? ? 這篇專欄其實是寫著來玩的,? 內(nèi)容非常的不專業(yè)不嚴(yán)肅不嚴(yán)謹(jǐn),? 但是起碼可以保證某種程度上的正確性 (大概?).

? ? 如果自己勤快的話也許會做一點動態(tài)圖放在里面? 反正寫到這里的時候不知道會不會有那樣的勤快就是了.

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狹義相對論?? 球面?? 洛倫茲變換?? 旋轉(zhuǎn)?

? ? 額,? 根據(jù)其他人說,? 狹義相對論是在一個叫什么什么空間里面的,? (翻書)? 哦對,??閔可夫斯基空間,? 不重要好吧.? 只需要知道一件事,? 在以 作為時空坐標(biāo)的時候,? 就是 t 是時間, xyz 是空間,? 然后在這個什么什么空間里導(dǎo)出?,? 其中 s 就是時空距離,? c 是光速,? 只需要知道這些就足夠了,? 翻頁翻頁.

? ? 為了方便,? 下面討論簡單的二維時空?,? 四維時空可以從"同理可得"求出 (bushi).? 為了方便,? 記?,? 以及 ,? 那么坐標(biāo)變?yōu)?.??雖然可能很迷惑,? 但是上標(biāo)??,?1?不是次方的意思,? 這個上標(biāo)是跟 x 組成一個整體的,? 就像是導(dǎo)數(shù)里面 dy/dx 的 d 不能約掉一樣.? 這樣子時空距離可以表達(dá)為 ,? 這里的上標(biāo) 2 確實就是平方的意思了.

? ? 既然出現(xiàn)了"距離"的概念,? 那不妨想象一個"球面",? 并且"球"上處處到原點的"距離"相等,? 那么式子 ?為常數(shù),? 可以畫出如下圖所示的圖形 (習(xí)慣上 x? 與時間相關(guān)作為豎軸,? x1 與空間相關(guān)作為橫軸)

? ? 盡管很難看出來,? 但是圖里相同顏色的曲線上所有點距離原點都是擁有相同的"距離",? 真的很抽象.? 實際上,? 在普通幾何里,? 式子??給出的曲線稱作雙曲線,? 所以在這里形成的面也不叫"球面",? 而是叫雙曲面,? 雖然硬叫球面也可以,? 畢竟這個東西符合在這個空間里的球面定義 ().? 另外因為"距離"的式子里出現(xiàn)了減號,? 所以允許 ?的情況出現(xiàn),? 當(dāng)把這部分也畫出來之后,? 就可以得到覆蓋整個時空的曲面網(wǎng),? 如下圖所示.? (特別注意,? s2=0 時曲線變?yōu)闀r空上的對角線,? 而不是像普通球面那樣收縮為原點,? 這說明時空對角線上的所有點到原點的距離都為 0,? 之后再解釋這是什么東西,? 我知道你很急,? 但是先別急.)

? ? 既然這些曲面符合對球面的定義,? 那么有沒有一種可能,? 我是說,? 球面的旋轉(zhuǎn)在這里也可以適用呢?

? ? 首先考慮普通的空間 ,? 有 ,? 然后取?,? 那么普通空間上任意一點 ?都可以使用球極坐標(biāo) ?表示,? 為了方便,? 這里表示為 ,? 在球極坐標(biāo)時旋轉(zhuǎn)可以表示為 ,? 其中 θ? 就是旋轉(zhuǎn)的角度.

? ? 然后再看回現(xiàn)在的什么什么空間,? 有 ,? 如果引入復(fù)數(shù)的話可以有 ,? 然后取 ?....嗎?? 別急,? 用歐拉公式展開 cos,sin 得到?,? 然后記 ,? 稍作化簡得到?,? ?prrefeict,? 于是時空坐標(biāo) ?可以用"雙曲"極坐標(biāo)表示為 ,? 即 ,? 其中 s 就是上面說的時空距離,? w?在幾何上叫做雙曲角,? 但是在這里有一個特殊的名字叫快度.

? ? 與球面旋轉(zhuǎn)類似,? 雙曲面"旋轉(zhuǎn)"可以表示為 .? 根據(jù) ?這個東西,? 一頓猛烈操作下?(腦細(xì)胞 -50%)? (對過程感興趣的可以看一下文章底部),? 得到??為?,? 看起來好像很復(fù)雜,? 但是引入 ,? 然后記 ,? 那么就可以有 ,? 這就是著名的洛倫茲變換,? 其中?γ 稱為洛倫茲因子.? 其實看到上面的?,? 因為 x1 是空間距離,? 所以速度為?,? 即 .

? ? 正如球面旋轉(zhuǎn)可以用矩陣表示 (因為矩陣與基變換等價),? 雙曲"旋轉(zhuǎn)"也可以用矩陣給出,? 記?,? 其中 L 就是洛倫茲變換,? 得到 .

? ? 在球極坐標(biāo) (r, θ)?里,? 分別把 r 和 θ 取固定值,? 可以畫出互相交錯的曲線網(wǎng),? 如下圖所示

? ? 那么在"雙曲極"坐標(biāo) (s, w)?里分別對 s 和?w 取固定值也可以畫出互相交錯的曲線網(wǎng):?

? ? 下圖展示了這個空間勻速"旋轉(zhuǎn)"的樣子,? 也就是勻速做洛倫茲變換的樣子? (也就是勻加速參考系的樣子)

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世界線就由我來改變 (?)

? ? 一個物體在時空里移動得到的路徑就被叫做世界線,? 此處石頭門含量為 0.? 因為觀察者的速度相對于自己來說永遠(yuǎn)是?0,? 也就是說當(dāng)選定一個參考系后,? 參考系本身的世界線必定為 x? 軸,? 考慮加速參考系的話,? 準(zhǔn)確來說是世界線的"前進(jìn)方向"必定為 x? 軸.

? ? 對于任意勻速物體來說,? 因為?x1/x? = v/c?為常數(shù),? 所以勻速物體的世界線總為一條直線.? 這個結(jié)論是可以反著來說的,? 世界線為直線的物體必定是勻速運動.

? ? 考慮一下超級加倍的情況,? 我的意思是,? 速度的疊加.? 考慮下面的情況:? 物體 B 相對于 A 運動的速度是 0.8c,? 物體 C 相對于 B 的運動速度是 0.3c,? 那物體 C 相對于 A 運動的速度就是 0.8c + 0.3c = 1.1c ....嗎?? 來推導(dǎo)一下,? 為了方便,? 假設(shè) ABC 都經(jīng)過時空原點,? 在 B 參考系下,? A 的速度為 -0.8c,? C 的速度為 0.3c,? 那么使用 ?表示在 B 參考系下 A 的時空坐標(biāo)的話,? 有?,? 其中 a 是任意實數(shù).??如下圖所示

? ? 為了把時空坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到 A 參考系下,? 做洛倫茲變換 β = -0.8,? γ = 5/3?得到?,? 如下圖所示,? 于是得到了 C 相對于 A 的速度為 (55/62)c,? 這明顯不符合單純把速度加起來的結(jié)果.

? ? 實際上如果記速度為 v = βc,? 那么兩速度疊加之后的結(jié)果為 (推導(dǎo)在下面).? 根據(jù)這個公式不難知道,? 只要兩個速度都小于光速,? 疊加之后的速度必定小于光速.

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固有結(jié)界? ?固有時

? ? 一切事物都會隨著時間前進(jìn)而發(fā)生變化,? 而且這種變化是對于同一體系下的觀察者來說是絕對的,? 但如果觀察者看向旁邊那個在運動的體系里,? 會發(fā)現(xiàn)事物變化的速度會改變,? 也就是在運動的鐘跳一秒,? 對于靜止的鐘來說就不等于一秒,? 這種改變被稱為鐘緩效應(yīng)或時間膨脹.? 但這里不會去討論這個效應(yīng).

? ? 假設(shè)有兩個相對運動的觀察者 A 和 B,? 以及他們的表,? A 看自己的表,? 跳一秒就等于一秒,? 同理 B?看 B 的表,? 跳一秒就等于一秒,? 這個時間是絕對的,? 不可能因為 A 看 B 的表變慢了,? 而 B 看自己的表也會變慢.? 盡管這里使用表為例子,? 但所有物理規(guī)律作用在同一體系下的事物都是以固定速度變化的,? 為了衡量這種絕對的時間,? 提出了原時的概念 (又稱固有時).

? ? 實際上,? 正如上面所說,? 變換參考系 (也就是洛倫茲變換) 其實是等于雙曲"旋轉(zhuǎn)",? 并且在"旋轉(zhuǎn)" 里有一樣?xùn)|西絕對不變,? 那就是時空距離 s,? 那么原時定義為 .? 原時可以很方便地描述任意體系下與時間相關(guān)的東西.? 下面以雙生子佯謬來作為例子.

? ? 對于不熟悉雙生子佯謬的人,? 這里簡單地復(fù)述一下在這個東西 (都來看這個專欄了,? 不會還有人不知道雙生子佯謬,? 不會吧不會吧).? 就是有一對雙胞胎,? 妹妹留著地球上,? 而哥哥坐著火箭前往了很遙遠(yuǎn)的星球,? 并且在到達(dá)星球后還是坐著火箭返回了地球,? 那么問題就是當(dāng)哥哥返回地球后,? 就會看到大哥哥,? 哥哥和妹妹哪個年紀(jì)比較大呢 (不考慮雙胞胎出生的這點時間差).? 如果單純考慮鐘慢效應(yīng)的話,? 妹妹看著運動的哥哥 (? 脫敏啊家人們),? 哥哥的時間流逝比較慢,? 所以哥哥回來之后是哥哥比較年輕,? 但在哥哥的視角是妹妹在運動,? 所以應(yīng)該是妹妹比較年輕,? 這不就出現(xiàn)謬論了?....嗎?

? ? 很多地方會給出解釋:? 因為哥哥在火箭上會受火箭加速影響 (至少發(fā)生在到達(dá)星球后掉轉(zhuǎn)方向時),? 而加速會使時間流逝發(fā)生變化.? 這個解釋,? 只能說,? 一般.? 下面通過直接計算兩人的原時去解釋這個東西,? 給以妹妹為參考系畫出世界線,? (藍(lán)色是妹妹的世界線,? 綠色的是哥哥的):

? ? 為了方便計算,? 給上面的點套上一些數(shù)值,? 假如 A = (2, 0),? B = (1, 0.6),? 那么在地球上的妹妹的原時為 ,? 而在火箭上的哥哥的原時為 ,? 也就是說,? 如果妹妹度過了 20 年,? 哥哥則只度過了 16 年.? 這個結(jié)果是絕對的,? 不會因為參考系不一樣而產(chǎn)生不同的結(jié)果,? 比如說把參考系換為剛出發(fā)時的哥哥,? 也就是上圖作洛倫茲變換 β=0.6 得到:

? ? 其中?,? 那么 ?和 ,? 可以看到與上面的結(jié)果相同.

? ? 現(xiàn)在來看另外一個東西:? 時空對角線.? 在對角線上的點滿足 |x1/x?| = |β| = 1,? 也就是說如果物體沿著時空對角線移動的話,? 那它的速度就是光速.? 在上面也有說過,? 時空對角線同時也是?(x?)2-(x1)2 = 0?的解,? 也就是說原時 τ = s/c?也為 0,? 這意味著當(dāng)一個物體以光速移動時,? 這個物體的時間是靜止的.? 當(dāng)如果反過來看,? 如果觀察者本身在以光速運動的話,? 他看到的其他事物會是怎么樣的?? 作洛倫茲變換 β=1,? 并且?γ=0,? 就是?,? 這說明對于觀察者來說,? 其他一切事物都是都是無意義的,? 但如果觀察者只是以光速運動了一段有限的距離,? 那么對于觀察者本身來說,? 就是從開始運動的地方"瞬移"到了運動停止的地方,? 但對于其他非光速運動的觀察者來說,? 那個人只是在以光速移動而已.

? ? 對于熟悉微積分的人來說,? 對時空距離的定義 s2 = (x?)2-(x1)2?求微分得到 ,? 假設(shè)有一物體在時空上的世界線為?,? 其中 λ 只是為了表示世界線的參數(shù),? 沒什么其他的意思,? 那么這個物體的原時為?,? 亦即?.

? ? 在這個專欄里刻意回避了 "超光速" 這個東西,? 實際上超光速世界線的時空距離為虛數(shù),? 并且洛倫茲變換也會變?yōu)閺?fù)矩陣,? 所以超光速這個東西有點脫離了實際,? 畢竟虛數(shù)距離是個什么東西啊.? 感興趣的人其實也可以去算著玩玩,? 但是實際上超光速參考系跟普通參考系沒什么太大區(qū)別,? 除了時間和空間都多了一個虛數(shù)單位.

? ? 題外話:? 上面出現(xiàn)了符號?,? 字面上看就是時空距離的微元的平方,? 在抽象幾何學(xué)里還有一個名字:? 度規(guī),? 這個量 (準(zhǔn)確來說是這個量與坐標(biāo)的關(guān)系) 可以給出空間 (或時空) 的彎曲形式,? 從而研究抽象幾何上的各種東西,? 比如說物體的運動規(guī)律.? 之后我是有打算進(jìn)行一個曲面論和廣義相對論的寫,? 具體到時候再說罷.

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雙曲"旋轉(zhuǎn)" 到洛倫茲變換

? ? 由 ?得到 ,? 下面化繁化簡第一條式子:

? ??,? 引入一大堆虛空項,? 因式分解得 ,? 于是可以得到 ,? 因為 (x?, x1) ≒ (s, w), 所以得到 .? 類似地,? 第二條式子可以變?yōu)?.

? ? 實際上,? 雙曲"旋轉(zhuǎn)"到洛倫茲變換的推導(dǎo)不太嚴(yán)謹(jǐn).? 有兩個問題,? 首先是 (s, w)?不唯一,? 這個可以看作是雙曲線 (x?)2-(x1)2 = s2?和直線 x1/x? = tanh w?的交點,? 除了 (x?, x1)?是它們的交點,? (-x?, -x1)?也是它們的交點,? 不過因為空間, 圖像, 交點都是對稱的,? 所以這個也不是大問題.? 第二個問題就是,? 在 w 為實數(shù)時,? 必定有 (x?)2-(x1)2 < 1,? 這是因為 x1/x? = tanh w ∈ (-1, 1).? 在設(shè) β = x1/x?; |β|?≠ 1?時,? 可以由 tanh w = β?解得?.? 實際上,? 當(dāng) n 為偶數(shù)時 |tanh w| < 1,? 當(dāng) n 為奇數(shù)時 |tanh w| > 1,? 也就是說為了使時空上所有點 (除了時空對角線上的點) 都有對應(yīng)?(x?, x1)?≒?(s, w),? 必須有 .

速度疊加的通用式

? ? 就像例子那樣,? 假設(shè) A 相對于 B 的速度為 β?c,? C 相對于 B 的速度為 β?c,? 那么有 ,? 然后做洛倫茲變換 -β??將參考系從 B 變?yōu)?A 得到 ,? 于是得到疊加后為 .

? ? 因為 β = tanh w,? 所以 ,? 嗯算得到 ,? 設(shè) w??? 為實數(shù),? 那么有?,? 把上式代入再嗯算得到 ,? 也就是說速度的疊加只是單純地表示為快度的相加,? 顯然,? 兩次洛倫茲變換相當(dāng)于兩次雙曲"旋轉(zhuǎn)".

閔可夫斯基空間里實際定義的東西

? ? 在開頭講這個什么什么空間定義了時空距離 s2 = c2t2-x2-y2-z2,? 眾多書本, 文章,? 甚至 wiki 都是這樣說,? 但實際上這個空間里定義的不是距離,? 而是內(nèi)積.

? ? 記時空坐標(biāo) (ct, x, y, z)?為 (x?, x1, x2, x3),? 那么定義在什么什么空間里的內(nèi)積為 ,? 第一個等號左右兩邊的都是正確的內(nèi)積寫法.? 在定義了內(nèi)積后,? 那么向量的長度為 ,? 可以看到形式上與普通的向量長度一致,? 但內(nèi)積定義不一樣.? 對比兩式,? 不難知道向量長度即為時空距離.

? ? 有了內(nèi)積定義后,? 考慮洛倫茲變換對應(yīng)的基變換,? 由相應(yīng)的矩陣形式不難知道,? 在二維時空里的兩個基為 ,? 它們之間的內(nèi)積為 ,? 也就是說洛倫茲變換必定是正交矩陣. TODO: 證明洛倫茲變換為旋轉(zhuǎn)矩陣 (基的歸一性和時空正向不變).

? ? 另外,? 因為雙曲面由 s2 = k?給出,? 其中 k 為常數(shù).? 有了內(nèi)積定義后,? 雙曲面實際為方程? 的全部解組成 (也就是普通幾何上的球面定義),? 對式子求微分得到?,? 其中 ?為雙曲面上的切向量,? 而 ?可以看作從時空原點到雙曲面上的向量,? 這條式子意味著連接原點到雙曲面的直線與雙曲面垂直,? 而且任何過原點的直線都符合 x1/x? = β,? 其中 β 是常數(shù).? 也就是說,? 上面展示的"雙曲"極坐標(biāo)組成的曲線網(wǎng)是互相正交的,? 這與球極坐標(biāo)的性質(zhì)相符.

? ? 一般來說,? 與自身的內(nèi)積大于 0 的向量稱為類時向量,? 而小于 0 的稱為類空向量,? 等于 0 的稱為類光向量.

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? ? 這篇專欄到此就結(jié)束了,? 什么?? 你說能量和質(zhì)量之類的呢?? 我看你是在說屁哦,? 標(biāo)題上都說了這個是數(shù)學(xué)專欄,? 不存在那樣的物理好吧,? 潤了.

? ? 所以為什么數(shù)學(xué)公式算圖片啊? ntm 客戶端塞一個 latex 渲染器怎么了,? 又不是沒有那樣的輪子給你嗯塞,? 真的是, 服了.

? ? 為了好玩,? 下面來試試以雙生子佯謬做數(shù)值模擬會怎么樣.? 為了動畫展示比較流暢,? 這里假設(shè)哥哥做的火箭的加速度正比于?cos 函數(shù),? 那么在妹妹的視角下的世界線演化為

? ? 在哥哥的視角下為

? ? 渲染上面兩幅動圖的源碼可以在?github.com/nyasyamorina/trash-bin/blob/main/SpecialRelativity.jl 找到,? 源碼里并不會有上面有用的備注,? 但需要注意的就是,? 哥哥的世界線是以哥哥視角生成,? 之后再以哥哥世界線為準(zhǔn)生成妹妹的世界線,? 因為離散計算的誤差有點大,? 所以就選擇了這種先得出答案再求過程的步驟了.