo)準(zhǔn)偏差參數(shù)，因此sw參數(shù)不包含其切換參數(shù)。

1. >

2. Markov Switching Model

4. 


5. AIC BIC logLik

6. 1713.878 1772.676 -850.9388

7. Coefficients:

8. Regime 1

9. ---------

10. Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

11. (Intercept)(S) 0.7649 0.1755 4.3584 1.31e-05 ***

12. Temp(S) 0.0288 0.0082 3.5122 0.0004444 ***

13. Prec(S) 0.0002 0.0002 1.0000 0.3173105

14. ---

15. Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

16. 


17. Regime 2

18. ---------

19. Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

20. 


21. (Intercept)(S) 1.5659 0.1576 9.9359 < 2e-16 ***

22. Temp(S) 0.0194 0.0080 2.4250 0.01531 *

23. Prec(S) 0.0004 0.0002 2.0000 0.04550 *

24. ---

25. Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

26. 


27. Transition probabilities:

28. Regime 1 Regime 2

29. Regime 1 0.7287732 0.4913893

30. Regime 2 0.2712268 0.5086107

兩種狀態(tài)都有顯著的協(xié)變量，但降水協(xié)變量?jī)H在這兩種狀態(tài)之一中是顯著的。

1. 


2. Aproximate intervals for the coefficients. Level= 0.95

3. (Intercept):

4. Lower Estimation Upper

5. Regime 1 0.4208398 0.7648733 1.108907

6. 


7. Regime 2 1.2569375 1.5658582 1.874779

8. Temp:

9. Lower Estimation Upper

10. Regime 1 0.012728077 0.02884933 0.04497059

11. Regime 2 0.003708441 0.01939770 0.03508696

12. Prec:

13. Lower Estimation Upper

14. Regime 1 -1.832783e-04 0.0001846684 0.0005526152

15. Regime 2 -4.808567e-05 0.0004106061 0.0008692979

?

?

由于模型是通用線性模型的擴(kuò)展，因此從類對(duì)象計(jì)算出圖中的Pearson殘差。該殘差有白噪聲的經(jīng)典結(jié)構(gòu)。殘差不是自相關(guān)的，但它們與正態(tài)分布不太吻合。但是，Pearson殘差的正態(tài)性不是廣義線性模型驗(yàn)證的關(guān)鍵條件。

> plot(m1,which=2)

?

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我們可以看到短時(shí)間內(nèi)的狀態(tài)分配，因?yàn)檩^大的狀態(tài)基本上包含工作日。

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